浙江省杭州市2018届中考数学专题复习八三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形试题浙教版

1、2三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形国IM呼 教学准备一.教学目标：(1)掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。(2)利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。(3)培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二.教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些 知识解决问题的能力。三.知识要点：知识点1三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于 180° ;三角形三个外角的和等于 360° ;三角形

2、一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点2 三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是6

3、0。的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个内角都等于 60°。知识点4直角三角形直角三角形的识别：有一个角等于90°的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点5全等三角形定义、判定、性质知识点6

4、相似三角形定义相似三角形两对应边的比相等，夹角相等 判定方法两个对应角相等三条对应边的比相等对应边的比相似三角形的性质对应高的比等于相似比 周长比面积比相似比平方知识点7锐角三角函数与解直角三角形弦片 .”sin a =门”m(9。一T余弦N锐角二角函数后困J ian Q =co<(gO- 口T特殊角三鬲百薮1r(三边关系好直福三角形常用关系I-【两袤瓦吴 索IT-一角关系1转化直角三角形日古视角问题,常用术语坡度方位角刖哪手 例题精讲例1. (1)已知：等腰三角形的一边长为 12,另一边长为5,求第三边长。(2)已知：等腰三角形中一内角为80。，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：

5、利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解：(1)分两种情况:若腰长为12,底边长为5,则第三边长为12。若腰长为5,底边长为12,则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。 因此第三边长为12。(2)分两种情况：若顶角为80。，则另两个内角均为底角分别是50。、50。若底角为80。，则另两个内角分别是 80。、20。因此这个三角形的另外两个内角分别是50。、50。或80。、20。说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例2.已知：如图，/ ABCF口/ECDTB是等腰三角形，/ ACB= / DC号90° , D为AB边

6、上的一点，求证：(1)AC降力BCD (2) AD2 +AE2 =DE2。/ /JXd分析：要证/AC凄/BCD已具备 AC= BG CE= CD两个条件，还需 AE= BD或/ ACE= / BCD而/ ACE= /BCD!然能证；要证 AD2 +AE2 =D ,需条件/ DAE= 90° ,因为/ BAC= 45° ,所以只需证/ CAE= / B= 45° , 由/AC降/BC。归得证。证明：(1) / DCE= /ACB= 90 ,DC曰 / ACD= Z ACIB- / ACD即 / ACE= / BCD AC= BC CE= CD. L ACE2 /

7、BCD(2) ./ACE /BCD，/CAE= / B= 45° , / BAC= / B= 45° ,/ DAE= 90° , . AD2 + AE2 = DE2。例3.已知：点 P是等边/ABCft的一点，/ BPC= 150° , PB= 2, PC= 3,求PA的长。分析：将NBA磷点B顺时针方向旋转 60°至BCD即可证得BPM 等边三角形， /PCM直角三角形。解：.BC= BA 将BA暇点B顺时针方向旋转 60。，使BA与BC重合，得力BCD连 结PD. BD= BP= 2, PA= DC，BP比等边三角形。，/ BPD= 60&

8、#176; 。 ./DPC= Z BPO Z BPD= 150° 60 = 90 。DC= JPD2 PC2 42 32 而.PA= DC= tT。【变式】若已知点 P是等边/ABCft的一点，PA=。石,PB= 2, PC= 3。能求出/ BPC勺度数吗？请试一试。例4.如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结PAPRPC?以BP为边作/ PBQ= 60°,且BQ=BP,连结CQ(1)观察并猜想 AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.(2)若PA PB: PC= 3: 4: 5,连结PQ试判断 PQC勺形状，并说明理由.解：(1)把4ABP绕点B顺时针旋转60

9、76;即可得到 CBQ利用等边三角形的性 质证 AB国 CBQ得到 AP= CQ(2)连接PQ,则 PBQ等边三角形.PQ= PB,AP= CQCQ PQPC= PA:PB:PC= 3: 4:5,PQB直角三角形.点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明.并运用与它相关的性例5.如图，有两个长度相同的滑梯(即BC= EF),左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度 DF相等，则/ ABO Z DFE=.分析：/ABC与/ DFE分布在两个直角三角形中，？若说明这两个.直角三角形全等则问题便会迎刃而解.解答：在 RtABC和RtDEF中，BC= EF

