线性代数习题解答

1、线性代数习题解习题一 A组1.计算下列二阶行列式（1） （2） （3） （4）2.计算下列三阶行列式（1）=1+8+27-6-6-6=18 （2） （3） （4）3. 当k取何值时，=0.解：， 得 ， 所以 或 。4.求下列排列的逆序数. 解：(1) . (2) . (3) .(4) .5.下列各元素乘积是否是五阶行列式 中一项?如果是,该项应取什么符号?解：(2) 不是. 因为 中有俩个元素在第一列.(3) 是. 对应项为 所以该项应取负号。6.选择i, j使成为五阶行列式 中带有负号的项解: 当 时, , 是奇排列.当 时, , 是偶排列.所以 i = 1, j = 5. 8.利用行列式

2、性质计算下列行列式.解: (1) (2) . =(3) (4) .（5）（6）9.用行列式性质证明:(1) =证明: .(2) =证明: . (3) 证明: = .10.解下列方程: (1) 解: 由 得 所以 或 .(2) 解: 由 = 得 , 所以 , .15. 用克莱姆法则解下列线性方程组:（1）解：由系数行列式 , . (3) 解: 由系数行列式 63 得 , ,. 16.判断下列齐次方程组是否有非零解:(1) 解:由系数行列式(第一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解. (2). 解:由系数行列式此齐次方程组只有唯一的非零解.17. 若齐次线性方程组 有非零解.则取何值?解:

3、由系数行列式其齐次线性方程组有非零解,则 或 .习题二 A组 1.计算下列矩阵的乘积. (1) .解： .（2） (3) .解： .（4）解：=+ 2. 计算下列各矩阵: (1) .解： .（2）解: = (3) .解： = ,其中 .(4) 解： = 其中 , .5. 证明：对任意矩阵，与都是对称方阵；而当为阶对称方阵时，则对任意阶方阵，为对称方阵.证明： （1）为阶方阵， 又 为阶对称方阵同理为阶对称方阵（2）为阶方阵， 为阶对称方阵 又 为阶对称方阵 6.设均为阶方阵.证明:如果则 解: 由已知 则 .且 即 , 则 . 得 .8.（3）解： 9. 解下列矩阵方程: (1) 解: 由 ,

4、 得 . (3) 解: 由 , 即 . 11. 设 , 求解: 由已知 因 存在, 则 由 所以 .12.设均为n阶方阵，为n阶单位阵，证明： （1） 若 则可逆； （2） 若 则可逆，并求. 解: （1）由已知 , 即,所以 可逆,且. （2）由已知 , 所以 可逆,且. 14.设, 求 及.解: , 由, 所以 . 由, 所以 .15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形:(1) 解: 16.求下列各矩阵的秩：（2） 所以17.设，且矩阵的秩为2，求解：因为，所以=0 又因为， 所以 即习题三 A组2. 设，其中 , 求向量.解:由已知 , 即, 所以 3. 设向量组线性无关,而向量组 试判断

5、向量组的线性相关性.解:设数 使得 成立，即 ，得线性方程组，其系数行列式线性方程组只有唯一解，则向量组的线性无关.5.已知向量组 问取何值时向量组线性无关或向量组线性相关.解:设数 使得成立，得线性方程组 ， 其系数行列式.所以 线性方程组有非零解 向量组线性相关; 线性方程组只有零解 向量组线性无关. 6.设向量组线性无关,证明向量组也线性无关.解：设数 使得成立，得线性方程组， 其系数行列式线性方程组只有唯一解，所以向量组线性无关. 7. 设向量组线性无关,判断向量组线性相关性并证明之.解：设数 使得 成立得线性方程组 其系数行列式则线性方程组有非零解，所以向量组线性相关 . 9.若向量

6、组线性无关,而向量不能由线性表示,证明向量组线性无关. 证明: 反证法.设线性相关,由定理3.1向量可由线性表示,这与已知条件矛盾.假设不成立.所以向量组线性无关.10.判断题(结论对的请在括号内打“” ,错的打“×”)(1) 若当数时,有则向量组线性无关. ( × ). (2) 若有个不全为零的数, 使得则向量组线性无关 ( × ). (3) 若向量组线性相关,则可由其余向量线性表示. ( × ). (4) 设向量组;.若向量组线性无关,则向量组也线性无关. ( × ). (5) 若向量组线性无关,则向量不能由线性表示. ( ). (6) 若

7、向量组线性无关且向量不能由线性表示,证明向量组线性无关. ( ). (7) 若向量不能由线性表示,则向量组线性无关. ( × ).提示: 利用向量组 讨论(1)(4),(7),利用定理3.1和3.2讨论(5),(6).12.求下列向量组的秩,并求它的一个极大无关组. (1) .解: 取矩阵 所以向量组的秩为3，极大无关组是. (2) .解: 取矩阵所以向量组的秩为3，极大无关组是. (3) 解: 取矩阵所以向量组的秩为3，极大无关组是.14.求解线性方程组.(1) 解： 由增广阵 所以 . (2) 解：由增广阵 得 , 所以此方程组无解.(3) 解：由增广阵得同解方程组 ; 取 得通

8、解 (4) 解：由增广阵 得同解方程组取 得通解 .15.求下列齐次线性方程组的基础解系及全部解.（1）解：由系数阵 得同解方程组 , 取 得通解 ， 基础解系. (2) 解：由系数阵 得同解方程组 取 得通解 ，基础解系. (4) 解：由系数阵 得同解方程组 , 取 , 得基础解系 , 通解 .18.已知非齐次线性方程组 解: 由增广阵 知: 当时, ,方程组有无穷多解,通解为 ; 当时, 则 ,方程组无解; 当时, 有,方程组有唯一解.19.问取何值时，线性方程组有唯一解，无解，无穷多解（无穷多解时并求其解）解：（1）系数行列式= 当时方程组有唯一解（克拉默法则） （2）当时， 所以线性方

