人教版八年级数学《线段的垂直平分线的性质及其判定》

1、人教版八年级数学人教版八年级数学 上册上册13.1 轴对称轴对称 （第（第2课时）课时）你能用不同的方法验证你能用不同的方法验证这一结论吗这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质如图，直线如图，直线l 垂直平分线段垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是是l 上的点，请猜想点上的点，请猜想点P1，P2，P3， 到点到点A 与点与点B 的的距距离之间的数量关系离之间的数量关系相相等等 ABlP1P2P3探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质 请在图中的直线请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的

2、距离相等吗？两个端点的距离相等吗？ 线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等ABlP1P2P3已知：已知：如图，直线如图，直线lAB，垂足为，垂足为C，AC = =CB，点，点P 在在l 上上求证：求证：PA = =PB探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质命题：命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等离相等”ABPCl探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质用符号语言表示为：用符号语言表示为： CA = =CB，lAB， PA = =PBABPCl证

3、明证明：lAB， PCA =PCB= 90 在在APC与与BPC中中 PC=PC（公共边）（公共边） PCA=PCB（已证）（已证） AC=BC（已知）（已知） PCA PCB（SAS） PA = =PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)探索并证明线段垂直平分线的性质探索并证明线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等相等提示提示: :这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明两条线段相等两条线段相等的根据之一的根据之一. .8课堂练习课堂练习练习练习1如图，在如

4、图，在ABC 中，中，BC = =8，AB 的中垂线的中垂线 交交BC于于D，AC 的中垂线交的中垂线交BC 与与E，则，则ADE 的周长等的周长等 于于_A B C D E 解：解：ADBC，BD = =DC， AD 是是BC 的垂直平分线，的垂直平分线， AB = =AC 点点C 在在AE 的垂直平的垂直平 分线上，分线上， AC = =CE课堂练习课堂练习练习练习2如图，如图，ADBC，BD = =DC，点点C 在在AE 的的垂直平分线上，垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+ +BD与与DE 有什么关系有什么关系？A B C D E AB = =AC

5、 = =CE AB = =CE，BD = =DC， AB + +BD = =CD + +CE 即即AB + +BD = =DE 例例1 1、如图，在如图，在ABC中，中，ED垂直平分垂直平分AB，1) 若若BD10，则，则AD= 。2) 若若A50 ，则，则ABD 。3) 若若AC14，BCD的周长为的周长为24，则，则BC= 。1050 10 高高 速速 公公 路路AB 在某高速公路在某高速公路L L的同侧，有两个工厂的同侧，有两个工厂A A、B B，为了便，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，

6、问医院的院址应选院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么在何处？你的方案是什么? ?生活中的数学生活中的数学L探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定反过来，如果反过来，如果PA = =PB，那么点，那么点P 是否在线段是否在线段AB 的的 垂直平分线上呢？垂直平分线上呢？点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上 已知：如图，已知：如图，PA = =PB求证：点求证：点P 在线段在线段AB 的垂直平的垂直平分线上分线上PAB C 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定证明：证明：过点过点P 作线段作线段AB

7、的垂线的垂线PC，垂足为垂足为C则则PCA = =PCB = =90在在RtPCA 和和RtPCB 中，中，PA = =PB，PC = =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC = =BC又又 PCAB， 点点P 在线段在线段AB 的垂直平分线上的垂直平分线上PAB C 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定用数学符号表示为用数学符号表示为：PA = =PB，点点P 在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上与一条线段两个端点距离相与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分等的点，在这条线段的垂直平分线上线上PAB C 这些点能组成什么几何图形？这些点能组成什

8、么几何图形？ 探索并证明线段垂直平分线的判定探索并证明线段垂直平分线的判定你能再找一些到线段你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？两端点距离相等的点？ 在线段在线段AB 的垂直平分线的垂直平分线l 上的上的点与点与A，B 的距离都相等；反过来，的距离都相等；反过来，与与A，B 的距离相等的点都在直线的距离相等的点都在直线l上，所以直线上，所以直线l 可以看成与两点可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合的距离相等的所有点的集合PAB C 性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等。

9、判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是线段垂直平分线可以看作是与与线段两个端点距离相等线段两个端点距离相等的所有点的的所有点的集合。集合。辨析：辨析：线段垂直平分线的性质与判定定理的区别线段垂直平分线的性质与判定定理的区别 二者是互逆定理，线段垂直平分线的性质定理的二者是互逆定理，线段垂直平分线的性质定理的已知条已知条件是线段垂直平分线件是线段垂直平分线，结论是垂直平分线上的点与这条结论是垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等线段两端点的距离相等 线段垂直平分线的判定定理的线段垂直平分线的判定定理的已知条件是一个点与一线

