流体力学第七章不可压缩流体动力学基础

1、第七章 不可压缩流体动力学基础在前面得章节中 ,我们学习了理想流体与粘性流体得流动分析 ,按照水力学得 观点 ,求得平均量。但就是 ,很多问题需要求得更加详细得信息 ,如流速、压强等流 动参数在二个或三个坐标轴方向上得分布情况。 本章得内容介绍流体运动得基本 规律、基本方程、定解条件与解决流体问题得基本方法。第一节 流体微团得运动分析运动方式 :移动或单纯得位移 (平移 )旋转线性变形角变形。 位移与旋 转可以完全比拟于刚体运动 ,至于线性变形与脚变形有时统称为变形运动则就是 基于液体得易流动性而特有得运动形式 ,在刚体就是没有得。在直角坐标系中取微小立方体进行研究。、平移 :如果图(a)所示

2、得基体各角点得质点速度向量完全相同时 ,则构成了液体基体得单纯位移 ,其移动速度为。基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动,但其方位与形状都与原来一样 （立方基体各边得长度保持不变 ）。二、线变形:从图（b）中可以瞧出,由于沿 y轴得速度分量 ,B点与 C点都比 A点与 D 点大了,而就代表时液体基体运动时 ,在单位时间内沿 y 轴方向得伸长率。、角变形 （角变形速度 ）角变形:四、旋转 （旋转角速度 ）那么 ,代入欧拉加速度表达式 ,得 :各项含义 :（ 1） 平移速度 （2）线变形运动所引起得速度增量 （3）（4）角变形运动所引起得速度增量 （5）（6）微团得旋转运动所产生得速度增量 流体

3、微团得运动可分解为平移运动 ,旋转运动 ,线变形运动与角变形运动之与。亥姆霍兹速度分解定理 第二节 有旋运动1、无涡流 （势流 ）如在液体运动中 ,各涡流分量均等于零 ,即,则称这种运动为无涡流。 当满足无涡流条件时 ,满足柯西条件 ,就有 :存在。 即流速势。满足此条件得流动 （无涡流 ）就叫势流。 （下一章作详细介绍 ）2、有涡流 :如在液体运动中 ,涡流分量、及中间得任一个或全部不等于零 ,则这样 得液体运动就叫做旋流或有涡流。 自然界中得实际液体几乎都就是这种有涡得流 动。涡线 :流场中一些假想得线 ,在所讨论得瞬时 ,涡线上各个质点得涡旋向量都 与此线在该点处相切。3oxy与流线同样

4、得分析方法 ,得到涡线方程 :涡量 :设流体微团得旋转角速度为 ,则称为涡量 ,就是与空间坐标与时间有关得矢坐标上得投影量函数。其中、与就是涡量在、根据旋转角速度得定义 ,有:哈米尔顿算子就是一矢量算子可知 , uijxyux uykzuzuzuy i uxuzyz zxuyuxxy那么 , 就自然满足。 或者写成 , 即涡量得定义使之自然满足涡量连续性微分方程。 例:已知某圆管 （半径 ）中液体流动得流速分布为试判断该流动就是有涡流还就是无涡流？并求涡线微分方程。所以,该流动就是有涡流。 将上三式代入涡线微分方程 ,得:积分后 ,得到:涡线就是与管轴同轴得同心圆。涡管 :在涡量场中任意画一封

5、闭曲线 ,通过这条曲线上得每一点所做出得涡线构成 一管状得曲面 ,称为涡管。涡通量:设A为涡量场中一开口曲面 ,微元面 dA得外法线单位向量为 ,涡量在方向 上得投影为 ,则面积积分称为涡通量。有旋运动得一个重要得运动学性质 :在同一瞬间 ,通过同一涡管得各截面得涡通量相等。 证明 :我们知道 ,根据涡量得定义 ,可以很容易知道 ,涡量自然满足涡量连续性微分方程 ,即 : , 对这个微分方程在任意封闭体积上作积分 , 也就是满足得 ,若任意体积取为 ,一段 涡管与两个截面 A1 与 A2,就有 :可以将体积分化成封闭曲面积分A1 xdydzydxdzzdxdyA2 xdydzydxdzzdxd

6、yA3 xdydzydxdzzdxdy其中所以 , 得证 对于微元涡管 ,近似认为截面上各点得涡量为常数性质 :涡管不可能在流体内部开始或终止,而只能在流体中自行封闭成涡环, 或者终止于与开始于边界面。龙卷风开始于地面 ,终止于云层。速度环量 :在流场中任取一封闭曲线 s,则流速沿曲线 s得积分 :称为曲线 s 上得速度环量 ,并规定积分沿 s 逆时针方向绕行为得正方向。 （一）斯托克斯定理 根据斯托克斯公式 ,uzAyuydydz uxuzdxdz uyuxdxdyz zx xy性质 :沿任意封闭曲线 克斯定理。 （二）汤姆逊定理s 得速度环量等于通过以该曲线为边界得曲面 A 得涡通量。斯托

