2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习第三章第3讲导数与函数的极值、最值

1、知识，回顾第3讲导数与函数的极值、最值l解函花蒐md的必«条件和充分条件,队近几年的书点情我来看,小许是岛多的耳中，拉工空m导立或由盥的搬比值.赧小做用中多项式函数一般事EB统势考育利印导效求南敢的修值.最值以及审片商依越过三次1的授位和脏置的等令同国3一盍求同1川上南附的最大值,最小(tit苒中多项戌函数一股正超过三次1IT*赤邦越艳惟鹿.数学运赛理药制-杏实必帮知识最新考纲考向德泅:走进教材、知识梳理1.函数的极值函数y = f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x= a附近其他点的函数值都小， f'a)=0; 而且在点x= a附近的左侧f' x)<0

2、,右侧f' x) >0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a) 叫做函数y = f(x)的极小值.函数y = f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x= b附近其他点的函数值都大， f'b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f' x) > 0,右侧f'x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b) 叫做函数y = f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.提醒(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点.(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或

3、极小值.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.2.函数的最值(1)在闭区间a, b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a, b上单调递增，则 回为函数的最小值，血为函数的最大值；若函数f(x)在a, b上单调递减，则 也为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.提醒极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未 必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.常用结论记住两个结论(1)若函数在开区间(a, b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点.(2)若函数在闭区间a, b的最值点不是端点，

4、则最值点亦为极值点.二、习题改编1.(选彳1-1P94例4改编)若函数f(x)=2x3-x2 + ax+ 3在区间(1 , 1)内恰有一个极值 点，则实数a的取值范围为()A. (-8, - 4)B. -8, -4)C.( 一 8, 一 4D.( 00, 一 8 U - 4,十°°)答案：C2.(选彳1-1P99A组T6改编)函数f(x)=ln x x在区间(0, e上的最大值为()A. 1-eB. 1C. eD. 0答案：B走出误区一、思考辨析判断正误(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.()(2)导数为零的点不一定是极值点.(

5、)(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)函数的极大值一定是函数的最大值.()(5)开区间上的单调连续函数无最值.()答案：(1)X (2)V (3)V (4)X(5)，二、易错纠偏常见误区(1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验；(2)混淆极值与极值点的概念；(3)连续函数在区间(a, b)上不一定存在最值.1 .若函数f(x) = x(x c)2在x= 2处有极小值，则常数 c的值为.解析：函数f(x)=x(xc)2的导数为f x)= 3x2-4cx+c2,由题意知，在x=2处的导数值 为128c+ c2=0,解得c= 2或6,又函数f(x) = x(x c)2在x= 2处有极小值

6、，故导数在x =2处左侧为负，右侧为正，而当c= 6时，f(x)=x(x 6)2在x= 2处有极大值，故c= 2.答案：22,函数g(x) = x2的极值点是 ,函数f(x)= (x1)3的极值点 (填”存 在”或“不存在”).解析：结合函数图象可知g(x)=x2的极值点是x=0.因为f' x)=3(x1)2>0,所以f'x)=0无变号零点，故函数f(x) = (x- 1)3不存在极值点.答案：0不存在3,函数g(x) = x2在1, 2上的最小值和最大值分别是 ,在(1, 2)上的最小值和 最大值均(填“存在”或“不存在”).解析：根据函数的单调性及最值的定义可得.答案

7、：1, 4不存在明考向，a击考例考法考点函数的极值问题(多维探究)角度一由图象判断函数的极值例亘I已知函数f(x)的导函数f'x)的图象如图，则下列叙述正确的是()A .函数f(x)在(一00, 4)上单调递减B.函数f(x)在x= 2处取得极大值C.函数f(x)在x= - 4处取得极值D.函数f(x)有两个极值点【解析】由导函数的图象可得，当xW2时，f x)>0,函数f(x)单调递增；当x>2时, f'x)<0,函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(2, 十°°),故A错误.当x= 2时函数取得极大值，故B正确.当x=

