真空中的静电场

1、 第八章真空中的静电场§8-1 静电场【基本内容】一、电荷、库仑定律1、电荷守恒定律（1）电荷守恒定律：对于一个孤立系统，不管发生什么变化，系统内的所有电荷的代数和保持不变。（2）电荷的相对论不变性：一个电荷的电量与它的运动状态无关，即在相对运动的两个惯性系中测量同一电荷的电量，其值相等。2、库仑定律（1）、点电荷模型：忽略带电体的形状和大小，视带电体为具有一定电荷的几何点。（2）、库仑定律：真空中两个静止点电荷间的作用力(斥力或吸力)与这两个电荷所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力方向沿着这两个点电荷的连线。其中0称为真空的介电常数，×·m。

2、理解：（1）r0时，将导致F。该结论是不正确的，这是因为r0，两带电体也不能视为点电荷。（2）电力叠加原理：施于任一点电荷的力等于其它每一个点电荷单独存在时对它所施库仑力的矢量和，即二、电场、电场强度1、电场（1）电场：带电体和变化的磁场周围空间存在的一种物质。（2）静电场的对外表现：电场中带电体受电场的作用力；带电体在电场中移动时，电场将对其作功。2、电场强度矢量：描述电场力性质的物理量。（1）检验电荷q0要求：（1）q0是点电荷，才能检验空间各点的场强；（2）q0可正可负，其值不能太大，才能不影响原场强的分布。（2）电场强度的定义：电场中某点的场强等于该位置处单位正电荷所受的场力。（3）场

3、强叠加原理：空间某点处的电场强度等于各点电荷单独在该点所产生的的场强的矢量和。分离电荷系统：；连续电荷系统：三、高斯定理高斯定理是描述矢量场通量性质的定律，矢量场的环量性质由环路定律描述。由矢量场的通量和环量性质可完全描述该矢量场的性质。1、电力线和电通量（1）电力线：规定：（1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向；（2）曲线的疏密表示场强的大小。性质：（1）电力线来自正电荷（无穷远），止于负电荷（无穷远），但不会在没有电荷的地方中断；（2）在没有点电荷的空间里，任何两条电力线不能相交；（3）静电场的电力线不会形成闭合曲线。（2）电通量2、高斯定律定律内容：指高斯面内所包含电量的代数和；

4、指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生；指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。物理意义：静电场是有源场。三、常见带电体的场强分布（1）点电荷产生的场强和电势分布： （2）无限长均匀带电直线(电荷线密度为)的场强: ,方向垂直于直线。（3）带电圆环在轴线上产生电场强，如图5.1： ，方向：沿轴线。（4）均匀带电球面的电场，如图5.2： 当时 当时（5）无限大均匀带电平面的电场:，方向：垂直于平面。【典型例题】求电场强度的三种方法1、利用场强叠原理求电场强度这是矢量积分，一般方法是先分解在合适的方向，再进行积分，才能得到正确的结果。2、利用高斯定理求电场强度当电荷分布具有对称性

5、，从而电场分布包括大小和方向具有相应的特殊对称性时，可用高斯定理求场强。例如（1）均匀带电球体、均匀带电球面和点电荷的电场强度在空间的分布具有球面对称性。以球对称处为球心，半径为r的球面上各点的电场强度的大小相等，方向沿该点的半径方向。若高斯面取球面，且高斯面通过所求场强的点，则可用高斯定理很方便地求出场强。（2）无限长均匀带电圆柱体、无限长均匀带电圆柱面和无限长均匀带电直线的电场强度在空间的分布具有柱面对称性。在垂直于该圆柱体轴线的平面上，以轴线上的任一点为圆心，半径为r的圆周上各点的电场强度其大小相等、方向沿该点的切线。若高斯面取圆柱面，其轴线与无限长均匀带电圆柱体的轴线相同，侧面通过所求

6、场强的点，则可用高斯定理很方便地求出场强。（3）无限大均匀带电平面所产生的电场强度也可由高斯定理很方便地求出。3、若已知，则可用求电场强度。【例8-1】 如图例5-1所示，一绝缘细棒弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀带有电量q，下半段均匀带有电量q。求半圆中心o点处的电场强度。【解】 选如图所示的坐标系，使带正电的1/4圆周在第二象限，带负电的1/4圆周在第三象限。若带正电的1/4圆周在O点处产生的电场强度用表示。取一带电小圆弧，其上带电量它在o点产生的电场强度的大小为沿x轴和负y轴的分量分别为所以故带正电1/4圆周在O点产生的场强的大小为所以与x轴的夹角为°。同理可求得带负电的1/