10、已知条件是一个点与一线段两端点的距离相等段两端点的距离相等，结论是这个点在线段的垂直平分结论是这个点在线段的垂直平分线上线上 线段垂直平分线的线段垂直平分线的性质是解决线段相等问题的一种重要性质是解决线段相等问题的一种重要方法；方法；线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）系（垂直平分） 3 3、如图，、如图， ABMND解：解：AB = =AC，点点A 在在BC 的垂直平分线的垂直平分线MB = =MC，点点M 在在BC 的垂直平分线上，的垂直平分线上，直线直线AM 是线段是线段BC 的垂直的垂直 平分线平分线课堂练习课堂练习练习练习

11、3如图，如图，AB = =AC，MB = =MC直线直线AM 是线段是线段 BC 的垂直平分线吗的垂直平分线吗？A B C D M 在在ABCABC中，中，PDPD，PEPE分别是分别是ABAB，ACAC的垂的垂直平分线，并相交于点直平分线，并相交于点P P，求证：点，求证：点P P也在也在BCBC的垂直平分线上。的垂直平分线上。知识应用知识应用PDEABC点点P在在BC的垂直平分线上。的垂直平分线上。（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）段的垂直平分线上。）ABCPD证明证明：连结连结PB。 PD是是AB的垂直平分线的垂直

12、平分线（已知）（已知） PA=PB（线段的垂直平分线（线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的上的点和这条线段的两个端点的距离相等距离相等） PA=PC（已知）（已知） PB=PC（等量代换）（等量代换） 某区政府为了方便居民的生某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区活，计划在三个住宅小区A A、B B、C C之间修建一个购物中心，试问，之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。使得它到三个小区的距离相等。ABC思考：生活中的数学思考：生活中的数学尺规作图尺规作图如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线如何用尺规

13、作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线的垂线？CABKFDE已知：直线已知：直线ABAB和和ABAB上一点上一点C C（如图）（如图）求作：求作：ABAB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C C作法：作法：（1）任意取一点）任意取一点K，使点，使点K和点和点C在在AB的两旁。的两旁。（2）以点）以点C为圆心，为圆心，CK为半径作弧，交为半径作弧，交AB于点于点D和和E。（3）分别以点）分别以点D和点和点E为圆心，大于为圆心，大于1/2DE的长为半径作的长为半径作 弧，两弧相交于点弧，两弧相交于点F。（4）作直线）作直线CF。直线直线CF就是所求作的垂线。就是所求作的垂线。 问题思考：问题思

14、考：既然轴对称图形的对称轴是任何既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？图形的对称轴如何来作呢？ 只要我们找到一对对应只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了两个图形的对称轴了如何作出线段的垂直平分线？如何作出线段的垂直平分线？ 由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可

15、 如图，如图，已知线段已知线段ABAB，用直尺和圆规作，用直尺和圆规作AB AB 的垂直平分线的垂直平分线. .AB分别以点分别以点A、B为圆心，以大为圆心，以大于于 AB的长为半径作弧，两弧的长为半径作弧，两弧相交于相交于C、D两点；两点； 作直线作直线CD . CD即为所求的直线即为所求的直线.21尺规作图尺规作图结论：结论：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. .1.1.下图中的五角星有几条对称轴？作出下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对

16、称轴这些对称轴 A AB B作法：作法：（1 1）找出五角星的一对）找出五角星的一对对应点对应点A A和和B B，连接，连接ABAB（2 2）作出线段）作出线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线n n则则n n就是这个五角星的一条对称轴就是这个五角星的一条对称轴 n n用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五五条条对称轴对称轴 【跟踪训练跟踪训练】 如图，如图，A、B表示两个仓库，要在表示两个仓库，要在A、B一侧的河一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？说说理由，码头

17、应建在什么位置？说说理由. 码头应建在线段的垂直平分线与码头应建在线段的垂直平分线与A，B一侧的河岸边的交一侧的河岸边的交点上理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点上理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等点的距离相等应用新知，解决问题应用新知，解决问题如图，如图，A A，B B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站公共汽车站. .使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？车站应建在什么地方？BA【提示提示】连接连接ABAB，作，作ABAB的垂直平分线，则与公路的的垂直平分

18、线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站交点就是要建的公共汽车站. .有有A A，B B，C C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. .A AB BC C【提示提示】学校在连接任意两学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线点的两条线段的垂直平分线的交点处的交点处. .1.1.（临沂（临沂中考）正方形中考）正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点，点E E，F F分别是对角分别是对角线线BDBD上的两点，过点上的两点，过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB的平行线，如图所示，的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于则图中阴影部分的面积之和等于 【解析解析】运用轴对称、转化的思想，阴运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即影部分面积等于正方形面积的一半，即 . .答案：答案：21a221a2