8、4时函数无极值，故C错误.只有当x= 2时函数取得极大值，故D错误.故选B.由图象判断函数y=f(x)的极值，要抓住两点：(1)由丫=/x0的图象与x轴的交点，可得 函数y= f(x)的可能极值点；(2)由导函数y=f' x)的图象可以看出y=f' x)的值的正负，从而可 得函数y=f(x)的单调性，两者结合可得极值点.角度二求已知函数的极值例已知函数f(x)=ln x+a-x,求函数f(x)的极小值.1 a 1 x (a 1)f'x)=；一工=7(x>0)，x xx当a 1W0,即aW1时，f'x)>0,函数f(x)在(0,+8)上单调递增，无极小

9、值.当a 1>0,即a>1时，由f'x)<0,得0<x<a 1,函数f(x)在(0, a1)上单调递减;由 f' x)>0 ,得 x>a1,函数 f(x)在(a 1, 十°°)上单调递增.f(x)极小值=f(a1)= 1 + ln(aT).综上所述，当aw 1时，f(x)无极小值;当 a>1 时，f(x)极小值=1 + ln(a 1).利用导数研究函数极值问题的一般流程1或定义域r11 _求用解方程/英>=0如方程/=0根的情况r I ' , I :粕根左右/词的符号I德美1母数的力提(不等式)p

10、"r、m他国)角度三已知函数的极值求参数值(范围)例亘 设函数 f(x) = ax2-(3a+1)x+ 3a+ 2ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线斜率为0,求实数a的值；(2)若f(x)在x= 1处取得极小值，求实数 a的取值范围.【解】 因为 f(x)=ax2(3a+1)x+3a+2ex,所以 f'x)= ax2(a+1)x+1ex.f (肖(2a1)e2 1 由题设知f (2)0,即(2a1)e2=0,解得a = 2.(2)由(1)得 f,x)=ax2-(a+1)x+ 1ex= (ax1)(x1)ex.若 a>1,则当 xC = 1 时，f

11、'x)<0; a当 xC (1, +8)时，F x)>0.所以f(x)在x= 1处取得极小值.若 aW1,贝U当 xC (0, 1)时，ax 1 <x 1<0,所以 f'x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1, +8).已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为。和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解 后必须验证根的合理性.提醒若函数y=f(x)在区间(a, b)内有极值，那么y=f(x)在(a, b)内绝不是

12、单调函数， 即在某区间上单调函数没有极值.1. (2020昆明市诊断测试)已知函数f(x)= (xx2 x+1 令 g(x)= ln x x+x+ a 1, xC (1, e),则 f'x)= exg(x), g'x) = x2<0 恒成立，所以g(x)在(1, e)上单调递减，m)ex,若函数f(x)的图象在x= 1处切线 的斜率为3e,则f(x)的极大值是()A. 4e 2B. 4e2C. e 2D. e2解析：选 A.f'x)= (x2+2x m)ex.由题意知,f' (1) (3 m)e= 3e,所以 m=0, f'x)=(x2+ 2x)e

13、x.当 x>0 或 x< 2 时，f'x)>0, f(x)是增函数；当一2<x<0 时，f'x)<0, f(x)是减函数.所以当x= 2时，f(x)取得极大值，f(2) = 4e-2故选A.2,已知 f(x) = x所以 g(x)<g(1) = a1 w 0,所以1x)=0 在(1, e)内无解. + 3ax2 + bx+ a2在 x= - 1 处有极值 0,则 a- b =.解析：由题意得f'x)= 3x2+6ax+b,则a?+ 3a b 1 = 0,b-6a+ 3=0,a= 1, a= 2,解得 或b= 3 b= 9,经检验

14、当a= 1, b=3时，函数f(x)在x= - 1处无法取得极值，而a=2, b=9满足题意，故 a b= 1 7.答案：73.已知函数f(x) = ex(-x+ ln x+a)(e为自然对数的底数，a为常数，且a< 1).判断函 数f(x)在区间(1, e)内是否存在极值点，并说明理由.解：f'x) = ex(ln xx+-+ a 1), 、x '所以函数f(x)在区间(1, e)内无极值点.考点目函数的最值问题(师生共研)x 1例2) (2020贵阳市检测)已知函数f(x)=-ln x.x求f(x)的单调区间；1(2)求函数f(x)在e上的取大值和取小值(其中e是自然

