第十一章级数

1、第十一章 级数学习测试题答案1. 选择题（1）A：由和收敛，则收敛，且因为，则由正项级数比较判别法知收敛。 B：若，则收敛，但是发散，所以结论不成立。但若和收敛，由正项级数比较判别法可知收敛。 C：因为发散，则由正项级数比较判别法可知发散。 D：若收敛，但发散。题目如要求为正项级数，则结论成立。（2）A：满足题目要求，但为发散级数。B：令，则，可见其可以分解为收敛数列和发散数列和的形式，所以发散。 C：令，则发散。 D：由题，则绝对收敛。（3）由题，因为和都收敛，则由正项级数比较判别法可知收敛，即原级数绝对收敛。（4）A：令，则它们都收敛，但发散。B：令，则它们都收敛，但发散。 C：令，则它们

2、都收敛，但发散。 D：，都收敛，则，所以存在，当时，所以时，则绝对收敛。（5）A：收敛，但。B：由题收敛，则则其部分和数列存在，由P19 收敛数列有界性定理，所以有界。 C：收敛，但不存在。 D：若收敛，则存在，进而由数列收敛的柯西定理得到选项结果。 （6）由题，则。（7）由题，则所求的幂级数收敛半径为。（8）A：发散，但收敛。B：收敛，且也收敛。 C： 收敛，但不存在。 D：所以以上三个结论均不正确。 收敛级数可以随意添加括号，而不影响其敛散性，（9）A：由题，因为，都收敛，则收敛，则由正项级数比较判别法可知收敛，收敛。B：若，则它们均发散，且，但收敛。 C：若，则收敛，且，但发散。 D：由

3、题，且，都收敛，由正项级数比较判别法可知收敛，即绝对收敛。（10）由题收敛，则，所以存在，当时，即，而收敛，由正项级数比较判别法可知绝对收敛。（11）由题，则为有界函数，所以存在，使得，又收敛，则绝对收敛。（12）若收敛，则，若收敛，则。所以。（13）A：令，则但收敛， 发散，所以它们不是同时收敛同时发散的。说明一下发散：，由莱布尼兹判别法知，收敛，又发散，则发散。选项如加上其中一个级数为同号级数则由正项级数比值判别法知，同时收敛同时发散。B：正确，这时为同号级数，且，所以发散。C：若，则，但发散。D：正项级数收敛，但。（14）由题存在，当时，所以，当，收敛，则收敛。当，则，所以发散。（15）

4、A：，但发散。B：，但收敛。C：，但发散。D：，且单调递减，则存在。但并不能保证极限不为零，如，则。（16）由题在半径内一定收敛，则其收敛半径。（17）由题，则，所以，则，即收敛半径为。（18）考虑，则收敛域为或。（19）由题的收敛区间为，的收敛区间为，则。（20）由题，则，所以，则，即收敛半径为。（21）由题表示所有正项的和，表示所有负项的和，所以若绝对收敛，有和收敛。若条件收敛，则和发散（否则若和收敛，则和绝对收敛，即绝对收敛，矛盾）。（22）由题，因为，都收敛，则收敛，则由正项级数比较判别法可知收敛，收敛。2. 填空题（1）。（2）由题或时级数收敛，和为。（3）有交错级数莱布尼兹判别法可

5、知当，单调递减且时， 收敛。（4）级数收敛的必要条件是通项极限为，即，即。 （5）若级数绝对收敛，则要求或。（6），所以收敛半径为，收敛区间为，收敛区域为， 收敛半径为，收敛区间为，收敛区域为，所以其收敛半径为，收敛区间为两收敛区间的交集，即，收敛区域为两收敛区域的交集，即。（7）。（8）。（9）。（10）由反三角函数和差化积，。（11）由题，所以。（12）。（13）由题级数的收敛半径为，所以收敛区间为由发散，收敛，则为收敛区域的右端点，所以，即。（14）收敛，则收敛，则只能，所以 或。（15）由题，所以，由正项级数比值判别法可知收敛，即要求。（16）由题，则，则，即所求级数的收敛半径为。（1

6、7）由题单调递减且有解，则存在，且（若等号成立，则与交错计数莱布尼兹判别法矛盾），则。（18）显然，都收敛是收敛的充分条件，但即使收敛，都发散，所以非必要条件。（19）显然后者的收敛区间为前两个级数收敛区间的交集，即。（20）由题，则，即收敛区间为，。由题在端点处皆不收敛，所以收敛域为，。（21）由题，所以。（22）由题，考虑，所以所求级数收敛半径为13. 解答题一（1），由此。所以。（2）由题级数通项为，因为，则级数发散。（3）由题，则所求级数收敛且其和为。（4）由题，由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛。（5）因为，则由正项级数比较判别法的极限形式知 与同时收敛，同时发散，所以当时收敛