7、4圆周在o点产生的电场强度的大小为与x轴的夹角为(°)。o点处的总场强的大小为，方向沿y轴负向。本题旨在说明根据场强叠加原理求场强。【例8-2】 一半径为R的带电球体，其电荷体密度为r，K为正常数，r为球心到球内一点的矢径的大小。求此带电球体所产生的电场强度的分布。 【解】 由电荷分布的球对称性可知，球体内、外的场强分布是球对称的，且方向处处沿径向。在球体内：取如图所示的半径为r的球面为高斯面，易求得高斯面内所包含的电荷量为由高斯定理得故有在球外：取半径为r的球面为高斯面，易求得高斯面内所包含的电量就是球体所带的电量，即由高斯定理得故有本题旨在说明根据高斯定律求场强。【例8-3】在电

8、荷体密度为的均匀带电球体中，挖出一个以为球心的球形小空腔，空腔的球心相对于带电体球心的位置矢量为，如图例5-3所示。求空腔中任一点的场强。【解】 先求电荷体密度为的均匀带电实心球体内的场强。由对称性可知，电场的方向沿半径向外。取一半径为的球面为高斯面，此球面上场强的大小处处相等，由高斯定理可得对于例5-3图所示的带电体，由于电荷分布不具有对称性，因而不能直接用高斯定理求解。但空腔中任一点的场强可看成是均匀带电的实心球体在处产生的电场和与空腔大小相同的均匀带电的实心球体在点产生的场强的叠加，也就是说，例5-3图所示的带电体相当于在原空腔处补上体电荷密度为和的球体。由上面的结论，有，于是，空腔中任

9、一点的场强可由叠加原理求出由上式结果可知，在空腔内各处的场强均相等，方向由指向。【分类习题】【8-1】 静电场中某点的电场强度的大小和方向为 。【8-2】将正的试验电荷放于带负电荷的大导体附近点（图5-2），测得它受力大小为，若不是足够小，则比点原先场强的值 （填大、小）。【8-3】 轴上坐标为和处分别放置点电荷和（图5-3），求坐标为的处场强。【8-4】 一电矩为的偶极子在均匀电场中，与电场夹角为，则它受到电场力的大小为 ，受到电场力矩的大小为 。【8-5】 在一个带有负电荷的均匀带电球外，放置一电偶极子，其电矩的方向如 图5-5，当偶极子被释放后，该偶极子将 。（1） 沿逆时针方向旋转直到

10、电矩沿径向指向球面而停止。（2）沿逆时针方向旋转至电矩沿径向指向球面，同时沿电力线方向向着球面移动。（3）沿逆时针方向旋转至电矩沿径向指向球面，同时逆电力线方向远离球面移动。（4）沿顺时针方向旋转至电矩沿径向朝外，同时沿电力线方向向着球面移动。【8-6】 将线电荷密度为的无限长均匀带电细杆弯成如图5-6所示形状。已知圆弧的半径为，求圆心处的场强。【8-7】 电量均匀分布在长为的细棒上（图5-7），在细棒延长线上距细棒中心为的处有一点电荷，求点电荷受到的静电力。【8-8】 一半径为的带缺口细圆环，缺口长度为，环上均匀带电（图5-8），求圆心处场强。【8-9】 已知一高斯面包围的电量代数和为0，则

11、下列说法正确的是 ：（1） 高斯面上各点场强均为0。（2） 穿过高斯面上每一面元的场强通量均为0。（3） 穿过此高斯面的场强通量为0。（4） 以上说服均不正确。【8-10】 边长为的正方形平面，在其中垂线距中心为处有电量为的点电荷，如图5-10。求通过该平面的场强通量。 【8-11】 两点电荷和形成的电场，其电力线如图5-11。则是 电荷（填正、负），两电量大小比较 （填>、<、=）。【8-12】 真空中，两电量均为的点电荷相距（图5-12），若以其中一点电荷为中心以为半径作球面，求：（1） 通过球面的场强通量为；（2） 球面上两点的场强。【8-13】 厚度为的无限大均匀带电平板，

12、如图5-13，体电荷密度为，试求平板内外场强分布，并画出场强随的变化曲线。【8-14】 一对“无限长”的同轴直圆筒，半径分别为和（），筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度电量分别为和。试求空间的场强分布。§8-2静电场的环流定理、电势【基本内容】一、静电场的保守性静电场是保守场 电场力作功与路径无关，是保守力，可引入电势能。二、静电势能1、静电势能的引入：静电力所作的功等于静电势能增量的负值。2、静电势能的定义：电荷q0在电场中某点的电势能等于从该点把电荷q0经任意路径移动到电势零点处，电场力所作的功。三、电势和电势差1、 电势U：静电场中某点处的电势，其数值等于单位正电荷在该点所具有的

13、电势能，处为电势零点。2、电势叠加原理电荷系电场中，任一点处的电势等于每一带电体单独存在时，在该点产生的电势的代数和。3、电势差4、静电力作功与电势差的关系四、场强与电势的关系1、等势面电势相等的点所构成的曲面等势面与电力线处处相交；在等势面上移动电荷，电场力不作功；等势面相距较近处，场强的数值大，相距较远处，场强的数值小。2、与U的关系，即场强指向电势降低最快的方向。【典型例题】求电势的两种方法（1）利用电势叠加原理求电势这是标量积分，积分区间遍及整个带电体。此式已取为电势零点。若取适当的电荷元,可使数学计算较为简单。（2）利用电势的定义求电势对于场强只能用高斯定理求出的情况，一般用上式求出

14、空间任一点的电势。【例8-4】 真空中一均匀带电线的形状如图例5-4所示。AB，电荷线密度为，求圆心O点的电位U。【解】 由图知，O点的电位可视为直线AB、DE和半圆周所带电荷在O点产生电位的叠加。由于所以O点的电位为本题旨在说明根据电势叠加原理求电势。【例8-5】 求带电量为、半径为的均匀带球面电场中的电势分布。【解】 （1）电场分布（2）以无穷远处为零势能点，根据电势定义求U根据 得【讨论】 本题旨在说明根据电势定义式求电势。不用叠加原理求电势，是由于本题积分较困难。【例5-6】 求无限长均匀带电直线的的电势分布，如图例5-6所示。已知电荷线密度为。解：其电场分布以r0处为电势零点，则【讨

15、论】本题旨在说明根据电势定义式求电势。对于电荷分布在无限区域，一般选有限远处为电势零点。注意：本题不能用叠加原理求电势，因为在公式中，已经假定无限远处的电势为零点。【分类习题】【8-15】 把一块不带电的导体平板，移至距带电的平板为处，如图5-15，两板平行且面积均为，不计边缘效应，当平板不接地时，两板间电势差 ，当平板接地时两板电势差 。【8-16】 匀强电场中，下列相等的物理量是 （1） 场强（2） 电势（3）电势梯度。【8-17】 已知场强，则点与点之间电势差 （以米计）。【8-18】 静电场中，电力线与等势面总是 ；电力线方向总是沿着 方向。描述静电场性质的两个基本物理量是 和 ，它们

16、的定义式分别为 和 。【819】 密立根油滴实验，是利用油滴上的电场力与重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生。如两板电势差为时，带电为、半径为的油滴保持静止；当两板电势差为时，半径为的油滴带电多少时才能保持静止？【8-20】 两同心均匀带电球面，半径分别为和，带电量分别为和，如图5-20，则距球心为的处，下列各情形的电势。（1）， 。（2） 。（3） 。【8-21】 电荷以相同的面密度分布在半径为和的两同心球面上。球心处电势为。求：（1） 电荷面密度；（2） 若要使球心处电势为0，外球面应放出多少电荷？【8-22】 相距的两无限大导体平行平板，均与地相连，如图5-22。板间充满离子

17、数密度为，每个离子带电为的正离子气体。如电场分布相对中心平面对称，求在两板间场强和电势。【8-23】 电荷面密度为和的均匀无限大带电平面，分别与轴垂直且交于与两点，如图5-23。设O处电势为0，求空间电势分布并画出其分布曲线。【8-24】 一电荷面密度为的均匀无限大带电平面，若以该平面为电势零点，求其周围空间的电势分布。【8-25】 一直径为2的导体圆筒，在其轴上有一直径为0.134的导线，如在圆筒与导线间加850电压，求导线表面处与圆筒内表面处的场强。【8-26】 在边长为的正方体中心放一点电荷，求在一个侧面中心处的电势。【8-27】 电量为的点电荷与三点A、B、C在一直线上，如图5-27，

18、三点A、B、C分别距点电荷。若选点为电势零点，求A点和C点的电势。【8-28】 两点电荷和相距为，则在它们的连线上与相距为 处场强为0，相距为处 电势为0。【8-29】 为一长的带电细棒，如图5-29，其左半部与右半部都均匀带电，电荷线密度分别为和，为延长线距为，在此杆垂直平分线距棒中点为。分别求点和点的电势。【8-30】 电量均匀分布在长为的细杆上，求：（1） 在杆延长线上与杆较近端距为处的电势；（2） 在杆中垂线上与杆距为处的电势。【8-31】 一锥顶角为的圆台，上下底半径分别为和，如图5-31。如在它的侧面均匀带电，其电荷面密度为。求顶点处的电势。【8-32】 某电场的电力线分布如图5-32，一负电荷由点移至点，电场力作 功（填正、负）。【8-33】 是以为圆心，为半径的半圆弧，间距为，如图5-33。点与点分别有点电荷和，如将一单位正电荷从点沿移至点，求电场力的功。【8-34】 一偶极距为的偶极子放于均匀电场中，与夹角为，如此偶极子绕垂直于平面的轴沿增大方向旋转的过程中，电场力的功为 。【8-35】 如图5-35，在电矩为的偶极子的电场中，将一电量为的点电荷由沿半径为的半圆弧移至（偶极子的尺寸），求电场力的功。分类习题答案【8-1】 单位正实验电荷在该点受到的电场