15、对数的底数). e【解】(1)f(x)= ln x= 11ln x, f(x)的定义域为(0, 十°°).xx因为11 1 xf'x)=x2片丁,所以 f'x)>0? 0<x<1, f x)<0? x> 1,所以 f(x)在(0, 1)上单调2B.3C. 1解析:选 A.f' x) =2x (2x+1) 2x2 2x (x+1)(2x+ 1) 2(2x+1)一，x 21. 一 一，1 ,当 f x)=0 时，x= 0;3递增，在(1 , + 00)上单调递减.1(2)由(1)得f(x)在一，1上单倜递增，在(1, e上单

16、倜递减, e所以f(x)在5 e上的极大值为f(1)= 1 - ln 1 = 0. e1又 f 1 = 1 - e- In 1= 2- e, f(e)= 1 - In e= - 且 f , <f(e). eeee e1所以f(x)在一，e上的取大值为 0,取小值为2-e. e求函数f(x)在a, b上最值的方法(1)若函数在区间a, b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值.(2)若函数在闭区间a, b内有极值，要先求出a, b上的极值，与f(a), f(b)比较，最大 的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.(3)函数f(x)在区间(a, b)上有唯一一个极值点

17、，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.x A.3D. 0 ，11,函数f(x)=在 一1, 1上的最小值与最大值的和为()2x+131当WxW0 时，f'x)<0;当 0<XW1 时，f，X0>0,一 31所以f(x)在一鼻，0上是减函数，在(0, 1上是增函数.所以f(x)min = f(0)= 0. 311.1又 f -3 =3, f(1)=3.1所以f(x)的最大值与最小值的和为1.32. (2020广东五校联考)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.(1)当a=- 1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0,

18、 e上的最大值为一3,求a的值.解：(1)易知f(x)的定义域为(0, +8),.,.1. X A ._.当 a= 1 时，f(x) = x+ In x, f x)= 1 + -=,令 f x)= 0,得 x= 1.x x当 0vx<1 时，f' x)>0 ;当 x>1 时，f'x)<0.所以f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1 , +8)上是减函数.所以f(x) max= f(1) = 1.所以当a=1时，函数f(x)在(0, +8)上的最大值为1.(2)f'x) = a+x，xC(0, e,1 e, + 00 .若 a>1,则 f&

19、#39;x)>0,从而 f(x)在(0, e上是增函数，所以 f(x)max= f(e) = ae+1 >0, e不符合题意；若 a<1,令 f'x)>0 得 a + 1>0,结合 xC (0, e,解得 0<x<-", exa令f' x)<0得a+1<0,结合x (0, e,解得Nxw e.从而f(x)在0, -上为增函数， 'xaa在 一1, e 上为减函数，所以 f(x)max=f 1 = 1+ln -. aaa令1+ln = 3,得 ln = 2,aa ，即 a = e2.因为一e2< 1,所

20、以a=e2为所求.e故实数a的值为e2.等占M函数极值与最值的综合应用(师生共研)例应 设函数f(x)=ax2(4a+1)x+ 4a+3ex.若f(x)在x= 2处取得极小值，求 a的取值 范围.【解】f'x)= ax2- (2a + 1)x+ 2ex= (ax 1)(x 2)ex,若 a>1-,则当 xC 2 时，x)<0;2a当 xC (2, +8)时，F x)>0.所以f(x)在x= 2处取得极小值.11若 aw；则当 xC (0, 2)时，x-2<0, ax-1<2x-1<0,所以 f'x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.1

21、.综上可知，a的取值范围是 £, + 00 .解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.已知函数-x3 + x2, x<1 , f(x) =aln x, x> 1.求f(x)在区间(00, 1)上的极小值和极大值点;(2)求f(x)在区间1, e(e为自然对数的底数)上的最大值.解：(1)当 x<1 时，f' x) = - 3x2+2x=- x(3x- 2),

22、2令 f x) = 0,解得 x= 0 或 x= 2,3当x变化时，f'x), f(x)的变化情况如下表x(00 , 0)0c 20，323*1f'x)一0十0一f(x)极小值极大值所以当x=0时，函数f(x)取得极小值f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x = 1.3(2)由知，当一1Wx<1时，函数f(x)在-1, 0)和2, 1上单调递减，在0, 2上单33调递增.因为f(1)=2, f 2f(0)=0,所以f(x)在1, 1)上的最大值为2.32 7当 1Wxw e时，f(x)= aln x,当 aw。时，f(x)w。；当a>0时，f(x)在1, e上单调