9、程组无解（3）当时，当时，即时 ，方程组有无穷多解，同解方程组为 令 得方程组的特解 取得基础解系此时全部解为 其中为任意常数20. 设 将表示成向量组的线性组合.解: 设数 使得 得 其增广阵 得, 即.21.设四元线性方程组的系数矩阵的秩为3，是其3个解向量，且，.求其全部解解： 所以全部解为 其中为任意常数B组1. 判断题(结论对的请在括号内打“” ,错的打“×”)(1) 若,则维向量组线性相关. ( )提示:定理3.3的推论2.(2)若向量组线性相关,则它的任意一个部分组都相关. ( × )提示:利用上面(10)题解中的讨论.(3) 若向量组线性相关,则它的秩小于,

10、反之也对. ( )提示: 若向量组的秩为,则若.(4) 向量组的极大无关组为. ( × )提示: 向量组的秩为3.(5) 若阶方阵的行列式不等于零,则的列向量组线性相关. ( × )提示: 由阶方阵的行列式不等于零, 方阵的秩,和的列向量组的秩=方阵的秩, 则的列向量组线性相关. 2. 填空题(1) 向量组的秩= 2 .解: 由.(2) 若都是齐次线性方程组的解向量,则= 0 .解: .(3) 若向量组线性相关,则1 .解: 由线性相关,有 .即 . (4) 方程组的基础解系所含向量的个数= 1 .解:由系数阵的秩是2,.(5) 方程组的基础解系为 .(6) 若线性方程组的

11、有解,则长数 15/4 .解: 线性方程组的有解,则其系数阵的秩=增广阵的秩,有所以 .3. 单项选择题(1) 向量组(I)线性相关的充分必要条件是（ B ）. (A) (I)中每个向量都可由其余向量线性表示. (B) (I)中至少有一个向量都可由其余向量线性表示. (C) (I)中只有一个向量都可由其余向量线性表示. (D) (I)中不包含零向量.提示:定理3.2.习题四 A组10.下列矩阵是否为正交矩阵？（1） （2）解：（1），其中 所以为正交矩阵（2），其中 所以不是正交矩阵11.设是阶对称矩阵，是阶正交矩阵，证明也是对称矩阵证明： 由题意可知， 因为 所以也是对称矩阵习题五 A组1.

12、 设矩阵 , 试证向量为矩阵的属于特征值的特征向量.解：由 所以向量为矩阵的属于特征值的特征向量. 3. 若是矩阵的一个特征值, 是正整数,试证是矩阵的一个特征值.证明: 由是矩阵的一个特征值,存在非零向量,使得成立,即是矩阵的属于特征值的特征向量.那么有所以是矩阵的一个特征值.4. 若是矩阵的一个特征值,试证（1）是矩阵的一个特征值;（2）若,矩阵的特征值只能等于-2或1.证明: 由是矩阵的一个特征值,存在非零向量,使得成立,即是矩阵的属于特征值的特征向量.那么有 (1) 所以是矩阵的一个特征值.(2) 由, 和 , , 有,得,即矩阵的特征值只能等于-2或1.7. 求下列矩阵的特征值与特征

13、向量. (1) 解：由 得特征值 当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意非零常数.当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意非零常数. (2) 解：由 得特征值 当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组,即,其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意非零常数. (3) 解：由 得特征值 当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意不同时为零常数.8. 设为3阶矩阵,满足, 求 (1)的

14、特征值; (2)的行列式.解: (1) 因得因即得因即得(2)由和,有.9. 已知矩阵 的特征值求的值，并求矩阵特征向量。解：由和,因 ， 得 . 当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,由其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意不同时为零常数.当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,由其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意不同时为零常数.12. 设3阶矩阵的特征值为-2，-1，3，矩阵，求矩阵的行列式。解 因为的特征值为-2，-1，3，。所以的特征值为17，9，-3，所以。17.设为阶可逆矩阵，且相似于，试证：（1）为可逆矩阵 （2）相似

15、于（1）证明：因为相似于，所以存在可逆矩阵使 因为为阶可逆矩阵，所以，即 所以为可逆矩阵（2）因为，所以，所以相似于19. 已知3阶矩阵与相似，的特征值为，求行列式的值。解 因为与相似，所以与有相同的特征值，所以的特征值也为，所以的特征值为1,2,3，所以。24试证：若正交矩阵有实特征值，则该特征值等于1或.证明：设为正交矩阵的特征值，为对应的非零特特征向量 或即该特征值等于1或.25.若为奇数阶的正交矩阵，且，试证1是的一个特征值证明：因为为奇数，所以 即，所以1是的一个特征值26. 若为阶正交矩阵，且，试证是的一个特征值证明： 即，所以是的一个特征值27.若是正交矩阵的特征值，试证也是的一个特征值证明：因为是正交矩阵的特征值，所以是的一个特征值 又因为 而且与的特征值相同，所以是的一个特征值28. 下列矩阵为是对称阵，求正交矩阵，使为对角矩阵 解 ，所以。当时，所以当时，所以因为是属于不同特征值的特征向量，所以是正交的，将单位化，得，第六章1. 写出下列二次型的矩阵 ； 解 ； 解 ；解 ； 解 ； 解 2. 写出下列对称矩阵对应的二次型 解 ； ； 解 ； 解 ； 解 ； 解 3. 求二