二次函数的图像和性质复习

1、 二次函数二次函数 图象和性质图象和性质(5)2y axbx cy=a(x-h)+k开口开口方向方向对对称称轴轴顶顶点点最值最值增减情况增减情况a0向上向上 x=h (h,k) x=h时时,有最小有最小值值y=kxh时时,y随随x的增大而的增大而增大增大.a0向下向下 x=h (h,k) x=h时时,有最大有最大值值y=kxh时时, y随随x的增大而的增大而减小减小.|a|越大开口越小越大开口越小.返回y=a(xh)2k的图像与性质的图像与性质1怎样把怎样把 的图象移动，便可得到的图象移动，便可得到 的图象？的图象？ 复习提问复习提问21522yxx 23yx2325yx2 y=-1/2(x+

2、2)2-2 的顶点坐标的顶点坐标是是 ，对称轴是，对称轴是 的形式，求出顶点坐和对称轴。的形式，求出顶点坐和对称轴。215322yxx2ya xhk3. 用配方法把用配方法把 化为化为 4.用配方法把用配方法把 化为化为 y=a(xh)2k的形式，求出顶点坐和对称轴的形式，求出顶点坐和对称轴5.用配方法把用配方法把 化为化为 y=a(xh)2k的形式，求出顶点坐和对称轴的形式，求出顶点坐和对称轴2yaxbxc二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.函数值变化与最值函数值变

3、化与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向函数值函数值最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下当当x 时时, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 当当x , y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 根据图象填表：根据图象填表：abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当ab2ab2ab2ab2 的形式，求出对称轴

4、和顶点坐标,并画出此函数的图像21522yxx 2ya xhk例例1 用公式法把化为例例2 用公式法把函数2286yxx化为2ya xhk的形式，求出对称轴和顶点坐标并画出此函数的图像。根据公式确定下列二次函数图象的对称轴根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：和顶点坐标： 1312212xxy 31980522xxy 22123xxy xxy21234练一练，马到功成！练一练，马到功成！如图如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的按照图中的直 角 坐 标 系直 角 坐 标 系 , 左 面 的 一 条 抛 物 线 可 以 用左 面 的 一 条 抛 物

5、线 可 以 用y=0.0225xy=0.0225x+0.9x+10+0.9x+10表示表示, ,而且左右两条抛物线关而且左右两条抛物线关于于y y轴对称轴对称 函数y=ax2+bx+c(a0)的应用 桥面 -5 0 5Y/m x/m 10 桥面 -5 0 5Y/m x/m 10函数y=ax2+bx+c(a0)的应用 桥面 -5 0 5Y/m x/m 10钢缆的最低点到桥面的距离是多少？钢缆的最低点到桥面的距离是多少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流你是怎样计算的？与同伴交流. .(4)(4)求出右面钢缆的表达式。求出右面钢缆的表达式。1

6、09 .00225.02xxy 与与x轴的交点情况轴的交点情况可由对应的一元二次方程可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线抛物线的根的判别式判定：的根的判别式判定： 0有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交； 0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切； 0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。轴相离。 与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(6)抛物线抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbxc2yaxbxc 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为

7、，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根2yaxbxc图象的画法图象的画法 2yaxbxc2ya xhk步骤：1利用配方法或公式法把化为的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。 的图像，利用函数图像回答：例例3 画出2286yxx (1)x取什么值时，y0？(2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？例例4 已知抛物线已知抛物线247,yxkxkk取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值

8、时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。例例5 当当x取何值时，二次函数取何值时，二次函数 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx例例6已知函数已知函数 ，当，当x为何值为何值时，函数值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值的增大而减小。211322yxx 例例7 已知二次函数已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于

9、抛物线yax2bxc的对称轴是直线2bxa 若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故若b0对称轴为y轴，若a，b同号对称轴在y轴左侧，(1)a决定抛物线形状及开口方向，若a 相等，则形状相同。 a0开口向上；a0开口向下。(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)， c0抛物线经过原点；c0与y轴交于正半轴； c0与y轴交于负半轴。例例8 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图的图象，判断以下各式的值是正值还是负值象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2

10、ab；(6)abc；(7)abc最最大大？是是多多少少时时场场地地面面积积当当的的变变化化而而变变化化，随随矩矩形形一一边边长长矩矩形形面面积积的的篱篱笆笆围围成成矩矩形形场场地地，用用总总长长为为例例SllSm.6094321142303212120211000421212.D.C.B.A)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(,x(xcbxaxy.的的个个数数为为其其中中正正确确下下列列结结论论：轴轴交交于于点点与与两两点点，且且轴轴交交于于的的图图象象与与已已知知二二次次函函数数 2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-112

11、345121 2 y求抛物线解析式过点已知抛物线),6, 0(),0 , 3(),0 , 2(2CBAcbxaxy1练习练习1 21xy轴相交于负半轴轴相交于负半轴且与且与图象经过点图象经过点的图象开口向上，的图象开口向上，二次函数二次函数y),)(,(cbxaxy.012152 _cba )(c )(b )(a )()a(其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是问：给出四个结论：问：给出四个结论：04030201 _1)4( 1)3(02)2(0)1()(是是其中正确结论的序号其中正确结论的序号问：给出四个结论：问：给出四个结论： acabaabcb此此抛抛物物线线的的解解析析式式，求求全全

12、相相同同，又又抛抛物物线线过过点点完完的的开开口口方方向向和和开开口口大大小小线线上上，并并且且它它与与抛抛物物抛抛物物线线的的顶顶点点在在已已知知抛抛物物线线),(Mxyxycbxaxy.2021836222 ？试试证证明明你你的的结结论论为为，使使它它的的周周长长是是否否存存在在这这样样的的矩矩形形的的取取值值范范围围的的函函数数解解析析式式，并并求求出出关关于于自自变变量量周周长长的的，试试求求矩矩形形的的坐坐标标为为设设点点求求二二次次函函数数的的解解析析式式图图形形内内轴轴所所围围成成的的在在抛抛物物线线与与线线上上，矩矩形形在在抛抛物物轴轴上上，在在的的顶顶点点矩矩形形，的的顶顶点

13、点坐坐标标为为二二次次函函数数932120472ABCD)(xxPABCD)y,x(A)()(xABCDD,AxC,BABCD),(mmxy. _y,y,yxxy)y,(C)y,(B)y,(A.的大小关系是的大小关系是的图象上的三点，则的图象上的三点，则为二次函数为二次函数若若3212321543514138 的周长的周长求求，坐标原点为，坐标原点为轴的交点为轴的交点为若抛物线与若抛物线与的值的值求求且交点为且交点为轴只有一个交点，轴只有一个交点，与与已知抛物线已知抛物线OAB,OBy)(c ,b)(),(Axcbxxy. 210292练习练习1.如图，二次函数如图，二次函数 的的图象如图所示，则图象如图所示，则( )A. a0，b0，c0B. a0，b0C. a0，c0D. a0，b0cbxaxy2xyo2.如图，若如图，若a0，c0，则二次，则二次函数函数 的图象大致是的图象大致是( )cbxaxy2xyoABCDxyoxyoxocbxaxy23.3.若把抛物线若把抛物线y = xy = x2 2 - 2x+1- 2x+1向右向右平移平移2 2个单位个单位, ,再向下平移再向下平移3 3个单个单位位, ,得抛物线得抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c, ,则（则（ ） A.b