23、递增.所以f(x)在1, e上的最大值为f(e) = a.所以当a>2时，f(x)在-1, e上的最大值为a;当a<2时，f(x)在1, e上的最大值为 2.基础题组练1,函数f(x)=2x3+9x22在4, 2上的最大值和最小值分别是()A. 25, 2B. 50, 14C. 50, - 2D. 50, 14解析：选 C.因为 f(x) = 2x3+9x22,所以 f'x)=6x2+18x,当 xC 4, 3)或 xC (0,2时，f'x)>0, f(x)为增函数,当 xC (3, 0)时，f'x)<0, f(x)为减函数,由 f(4)=14,

24、 f( 3)=25, f(0) = 2, f(2) = 50,故函数f(x) = 2x3+9x2-2在 4, 2上的最大值和最小值分别 是 50, -2.2 .已知函数y=f(x)的导函数f'x)的图象如图所示，给出下列判断:函数y=f(x)在区间一3, 一2内单调递增;当x= 2时，函数y=f(x)取得极小值；函数y=f(x)在区间(一2, 2)内单调递增;当x=3时，函数y=f(x)有极小值.则上述判断正确的是()B.D.A.C.1斛析：选B.对于，函数y=f(x)在区间一3, - 2内有增有减，故不正确；对于，当x= 2时，函数y=f(x)取得极小值，故正确；对于，当xC( 2,

25、 2)时，恒有f'x)>0,则函数y=f(x)在区间(2, 2)上单调递增，故正确；对于，当x=3时，f'x)w0,故不正确.3 .已知函数f(x)=2f' (in) x-x,则f(x)的极大值为()A. 2B. 21n 2-2C. eD. 2-e2f' (1)(1)1, f(x)= 2ln x x,斛析：选B.函数f(x) te义域(0, + 8) f x) =- 1所以，x* ,2令 f'x)=2- 1 = 0,解得 x=2.当 0<x<2 时，f x)>0,当 x>2 时，f x)<0,所以当 x= 2 时函数

26、x取得极大值，极大值为2ln 2-2.4.用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转90。角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为()A. 120 000 cm c求导数，有 y = 2x2+ 120x.令y = 0,解得x=80(x=0舍去).当 xC(0, 80)时，y > 0；当 xC(80, 120)时，y < 0.1 c因此，x= 80是函数y= 2x3+60x2的极大值点，也是取大值点，B. 128 000 cm3C. 150 000 cm3D. 158 000 cm3解析：选B.设水箱底长为x cm,120-x则高为2-

27、cm.120-x,。>0,3由2 得 0vxv120.x> 0,1 cc设谷奋的谷积为 y cm3,则有y= 2x3+60x2.此时y=128 000.故选B.5 .函数f(x)=3x2+ln x2x的极值点的个数是()B. 1A. 0C. 2D.无数解析：选A.函数定义域为(0, +°°),且 f' x) = 6x+ 2 =6x2- 2x+ 1，由于 x>0, g(x)=6x22x+1 的 A= - 20<0 ,所以g(x)>0恒成立，故f'x)>0恒成立，处取得极小值.即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.6 .函数

28、 f(x)= x3- 3x2+ 4 在 x=解析：由 f'(x)=3x26x= 0,得 x=0 或 x=2.列表x(一00, 0)0(0, 2)2(2 , + 8 )f' x)十0一0十f(x)极大值极小值所以在x= 2处取得极小值.答案：27 .已知函数f(x) = x3+ax2+(a+6)x+1.若函数f(x)的图象在点(1 ,f(1)处的切线斜率为6,则实数a =;若函数在(-1, 3)内既有极大值又有极小值，则实数 a的取值范围解析：f x)=3x2+ 2ax+a + 6,结合题意 f' (1)3a + 9=6,解得 a=- 1;若函数在(1,3)内既有极大值又

