求二面角方法——1定义法

1、二面角1定义法二面角二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为，则，多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下：定义法：利用二面角的平面角定义，在二

2、面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性ABCD1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角ABDC、BACD的大小ABCDOE解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC在ABD中，ABAD，BD2，ABD是等腰直角三角形，AOBD，同理OCBDAOC是二面角ABDC的平面角。又AOOC1，AC，AOC90°即二面角ABDC为直二面角。(2)取AC的中点E，连BE、DEABBC，ADDC，BDAC，DEAC，BED就是二面角的平面角在BDE中，BEDE，由余弦定理，得2.在四

3、棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PAAB，求二面角BPCD的大小。PBACDPBACDH解：，过B作BHPC于H，连结DH使DHPC，故BHD为二面角BPCD的平面角。因PB,BC,PC,PB·BCPC·BH，则BHDH又BD，在BHD中由余弦定理，得：cosBHD又0BHD，则BHD，二面角BPCD的大小是。DABC3.三棱锥ABCD中，BACBCD90°，DBC30°，ABAC，AD4，求二面角ABCD的度数。解：由已知条件BAC90°，ABAC，设BC的中点设为O，则OAOCDOABCBC解之得：BACD4.如图AC

4、面BCD，BD面ACD，若ACCD1，ABC30°，求二面角的大小。解：即所求角的大小为。（此题也可用垂线法）练习：1.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。方案一：（）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD.（）解：过点B作BE/CA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所成的角.连结AE，可知AC=C

5、B=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90°在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足为N，连结BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC,BNCM，故ANB为所求二面角的平面角.CBAC，由三垂线定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=，. AB=2，故所求的二面角为方法二：因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（）证明：因由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD