示范二元一次不等式组与平面区域

1、§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式(组)与平面区域整体设计教学分析 本节的主要内容有:二元一次不等式(组)表示的平面区域及相应的画法.其中,重点是二元一次不等式所表示的平面区域,难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定.在教学中,可启发学生观察图像,循序渐进地理解掌握相关概念,以学生探究为主,教师点拨为辅.学生之间分组讨论,交流心得,分享成果,进行思维碰撞,同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示. 本节内容在教学中应体现以下几点:（1）注重探究过程.能正确地画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域,是学习下节简单线性规划问题图解法的重要基础.由于二元一次不等式组

2、表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集,决定了问题的研究应从二元一次不等式所表示的平面区域入手.（2）注重探究方法.在平面直角坐标系中，直线l:y=x把直角坐标平面分成了三个部分：直线l上的点(x,y)满足x-y=0;直线l右下方的平面区域内的点(x,y)满足x-y>0；直线l左上方的平面区域内的点(x,y)满足x-y<0.（3）注重探究手段.信息技术可作为探究平台,有条件的学校可利用信息技术手段对直线Ax+By+C0一侧的点P(x,y)的坐标进行跟踪显示,并将点P(x,y)的坐标代入Ax+By+C中,观察所得值的符号,由学生发现得到处于直线Ax+By+C=0同侧的点的坐标

3、代入Ax+By+C中符号都相同,直线Ax+By+C=0异侧的点的坐标代入Ax+By+C中符号不同,由此得到判定直线Ax+By+C>0(<0)表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域. 本节新课标的要求是:不等式有着丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具.刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤,教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组.从近三年的高考看,由于本部分内容是训练学生数形结合思想的典型内容,各省地考题几乎每年都有所涉及.以山东卷为例:2005年的填空题,其难度小于2006年的选择题,而到2007年成了大题,列在第19题位置.本部分内容在2004年的江苏卷中也有一道大题

4、,也是列在第19题的位置.其热度正逐年提升,应引起足够的关注.三维目标1.通过本节探究,使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;能画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域.2.通过学生的亲身体验,培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力.3.通过本节学习,着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想.尽管侧重于用“数”研究“形”,但同时也用“形”去研究“数”,培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生大胆探索,勇于创新的科学精神.重点难点 学重

5、点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),灵活运用二元一次不等式(组)来表示平面区域. 教学难点:二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示Ax+By+C=0的哪一侧区域.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(实例导入)一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？ 设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意x 不小于240，y不小于180，x与y之和不超过500，用不等式组可表示为 如果将上述不等式组的一个解(x,y)

6、视作平面直角坐标系上的一个点,那么使问题转化为确定平面直角坐标系中不等式组的解集区域,由此展开新课.思路2.(类比导入)可采用与一元一次、一元二次不等式的类比引出,借助“类比”思想,通过与熟悉的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)比较,引出确定平面直角坐标系中不等式组的解集区域问题，进而展开新课.推进新课新知探究提出问题让学生阅读课本本节实例(教师出示多媒体课件),列出问题中的不等关系.在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形?怎样判断二元一次不等式Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域?直线Ax+By+C=0将平面内的点分成了哪几类?活动:

7、教师引导学生抽象出本节问题实例中的不等式组,并引导学生讨论平面直角坐标系中的哪些点满足不等式x>y. 如图1，在平面直角坐标系中，y=x表示一条直线l,它将直角坐标平面分成三部分，即自身和它的两侧.在直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足y=x,那么直线l右下方的任意一点的坐标(x,y)有什么特点呢?图1 在直线l上任取一点,例如,取点A(1,1)，过这点作与y轴平行的直线l1.l1上所有点的横坐标都是1,在l1上,取A的下侧一点A(1,-1),显然它的横坐标大于纵坐标,满足不等式x>y. 不难看出,在l1上,点A下侧的任意一点的坐标(x,y)都满足不等式x>y.由于A可在直

8、线l上任取,所以在直线l右下方的任意一点的坐标(x,y)都满足不等式x>y. 同样地,在直线l左上方的任意一点的坐标(x,y)都满足不等式x<y.综上可知,集合(x,y)x>y所表示的图形是直线l右下方的平面区域图2(1)阴影部分，而集合(x,y)x<y所表示的图形是直线l左上方的平面区域图2(2)阴影部分.(1) (2)图2这样，直线l把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x,y)满足x-y=0；(2)直线l右下方的平面区域内的点(x,y)满足x-y>0;(3)直线l左上方的平面区域内的点(x,y)满足x-y<0.教师引导学生进一步总结概括.一

9、般地,直线l:Ax+By+C=0把直角坐标平面分成三个部分:(1)直线l上的点(x,y)的坐标满足Ax+By+C=0;(2)直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足Ax+By+C>0;（3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足Ax+By+C<0.所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.当C0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如把(0，0)代入xy1中，xy10.这说明xy10表示直线xy10左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线xy10的同一侧.如果

10、C0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个容易计算的点去进行判断.讨论结果:略.应用示例思路1例1 试确定集合(x,y)x+2y-3>0表示的平面区域. 活动:作直线l:x+2y-3=0,l把直角坐标平面分成三部分.在l上取一点M(,),过这点作一条与y轴平行的直线l1:x=,在l1上点M的上侧取任意一点(,y1),它的纵坐标y1>,于是+2y1-3>+2×-3=0,即点(,y1)的坐标满足不等式x+2y-3>0;在l1上点M的下侧取任意一点(,y2),它的纵坐标满足y2<,于是+2y2-3<+2×-3=0,即点(,y2)的

11、坐标满足不等式x+2y-3<0. 同理,在l上任取一点P,过P作y轴的平行线l2,可以说明:在l2上,点P上侧任意一点的坐标(x,y)满足不等式x+2y-3>0;点P下侧任意一点的坐标(x,y)满足不等式x+2y-3<0. 解:直线l将直角坐标平面分成三部分（l及其两侧）.在l右上方的平面区域内的任一点的坐标（x,y）满足不等式x+2y-3>0，而另外两部分的点均不满足不等式x+2y-3>0.不等式 x+2y-3>0表示的是直线l右上方的平面区域（图3中的阴影部分）.图3 点评：直线画成虚线表示不包括边界，教师指导学生严格而规范画图，且要体现美观.变式训练画

12、出不等式2x-y-40表示的平面区域.解:先画出直线l:2x-y-4=0,取原点O(0,0),把O点的坐标代入2x-y-4,得2×0-0-4<0.所以,原点在2x-y-4<0表示的平面区域内,不等式2x-y-40表示的平面区域是2x-y-4<0表示的平面区域加上直线l:2x-y-4=0(图4中阴影部分).图4例2 画出不等式组表示的平面区域. 活动:教师引导学生正确画出边界直线,注意虚线、实线,同时根据给出的不等式判断出所表示的平面区域,将平面区域的公共部分用阴影表示出来. 解:x3y60表示直线上及其右上方的点的集合.xy20表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合

13、.如图5阴影部分.图5 点评:在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.例3 画出不等式组表示的平面区域.图6 活动:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 解:不等式x-y+50表示直线x-y+5=0右下方的平面区域，x+y0表示直线x+y=0右上方的平面区域，x3表示直线x=3左方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图6中的阴影部分. 点评:引导学生观察所画出的图形是个封闭图形,三条直线两两相交的交点是个实点.变式训练 在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是(

14、 )A.4 B.4 C.2 D.2 解析:画出不等式组表示的平面区域如图7.图7 可知面积=×4×2=4.答案:B思路2例1 画出以下不等式组表示的平面区域. 活动:不等式组表示的平面区域是不等式,所表示的平面区域的公共部分. 解:如图8所示.图8 不等式表示直线x+y-1=0的右上方(包括直线)的平面区域; 不等式表示直线x-y=0右下方(包括直线)的平面区域; 不等式表示直线x=2左方(包括直线)的平面区域. 所以,原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分). 点评:一般地,把直线l:Ax+By+C=0画成实线,表示平面区域包括这一边界直线;若把直线画成虚线,则表

15、示平面区域不包括这一边界直线.例2 画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)<0表示的平面区域. 解:不等式可转化为不等式组:或表示的区域.如图9.图9 点评:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.例3 已知点A(0,0),B(1,1),C(2,0),D(0,2),其中不在不等式2x+y<4所表示的平面区域内的点是_. 活动:教师引导学生观察题目条件,不等式可变形为2x+y-4<0,对应的直线为2x+y-4=0.A点是坐标原点,代入2x+y-4得-4<0,即原点A在不等式所表示的区域内.把B、C、D点坐标依