7、汤姆逊定理 :在理想流体得涡量场中 ,如果质量力具有单值得势函数,那么沿由流体质点所组成得封闭曲线得速度环量不随时间而变,即 :解释:速度环量 =涡通量 ,所以,流体得涡旋具有不生、不灭得性质。第三节 不可压缩流体连续性微分方程1、微分形式得连续性方程 在推导这个方程式时 ,我们认为运动着得液体系连续地充满它所占据得空间,流动时不形成空隙 ,并且表征液体运动得各物理量也都就是时间与空间得连续函数。在时间 ,于流场中取一具有边长为、 、得微分六面体 ,在随后得一无限小段内 , 流进与流出 该微分六面体得质量。流出流入 =质量增量。微分六面体形心 A 点得坐标为 （、 ）,密度为 ,质点得速度分量

8、为、及 ,则在时段内沿轴从左侧面流入六面得液体质量为dxdydzdt,若保持（ 适合不可压缩液体 ,恒定流与非恒定流 ） 它就是质量守y恒定律在水力学中得表现形式。它表征着不可压缩液体在运动时 其连续性 , 则线性变形必系伸长现象与缩短现象同时发生。2、积分形式得液体连续性方程 连续性方程写成矢量形式 : 其中为微分算子。体积积分 : 根据高斯公式 , 对于恒定流 , 对于不可压缩 ,n 就是液体边界得外法线方向考虑到速度与面积得方向 ,就可知 :,即 ,（微小流束得流量平衡 ） 积分后 ,可以得到 , 其中、为各自断面上得断面平均流速。 例:判断,流速为 :,得流动就是否满足连续性方程。 解

9、: ,那么满足 ,所以 ,满足连续性方程。第四节 以应力表示得粘性流体运动微分方程式、粘性流体得内应力表面力 ,9 个分量 :X 方向 :( yxyx dy) () ( yxyx dy)dzdx ( zxzx dz) ( zxzx dz)dxdyy 2 yxy 2 zxz2z2或, 同理 :其中 ,密度对于不可压缩流体就是已知常量,单位质量力也就是已知常量 ;未知量为 9个应力与三个速度分量。不容易求解。第五节 应力与变形速度得关系一、切应力与角应变速度得关系一元流动得牛顿内摩擦定律为 : 或可写为 , 切应力与流速梯度或直角变形速度得关系。就是直角变形速度 ,它就是角变形速度得 2 倍,在

10、xoy 平面上 ,那么 ,对于三元流动得牛顿内摩擦定律 ,可以写成如下形式 :六个切应力均可用粘性系数与直角变形速度得乘积来表示。二、法向应力与线变形速度得关系在理想流体中 ,同一点各方向得法向应力相等 ,（代表就是压应力 ）。在粘性流体中 ,粘性不 仅产生与切应力有关得角变形速度,而且使线变形速度也产生附加法向应力。使一点得法向应力与作用面方位有关。 取边长为得方形流体微团进行研究,先考虑方形微团在 x 方向上得伸长变形。微团在 x 方向上作伸长变形时 ,伸长为 ,而对角线旋转至 ,使产生角变形 ,这样在面上产生 切应力 ,线变形所产生得就要有力来平衡 ,这样就在面上产生了附加法向切应力。

11、根据这样得分析 ,就有与力得平衡 ,其中,就是微团在 x 方向上伸长得长度 ,那么 ,化简后 , 其中 ,就是 45 度角得角变形速度 ,那么 ,附加法向应力与线变形速度得关系:综合一下 ,得到 ,线变形运动使法向应力随伸长变形而减小,就有 ,这就就是粘性流体法向应力与线变形速度得关系。其中,为理想液体得压强 ,它得大小与作用面方位无关。 在粘性流体中 ,法向应力应该与方向有关了 ,所以 ,定义任意一点上三个相互 垂直平面上得法向应力得平均值得负值为粘性流体在该点得压强。对于满足连续性方程得不可压缩流体,所以 ,。而对于可压缩流体 ,代表得就是质点得体积膨胀率 , 与坐标得选择无关 ,而压强就

12、是空间坐标 得函数 ,与方向无关。第六节 NS 方程 将得表达式代入以应力表示得粘性流体运动微分方程,得到 :若流体粘滞性就是常数 ,那么 ,对于不可压缩流体 ,有连续性方程 ,所以 ,同理 ,可得 ,不可压缩粘性流体得运动微分方程它与连续性方程联立 ,求得速度得三个分量与压强。上式中 ,就是流体质点得加速度 ,对于欧拉得描述方法1px1py1p2( 2xu2xx2( xu2yx2( 2xu2zx2ux2y22uy2y2uz2y22zu2x) z2zu2y) z22zu2z) zuxtuytuztux ux x xuyuxxux uz xux uyxy uy uyyuz uy zyux uz