29、有极小值，则f'x)=0在(一1, 3)内有2个不相等的实数根 ，则A= 4a212 (a+6) >0 ,f' (T) >0,解得33<a<-3.f' (3) >0,答案：133°7 38 . (2020甘肃兰州一中期末改编)若x= 2是函数f(x)= (x2+ ax- 1)ex的极值点，则f' +2)=,f(x)的极小值为解析：由函数 f(x)= (x2+ax1)ex可彳导 f' x)=(2x+ a)ex+ (x2 + ax 1)ex,因为 x= - 2 是 函数 f(x)的极值点，所以 f'+2) =

30、(4+a)e 2+(42a1)e 2=0,即4+a+3 2a= 0, 解得 a= - 1.所以 f' x)= (x2+ x 2)ex.令f'x)= 0可得 x= 2或 x= 1.当 x< 2或 x>1 时，f' x)>0 , 此时函数f(x)为增函数，当一2<x<1时，f'(x)<0,此时函数f(x)为减函数，所以当x= 1时函 数f(x)取得极小值,极小值为f(1) = (12 1 1) x e1 = e.答案：0 emx n9 . (2020洛阳尖子生第二次联考 )已知函数f(x) =ln x, mCR.x(1)若函数f(

31、x)的图象在(2, f(2)处的切线与直线 x y=0平行，求实数n的值；(2)试讨论函数f(x)在区间1 , +oo )上的最大值.n xn 2解：(1)由题意得f x) = ,所以f'(分丁.由于函数f(x)的图象在(2, f(2)处的切线 x4n 2与直线xy=0平行，所以一4=1,解得n=6.n x (2)f'x) = y,令 f'x)<0,得 x>n；令 f'x)>0,得 x<n.当nW 1时，函数f(x)在1 , + °°)上单调递减，所以 f(x)max= f(1) = mn；当n>1时，函数f(x

32、)在1 , n)上单调递增，在(n, 十°°)上单调递减，所以f(x)max=f(n) =m 1 ln n.10 . (2019 高考江苏卷节选)设函数 f(x)= (x-a)(x-b) (x-c), a, b, cC R, f' x)为 f(x) 的导函数.(1)若 a=b=c, f(4)=8,求 a 的值；(2)若a wb, b= c,且f(x)和f' x)的零点均在集合 3, 1, 3中，求f(x)的极小值.解：(1)因为 a= b=c,所以 f(x) = (x a)(x b)(x c)=(x a)3.因为 f(4) = 8,所以(4a)3=8,解得

33、a=2.(2)因为 b=c,所以 f(x) = (x a)(x- b)2=x3(a+2b)x2+b(2a+b)xab2,一一一2a+ b2a+b从而 f x)= 3(x b) x_ -.令，x)=0, # x= b 4 x= 2 .33因为a, b,2a+b都在集合3, 1, 3中，且awb,2a + b所以z-=1)a= 3)b= 3.3此时，f(x)=(x3)(x+3)2, f'x)=3(x+3)(x1).令f' x) = 0,得x=3或x=1.列表如下：x(一 00, 一 3)-3(-3, 1)1(1, +°0)f'x)十0一0十f(x)极大值极小值所以

34、 f(x)的极小值为 f(1) = (1 3)(1 + 3)2= 32.综合题组练1. (2020郑州质检)若函数y = f(x)存在n- 1(nC N*)个极值点，则称y=f(x)为n折函数， 例如f(x)= x2为2折函数.已知函数 f(x)= (x+1)ex x(x+2)2,则 以)为()A. 2折函数B. 3折函数C. 4折函数D. 5折函数解析：选 C.f'x) = (x+2)ex (x+2)(3x+ 2)=(x+ 2) (ex- 3x- 2),令 f' x)=0,得 x=2或 ex = 3x+ 2.易知x = 2是f(x)的一个极值点，又ex=3x+2,结合函数图象，y=ex与y=3x+2有两个交点.又 e 2w3X( 2) + 2= 4.所以函数y=f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.2,若函数f(x) = 2x2ln x在其定义域的一个子区间(k- 1, k+ 1)内存在最小值，则实数 k的取值范围是.11解析：因为f(x)的7E义域为(0, +°°)又因为f x)=4x -，所以由f x) = 0解得x=- x2,，1k 1<2<k+ 1)3由题意得解得1wk<2.k- 1 >0,3答案：1, 23 .已知函数f(x) =