16、次代入2x+y-4,由所得值的正负来判断点是否与A点位于直线2x+y-4=0的同侧或异侧,也就判断了B、C、D三点能否位于不等式2x+y<4所表示的平面区域内. 解析:由题意如图10,C(2,0)符合条件.(或将点代入验证)图10 答案:C(2,0) 点评:此类型的题的解法,就是将点的坐标代入二元一次不等式,若不等式成立,则可得点在二元一次不等式所表示的区域内,否则就不在二元一次不等式所表示的区域内.变式训练 (2007广东江门) 在平面直角坐标系中,由满足不等式组的点组成的图形为F,则A(4,4)、B(5,0)、C(2,-1)三点中,在F内(含边界)的所有点是_. 解析:由题意如图11

17、,A(4,4),C(2,-1)在区域内,B(5,0)不在区域内(也可将点的坐标代入不等式组验证).图11 答案:A、C知能训练课本本节练习1 14.课堂小结1.由学生自己回顾本节课的探究过程,整合直线与平面区域的关系,注意如何表示边界的虚与实,明确不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域(不包括边界直线).2.教师画龙点睛.比较是最好的学习方法,通过两个不等式的比较,寻找出共同的规律,进而发现二元一次不等式表示平面区域的主要性质及结论.画图是我们的弱点,而准确画图是学好这部分内容的关键,要有意识地加强这方面的训练.作业课本习题34 A组4.设计感想1.本教案设计体现了

18、教学梯度.本节新课进程可分为五步:思考、尝试、猜想、证明、归纳来进行,目的是为了分散难点,层层递进,突出重点,只要学生对旧知识掌握较好,完全有可能由学生主动去探求新知,得出结论.这也正体现了以学生为主体的教学理念.2.本教案设计注重了学生的动手操作训练,因为技能的学习必须亲身体验获得.强化格式的规范也相当重要,在学生的动手操作过程中这些都可以得到充分体现.3.本教案设计注重了方法的启发引导:从特殊到一般,化陌生为熟悉,先研究特殊的直线所表示的平面区域.让学生经历“观察、归纳、猜想及证明”的全过程,这是本节的主要环节,也是重要内容.当然对他们而言也有一定的难度,毕竟解决问题的过程是一连串的创造性

19、的思维过程.(设计者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.(直接导入)我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集,那么在平面直角坐标系中,二元一次不等式的解集的意义是什么呢？让学生回忆上一节课学习的内容与方法,并回忆二元一次不等式(组)与平面区域两者之间的联系.本节课我们进一步研究它的应用.思路2.(练习导入)1.画出下列不等式表示的平面区域:(1)4x-3y-12>0;(2)x+y<4;(3)x+y<0;(4)x<4;(5)y<4;(6)2<y<4;(7)2<x+y<4.2.画出不等式组表示的平面区域.在教师点评中引入新课

20、.推进新课新知探究提出问题回忆上节所学内容,如何由二元一次不等式(组)表示平面区域?二元一次不等式的几何表示是什么?你能画出不等式x+4y<4表示的平面区域吗?你能用平面区域表示不等式组的解集吗?回忆从前所学,怎样从实际问题中抽象出不等关系,构建不等式模型? 活动:教师引导学生回忆,在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l:x+y-1=0分成三类：(1)直线l上：(x,y)|x+y-1=0；(2)直线l的右上方：(x,y)|x+y-10；(3)直线l的左下方：(x,y)|x+y-10. 对于平面内的任意一点P(x,y)的坐标代入x+y-1中，得到一个实数，此实数或等于0，或大于0，或小

21、于0.观察到所有大于0的点都在直线l的右上方，所有小于0的点都在直线l的左下方，所有等于0的点都在直线l上. 一般地，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线画成虚线表示不包括边界.二元一次不等式Ax+By+C0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线应画成实线. 此时常常用“直线定界，特殊点定位”的方法.当直线不过原点时，常常取原点；过原点时取坐标轴上的点.让学生画出不等式x+4y<4表示的平面区域: 先画直线x+4y-40(虚线)，把原点(0，0)代入x+4y-4040,说明原

22、点在要求的平面区域内，不等式x+4y-40表示的平面区域与原点在直线x+4y-4=0的一侧，即直线x+4y-4=0的左下部分的平面区域,如图12中阴影部分.图12 在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点. 接着让学生用平面区域表示不等式组的解集.由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分,即不等式y-3x+12表示直线y=-3x+12下方的区域；不等式x2y表示直线y=上方的区域.取两个区域重叠的部分，如图13中的阴影部分就表示原不