7、，当时发散。（6）因为，则由正项级数比较判别法的极限形式知与同时收敛，所以收敛。（7）因为，则由正项级数比值判别法知收敛。（8）由题，则由正项级数比较判别法知收敛。（9）因为，则由正项级数比较判别法的极限形式知与同时发散，所以发散。（10）由题，则，与同时收敛，同时发散，时，发散，发散，所以当时，即时，收敛，当，即时，发散。（11）由题，则。（12）因为，则由正项级数比较判别法知收敛。（13），其中，则由正项级数比较判别法的极限形式知收敛。（14）由题（否则由交错级数的莱布尼兹判别法知 收敛），则，所以，则当时，即时，收敛，当时，即时，发散。（15）由题当时，即时，收敛，当时，即时，发散。（1

8、6）使用正项级数积分判别法可知，所以级数发散。（17）因为，则与同时发散。（18）由题当时，则，收敛，收敛， 时，发散，发散，所以当时，即时，收敛，当，即时，发散。当时，级数显然收敛于。（19）令，所以，则由正项级数比较判别法的极限形式知发散。（20）令，则，所以，所以由正项级数比值判别法可知级数收敛。二（1），所以级数不绝对收敛，单调递减且趋近于，由交错级数的莱布尼兹判别法知条件收敛。（2）因为，则级数发散。（3）因为，则由正项级数比较判别法的极限形式知不绝对收敛，但单调递减且趋近于，由交错级数的莱布尼兹判别法知条件收敛。（4）因为，则发散。（5），则由一般级数的根式判别法知绝对收敛。（6）

9、因为，由正项级数比较判别法的极限形式知不绝对收敛，但单调递减且趋近于，由交错级数的莱布尼兹判别法知条件收敛。（7）因为，则由正项级数比较判别法知绝对收敛。（8），所以发散。（9）因为，所以由正项级数比较判别法的极限形式知不绝对收敛，但单调递减且趋近于，由交错级数的莱布尼兹判别法知条件收敛。（10）当，即为奇数时级数化为，因为，所以由正项级数比较判别法该级数收敛。当，即为偶数时级数化为，因为，所以该级数发散。进而原级数可化为收敛级数、发散级数和的形式，所以原级数发散。三（1），所以收敛半径为，收敛域为，。（2），所以收敛半径为，收敛域为，通过逐项积分可化为，再求导可得原级数的和函数。（3），所以

10、收敛半径为，收敛域为，对逐项积分可得，再求导得，则原级数。（4），所以收敛半径为，在端点处为也绝对收敛，所以收敛域为，考虑，先逐项求导可得，再求积分可得，但当时级数为，则。当时，对逐项求 导得，再积分得，但当时级数为，则，所以原级数。（5），所以收敛半径为，收敛区域为，将逐项积分两次得，再求导两次得，所以。（6），所以收敛半径为，所以，即收敛区域为，将逐项积分得，再求导得，所以。（7），所以收敛半径为，所以收敛区域为，而。（8），所以收敛半径为，所以收敛区域为，。（9），则收敛半径为，所以收敛区域为，将逐项求导得，再求积分可得，注意当时，级数和为，则，即。（10），所以收敛半径为，收敛域为，将

11、逐项求导得，再求积分可得，因为时，级数和为，所以，即。四（1）考虑部分和函数，因为收敛，则存在，即，所以数列有界，存在，使得，所以，则有正项级数的比较判别法知绝对收敛。（2）因为收敛，可令，正项级数收敛，则其部分和数列有界，则存在，使得，考虑部分和数列，则部分和数列有界，收敛。（3）由题，则，所以，因为，则，由收敛。（4）因为，考虑使用积分判别法，所以收敛。（5）由题表示所有正项的和，表示所有负项的和的绝对值，且因为条件收敛，则和都发散（否则若收敛，则收敛，即收敛，则绝对收敛）。所以，其中，而由于条件收敛，则其部分和数列极限存在，所以。（6）首先，由于此级数的前项的和中每个括号内的数大于零，故

12、是个单调递增数列，有上界从而可知存在且不超过，由于此级数当时收敛，故当时。下面我们证明级数和不小于。仍然考虑前项的部分和，有，其中，这里，由于及，即得，此处（当时），于是对于，存在，当时，有，这时有。但由于，而或，所以当，即，所以级数的和，由的任意性可知，。综上可知。（7），所以。（8）由题，由于，所以由极限的保号性质知，等号不可以去掉，例如，则，但。五（1）考虑，对逐项求导得，收敛域为，再积分可得，因为，级数和为，所以，即，收敛域为，所以，所以。（2）考虑，将其逐项积分得，收敛域为，在求导可得，收敛域为，所以。（3） ，因为，所以由正项级数比较判别法的极限形式可得收敛，且。（4），收敛域为，当时，级数的误差，这时。（5）考虑，将逐项积分得，收敛域为，再求导可得，收敛域为，所