10、, AC= DF, ABC DEF 1 / ABC= / DEF, ./ABO Z DFE= 90° ,因此填 90° .点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等,32质进行解题.例6.中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时” .？一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪 O', ?测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5秒.（1）试求该车从 A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速.工

11、'解析：（1）要求该车从 A点到B点的速度.只需求出 AB的距离，丁， 在4OAC外,OG= 25 米. / OAC= 90° 60° =30°，.= OA= 2CO= 50 米"丁 9由勾股定理得 CA= Joa2 OC2 J502 252 =2573 （米）在 OBC中，/ BOC= 30°.BC= 1- OB（2B。2=BC2+ 252. . BC=竺 V3 （米）AB= AC BC= 25 J333 = 33 （米）从 A 到 B 的速度为33 +1.5 = 33 （米 / 秒）3339（2） J3米/秒69.3千米/时9. 6

12、9.3千米/时70千米/时该车没有超过限速.点评：此题应用了直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用.例7.如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：在正方形网格的三条不同的实 线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的 正方形网格中作出了 RtABC请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并 使三个网格中的直角三角形互不全等.3例8.如图所示，在 ABC中，AB= AC= 1,点D、E在直线BC上运动，设 BD= x, CE= y.（1）如果/ BA

13、C= 30° , / DAE= 105° ,试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果/ BAC的度数为“，/ DAE的度数为3,当“、3满足怎样的关系式时, （1）中y与x?之间的函数关系式还成立，试说明理由.解：(1)在 ABC中，AB= AC= 1 , / BAC= 30° , Z ABG= ?ZACB= 75° , Z ABD= / AC打 105 又 / DA巳 105° ,DAB+ / CA± 75° . ?又 / DA？/ADB= /ABC= 75° , / CA9 / ADB ADE EACAB BD

14、1 x1 )即一 一,. y =.EC ACy 1x(2)当a、3满足3 1、一 =90 , y=一仍成立. . EDMh FBMDE一，?BF此时/ DABF / CAE= 3 - a ,r/ DA拼 / ADB= 3 a , ./ CAE= / ADB1又./ ABD= /ACEAD/ EAC； ：.、= 一 .X点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系.例9.如图，梯形 ABCD43, AB/ CD且AB= 2CD E, F分别是 AB, BC?勺中点，EF与BD相交于点 M(1)求证： EDMT FBh/J(2)若 DB= 9,求 BM(1)证明：E是

15、AB中点，AB= 2BE, AB= 2CD CD= ER 又AB/ CD，四边形CBED平行四边形，DEM BFM.CB/ DEEDM FBM(2)解：EDMh FBM BM.F 是 BC中点，DE= 2FB, . . DM= 2BM，BM= 1 DB= 33例 10.已知ABC / ACB= 90a, CDL AB于 D, AD： BD= 2 ： 3 且 CD= 6。求(1) AB; (2) AC分析：设AD= 2k, BD= 3k。根据直角三角形和它斜边上的高，可知ABSAACID CBD通过相似三角形对应边成比仞求出其中 k的大小；但是如果根据射影定理，那么就可以直接计算出k的大小。解：

16、设 AD= 2k, BD= 3k (k >0)。Z ACB= 90a, CDLAB。，CD=AC?BD .62=2k?3k,k=屈。AB= 5V6。又; aC=AD?ARAC= 2<15 。例 11.已知ABC43, / ACB= 90a, CHL AB HEEL BC HF, AC求证：(1) AHEFAEH(C (2) HE田 HBC分析：从已知条件中可以获得四边形CEHF1矩形，要证明三角形全等要收集到三个条彳有公共边EH,根据矩形的性质可知 EF= CH HF= EC要证明三角形相似，从条件中得/FH&/ CH990o,由全等三角形可知，/ HE展/ HCB这样就可

17、以证明两个三角形相似。证明：. HEL BC HF!ACCEH=/CFH= 90o。又ACB= 90o, 四边形 CEHF是矩形。.EF= CH HF= EC, Z FHE= 90o。又 HE= EH .HFEQEHC，/HEF= / HCB. / FHE= / CHB= 90o,.HE田 HBC说明：在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻 找解决,问题需要的条件。解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系。培养学生良好的思维习惯。例12.两个全等的含 30o, 60o角的三角板 ADE ABCffl图所示放置，E, A C，TB三点在一条直线上，连

