MATLAB实现迭代法最佳松弛因子的选取

1、迭代法最佳松弛因子的选取一、问题提出:针对矩阵，b=24;30;-24,用SOR迭代求解。并选出最佳松弛因子。理论分析。做出关于函数的图像。二、理论基础选取分裂矩阵M为带参数的下三角矩阵,其中w>0为可选择的松弛因子. 于是,由 (k=0,1,)可构造一个迭代法,其迭代矩阵为=从而得到解Ax=b的主次逐次超松弛迭代法.解Ax=b的SOR方法为 (k=0,1,) (1)其中=（2） 下面给出解Ax=b的SOR迭代法的分量计算公式.记 由(1)式可得 （3）由此,得到解Ax=b的SOR方法的计算公式 (4)或 (5) 若要求选取出最佳松弛因子，则有两种方法：1、 给出的最佳范围，当取不同的值

2、时，会求出不同的谱半径R的值，然后判断出值最小的谱半径。那么这个最小的谱半径所对应的，即为所求最佳松弛因子。2、 给出的最佳范围，当取不同的值时，由（2）式进行迭代，看它们在相同精度范围内的迭代次数，找出迭代次数最低的那一个，其所应用的即为最佳松弛因子。三、实验内容：松弛因子、谱半径和迭代次数的关系：w11.011.021.031.041.041.061.07R0.62500.61740.60960.60160.59330.58480.57600.5669h3130302928272626w1.081.091.101.111.121.131.141.15R0.55750.54780.53770

3、.52710.51610.50460.49240.4797h2525242323222121w1.161.171.181.191.201.211.221.23R0.46610.45160.43590.41890.40000.37860.35320.3205h2019191817161515w1.241.251.261.271.281.291.30R0.25600.25000.26000.27000.28000.29000.3000h14151515151515 从表格中可以看出，迭代次数随着松弛因子的增长而呈现先减后增的趋势，当谱半径最小时，其迭代次数最小。则表示出谱半径最小时，其松弛因子为最

4、佳松弛因子。w和R的关系图如下：图像中，其横坐标表示松弛因子，纵坐标表示谱半径。从图中可以看出，随着松弛因子的增长，谱半径先是呈递减趋势，当达到最小值1.24时，呈上升趋势。四、结果分析： 通过这次的实验，我们知道了关于怎样选取最佳松弛因子的方法和理论。了解了最佳松弛因子与系数矩阵谱半径之间的关系，即谱半径越小那么其所对应的松弛因子越佳，且迭代次数越小。所得结果与理论结果相符，即最佳松弛因子是1.24，表格及图象显示出，越接近理论值，误差越小！参考文献1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第四版）。2.数值方法，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。3.数值分析与实

5、验学习指导，蔡大用，2001，清华大学出版社。4.数值分析与实验，薛毅，2005，北京工业大学出版社。附录：程序如下：A=4,3,0;3,4,-1;0,-1,4; %系数矩阵%b=24;30;-24;D=diag(diag(A); %A的对角矩阵%U=-triu(A,1) ; %A上三角矩阵%L=-tril(A,-1); %A的下三角矩阵%m=;t=; %创建两个空矩阵分别存放相对应的谱半径和记录迭代次数% for w=1:0.01:1.3; %取w的值% q=(D-w*L); p=inv(q); %求q的逆% lw=p*(1-w)*D+w*U); %求得迭代矩阵%V=eig(lw); %计算迭代矩阵的特征向量%R=max(abs(V); %找出绝对值最大的谱半径%m=m,R;plot(w,R,'o'); %画出w和R的关系图%hold onf=(D-w*L)b*w;x0=0;0;0; %取迭代初值%y=lw*x0+f; n=1;while norm(y-x0)>=1.0e-6 %迭代条件% f=(D-w*L)b*w; x0=y; y=lw*x0+f; n=n+1;endt=t,n; endh,k=min(t); %h记录最小的迭代次数，k记录第几个数最小%求解过程g=1.0+(k-1)*0.01;f=(D-g*L)b*g;y=lw*x0+