全国高中数学联赛模拟试题(八)

1、全国高中数学联赛模拟试题(八)姓名 得分第一试、选择题：(每小题6分，共36分)1、设集合附 2,0,1 , N=123,4,5，映射 f ：M户N使对任意的x Ml,都有2、x+f (x)+xf (x)(A) 45是奇数，则这样的映射(B) 27f的个数是(C) 15(D) 11已知sin2 =acos2 =b, 0 V一,给出tan4值的五个答案:4b;1 ab 13、a b 1其中正确的是:(A)若干个棱长为2、(B)(C)3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为(D)90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是(A) 64(B) 66(C) 68(D) 704、递增数列1,3,

2、4,9,10,12,13,，由一些正整数组成，它们或者是3的哥，或者是5、若干个3的哥之和,则此数列的第(A)729(B)972100项为(C) 243(D) 981CnCn Cn4mC n1 -(其中,x表示不超过x的最大整数)的值为(A)2n cosn(B)on n2 sin 46、(C)2nncos一4(D)2ns吟一个五位的自然数 abcde称为“凸”数，当且仅当它满足a<b< c, c>d>e (如12430, 13531等)，则在所有的五位数中“凸”数的个数是(A) 8568(B) 2142(C) 2139(D) 1134二、填空题:(每小题9分，共54分)

3、22PH(H为垂足)，并延长1、过椭圆 L 3一1上任意一点P,作椭圆的右准线的垂线 32PH到Q使得HR PH(>1).当点P在椭圆上运动时，点 Q的轨迹的离心率的取值范围是2、已知异面直线a、b所成的角为60° ,过空间一点 P作与a、b都成角 （0<<90° ）的直线1,则这样的直线l的条数是f（尸.片4X23、不等式2 2x 9的解集为.1,1 2x4、设复数z满足条件|zi|二1，且zw 0, z w 2i ,又复数 使得2i- -z为实数，z 2i则复数 2的辐角主值的取值范围是 .1111 一5、 设 a1, a2, , 22002均为正头数

4、, 且 一，贝U a1a2-j 220022 a12a22 220022的最小值是.6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8,则称它为“优选”数码（如12883, 787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756, 958288 等），则长度不超过n （n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和 为.三、（20分）已知数列an是首项为2,公比为1的等比数列，且前 n项和为 2（1 ） 用&表木Sn+1 ；S- c（2）是否存在自然数 c和k,使得 上 >2成立.Sk c四、（20分）设异面直线a、b成60°角，它们的公垂线段为 EF,且

5、| EF=2 ,线段AB的长 为4,两端点 A B分别在a、b上移动.求线段 AB中点P的轨迹方程.五、(20分)已知定义在R+上的函数f(x)满足(i )对于任意 a、be R+,有 f (ab)=f (a)+f (b)；(ii )当 x> 1 时，f (x) v 0；(iii ) f (3)= 1.现有两个集合 AB,其中集合A=(p, q)|f (p2+1)f(5q)2>0,p、qCR+,集合 B=( p, q)| f( )+ - =0, p、qC R+.试问是否存在 p、q,使 A B ，说 q 2明理由.第二试、(50 分)如图，AM AN是。的切线，M N是切点，L是劣

6、弧MNLk异于M N的点，过2 _点A平行于MN的直线分别交 ML NL于点Q P.若SoOSA POQ ,求证：/3POQ60 .二、(50分)1+5anan+1已知数列ai=20, a2=30, an+2=3an+i an ( n> 1).求所有的正整数 n,使得 是完全平方数.(50 分)设M为坐标平面上坐标为(p 2002,7 p 2002)的点，其中p为素数.求满足下 列条件的直角三角形的个数：(1) 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点；(2) 三角形的内心是坐标原点.参考答案 第一试、选择题:题号123456答案ACBDDB二、填空题:四、五、1、3、5、2,04002Sn 1不存在.、证略;n=3.20022Sn2、0,01, 2,303,4,030603