23、等式组的解集.图13 对于从实际问题中抽象不等关系的方法,其关键是根据题设提供的多个信息去分析、综合,寻求起关键作用的数量关系,构造不等式模型.有时可以化整为零,先用“符号语言”“图形语言”表示不等关系,以便确定进一步的努力方向.讨论结果:略.应用示例思路1例1 一工厂生产甲、乙两种产品,生产每吨产品的资源需求如下表:品种电力/kW·h煤/t工人/人甲235乙852 该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h 的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围. 活动:教师引导学生设出每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t,

24、然后根据实际问题的要求列出满足条件的不等式组. 解:设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t, 生产x t的甲产品和y t乙产品的用电量是(2x+8y)(kW·h),根据条件，有2x+8y160; 用煤量为(3x+5y)(t),根据条件，有3x+5y150; 用工人数为（5x+2y)（人），根据条件，有5x+2y200; 另外，还有x0,y0. 综上所述，x,y应满足以下不等式组 甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图14所示的阴影部分（含边界）.图14 点评:提醒学生注意列出的不等式组必须使实际问题有意义,这里不能漏掉x0,y0.变式训练 某工厂生产甲、乙两种

25、产品,需要经过金和装配两个车间加工,有关数据如下表:加工时间(小时/件)产品总有效工时(小时)甲乙车间金43480装配25500 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域. 解:设共生产甲、乙两种产品各x件和y件,于是满足以下条件 在直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域(如图15).图15例2 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域. 活动:教师点拨学生将题目中的

26、文字语言用表格语言表示出来,则所有的关系量就一目了然了.磷酸盐(1吨)硝酸盐(1吨)甲4 t18 t乙1 t15 t库存10 t66 t 解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,则满足以下条件 (*)在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域,如图16.图16变式训练 某人上午7:00乘汽车以匀速v1千米/时(30v1100)从A地出发到距300 km的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以匀速v2千米/时(4v220)从B地出发到距50 km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x、y小时,则在xOy坐标系中,满足上述条件的x、y

27、的范围阴影部分如图17表示正确的是( )图17 解析:由题意得而30v1100,4v220,则不等式组变化为答案:B例3 某工厂要安排生产一种产品，该产品有、三种型号，生产这种产品需要两种主要资源：原材料和劳动力.每件产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示：型号货源原材料(千克/件)436劳动力(小时/件)245 每天可利用的原材料为120千克，劳动力为100小时，假定该产品只要生产出来即可销售出去，试确定三种型号产品的日产量，使总产值最大. 解:建立数学模型： (1)用x1、x2、x3分别表示、三种型号的日产量.(2)明确约束条件 这样，这个资源利用问题的数学模型为满足约束条件的可行

28、域.思路2例1 如图18,ABC中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写出ABC区域所表示的二元一次不等式组(包括边界).图18 活动:教师引导学生先写出直线方程,然后根据图形写出不等式. 解:由A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3),可得直线AB、BC、CA的方程分别为: 直线AB:x+2y-1=0,直线BC:x-y+2=0,直线CA:2x+y-5=0.原点不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,结合式子的符号可得不等式组 点评:根据二元一次不等式表示平面区域的概念进行解答.例2 甲、乙、丙三种药品中毒素A、B的含量及成本如下表:甲乙丙毒素A(单位/千克)600700

29、400毒素B(单位/千克)800400500成本(元/千克)4911 某药品研究所想用x千克甲种药品,y千克乙种药品,z千克丙种药品配成100千克新药,并使新药含有毒素A不超过56 000单位,毒素B不超过63 000单位.用x、y表示新药的成本M(元),并画出相应的平面区域. 活动:教师引导学生从实际问题中抽象出二元一次不等式,提醒学生注意实际问题的约束条件.解:由已知,得x+y+z=100,M=4x+9y+11z=4x+9y+11(100-x-y)=1 100-7x-2y.又600x+700y+(100-x-y)56 000,800x+400y+500(100-x-y)63 000, 表示的区域如图19所示.图19 点评:本题有三个变量,根据题设条件消去一个即可得到二元一次不等式组.同时注意画图要准确.例3 某市政府准备投资1 200万元兴办一所中学.经调查,班级数量以20至30个班为宜,每个初、高中班硬件配置分别为28万元和58万元.将办学规模(初、高中班的班级数量)在直角坐标系中表示出来. 活动:教师引导学生用表格的方式将本例中的数据表示出来,这样就把问题转化成例1的形式,题目中的数量关