13、x zuyuzzuz uz z第七节 理想流体运动微分方程及其积分当流体为理想液体时,运动粘滞系数 ,ns 方程就简化为 :（223） 将式（213）代入 ,则上式化为（224） 再引用与得表达式 ,则又可化为（225） 上式为欧拉方程式用整体运动性质（位移、变形及旋转 ）所表现得形式 ,说明液体在各力作用下而运动时 ,表现有位移、变形及旋转作用得可能。对于不可压缩得理想液体 ,欧拉方程及连续方程提供出解决运动问题得四个独立条件。一般而论 ,可用以解决其中四个未知数 ,例如、及。二、欧拉哥罗米柯方程式下面我们再把欧拉方程变成具有涡旋分量得另一形式。 由流速可求得今将此式与欧拉方程式 （2 24

14、）中得第一式相减则得因得同理 （226） 今设体积力 （、）为有力势得力 ,亦即体积力分量可由其势能 （、 ）确定如下 :将之代入式 （226）,稍加整理则得(227),又称欧拉哥罗式（227）即就是在有势力作用下用涡旋分量表示得理想液体得运动方程式 米柯方程式。三、理想液体伯努力积分形式得能量方程 （25 分钟 ）由于水流就是在重力场中运动 , 重力为有势力所以 ,存在一势能函数水为不可压缩得液体 , 为常数故上式可写为能量方程得推导 : 基于上述柯罗米柯方程 ,通过观测 : 第一种情况无旋流则存在一流速势函数 , 且代入柯罗米柯方程 ,推出能量方程单纯重力作用时第二种情况恒定流积分 :如果

15、行列式等于零 , 则,与无关单纯重力作用下理想液体恒定流得能量方程时,满足条件式 14 其中得一条 ,就可以满足行列式为零得要求1., 无旋流或势流 ,并可用于流场空间内所有得空间点上。2.这就是一个流线得微分方程式 ,所以适用于同一个流线之上。3., 这就是一条涡线得方程式 ,所以适用于同一个涡线上各点。4., 恒定流中以流线与涡线相重合为特征得螺旋流,所以方程式也适用于恒定螺旋流中。根据以上论述 ,对于由上述 1、 2、3、4各种情况所限定得两个点上 （点1及点 2）,则得（234）各项含义 :位能、压能与动能。总得意义: 液体在运动过程中 ,尽管其机械能可以相互转化 ,但总得机械能就是守

16、恒得 ,上式就是普遍能量守恒原理在理想液体中得表现形式。对于实际液体 :积分形式势流推出积分2d(p u2) ( ux dxuy dyuzdz)( 2uxdx2uydydx dy dz2uzdz) 2ux uy uzx y z沿流线 :（ 为摩擦所作得功 ）任意两点 :（ 为惯性消耗 , 为惯性水头 ）第八节 流体流动得初始条件与边界条件 粘性流体得基本方程就是二阶偏微分方程,现在得任务就由原本结果具体得流体问题,转变成了解决这个粘性流体基本方程得解得问题。 方程得解不仅需要给出描述流体运动得方程 而且非常重要得就是 ,需要给出流动得初始条件 （时间变量 ）与边界条件 （空间变量 ）。 一、初

17、始条件 :方程组得解在初始时刻应满足得条件。在初始时刻,给出 :二、边界条件 : 在流场得边界 ,方程组得解应满足得条件。（1）在固体接触面上粘性 ,无滑移边界条件固壁静止理想流体 ,有滑移边界条件2） 不同液体得分界面 :两侧液体得速度与压强保持连续。（ 3） 液体与蒸汽得界面 ,若不考虑液面上饱与蒸汽中得动量、热量与质量交换时。 液体在平均液面垂直方向上得速度等于液面在垂直与平均液面方向上得高度随时间得 变化率得相反数。（4） 自由液面 ,若忽略表面张力得影响（5） 流道得入口与出口得边界条件 入口与出口断面上得流速与压强得分布 以及温度得变化 ,流量得输入速度等得边界条件 ,具体问题具体分析。第九节 不可压缩粘性流体紊流运动得基本方程及封闭条件不可压缩粘性流体运动得基本方程 ,ns 中得各量应为瞬时值。1222puxuxux)X(222)xxyz1222Yp(2uy22uy22zu2y)yxy2z222Z1p(uz2uz22zu2z)zxyz方程既适用于层流也适用于紊流,对于紊流 ,方程uxuxuxuxuxuyuztxyzuyuyuyuyuxuyuztxyzuzuzuz