18、接 BD取BD的中点M连结ME MC试判断 EMC!什么M9、样的三角形，并说明理由。分析：判断一个三角形的形状， 可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EM= MC要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而MD= MB图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角 形？根据已知点 M是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得: =MA连结 M A后，可以证明 MDEA MAC答： EMC1等腰直角三角形。证明：连接AM由题意得，DE= AC AD= AB, / DA

19、Eb / BAC= 90o。. . / DAB= 90o。 . DA斯等腰直角三角形。又. MD= MB MA= MD= MB AML DB / MAD= Z M AB= 45o。 ./ MDE= / MAG 105o, / DMA 90o。MDB MAC ./ DME= / AMC ME= MC又/ DME- / EMA= 90o, ./ AMC- / EMA= 90o。 .MCL EM . EMC1等腰直角三角形。说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知 识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转

20、化，善于转化,更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。目课后练习1 .如图， ABC中，D E分别是 AC AB上的点，BD与CE交于点O, ?给出下列三个条件：/ EBO= / DCO / BEO= / CDO BE= CD3.一块直角三角形木板的一条直角边方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图(1),乙设计的方案如图(2)。你认为哪位同学设计的方案(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)；(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明 ABC是等腰三角形.2 . (1)已知如图，在 AOBF口 ACOD, OA= OB OG

21、= OD Z AOB= / COD= 60o。求证： AO BD / APB= 60o。(2)如图，在 AOB。珅，OA= OB OG= OD Z AOB= / CO& a ,则 AC与BD间的等量关系式为; / APB勺大小为。(3)如图，在 AO丽4CO珅，OA= kOB OC= kOD(k>1), Z AOB= / CO& a ,则 AC! BD间的等量 关系式为 ; / APB的大小为。AB长为1.5m,面积为1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正较好？试说明理由。(加工损耗忽略，计算结果可保留分数)4. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:3

22、.5cm x 3.5cm ,放映的荧屏的规格为2mx 2m,若放映机的光源距胶片 20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏?5 .如图，已知/ MON90。，等边三角形 ABC勺一个顶点A是射线OM：的一定点，顶点 B与点O重合，顶点C在/ MON部。(1)当顶点B在射线ON上移动到B时，连结AB为一边的等边三角形ABG (保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)设AB与O©于点Q AC的延长线与B1C交于点D)求证：AC AD AB1 AQ ;(3)连结CC,试猜想/ ACC为多少度？并证明你的猜想。6 .如图所示，设 A城气象台测得台风中心在 A?M正西

23、方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心 500km?的范围是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么?(2)若A城受到这次台风的影响，那么 A城遭受这次台风的影响有多长时间?7 .(1)如图，在RtABC中，/C= 90° ,AD是/ BAC的角平分线，/CAB= 60° ,?CA J3,BD-2 J3 ,求AC, AB的长.(2) “实验中学”有一块三角形状的花园ABC ?有人已经测出/ A= 30° , AC= 40米，BC= 25米，你能求出这块花园的面积吗?(3)某片绿地形状如图

24、所示,其中 AB± BC, CDL AD Z A= 60° , AB= 200m, CD= 100m, ?求 AD BC的长.8.高为12米的教学楼ED前有一棵大树 AR如图所示.(1)某一时刻测得大树 AB,教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC= 2.5米，DF= 7.5米，求大树 AB的高度；(2)现有皮尺和高为 h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：在图中，画出你设计的图形(长度用字母m, n表示，角度用希腊字母a , 3表示)根据你所画出的，示意图和标注的数据，求出大树的高度并用字母表示.9.如图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，？该居

25、民楼的一楼是高 6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面 15?米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32。时.(1)问超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？53(2)若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？(？结果保留整数，？参考数据：sin320=£3100cos32 ° tan 32°阳 f )1258目!孙&练习答案1 .解：(1)或(2)已知求证 ABC是等腰三角形.证：先证4 EB® DCO 彳导 OB= OC 得 / DBC= / ECB丁./ ABC= / ACB即 ABC是等腰三角形2 .证明：. AOBF口ACO四正三角形，OA= OB O氏 OC /AOB= 60o, / COD 60o。. / AOB- / BOC= / COD- / BOC . . / AOC= / BOD. .AO仁 BOD, . AC= BD . Z OAC= / OBD ./ APB= / AOB= 60oo(2) AC与BD间的等量关系式为 AC= BD / APB勺大小为“。(3) AC与BD间的等量关系式为 AC= kBD; / AP