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文档简介

1、定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中， 由边际函数求总函数， 一般采用不定积分来解决， 或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决例 1某商场某品牌衬衫的需求函数是p650.15 q ，如果价格定在每件50 元，试计算消费者剩余解由 p50 ， p650.15 q ，得 q10000，于是10000(650.15q50)dq0310000(15q0.1q 2 )050000，所求消费者剩余为 50000元例 2已知某产品总产量的变化率为Q (t)40 12t（件天），求从第 5天到第 10 天产品的总产量解所求的总产量为Q101012t

2、 )dtQ (t )dt( 405510650 （件）(40t 6t 2 )5二、用定积分求极限例 1nk3求极限 limnk 1n 2nk11121n解3nnnnnnk 1n21 (12n ) nnnn上式是函数 f ( x)x在 0,1的特殊积分和它是把0,1 分成 n 等分， i取i1, i的右端点构成的积分和因为函数 f (x)x在 0,1 可积，由定积分定义，nn有nklim112nlim3()nn2nnnnnk 1例 2nkn2k2求极限 lim1 n3nkxdx2 103nk22n 1 kk 2解n kk 1 n n1 ( n)k 1 n 3上式是函数f (x)x 1 x 2 在

3、 0,1 的特殊积分和它是把区间0,1 分成 n 等分， i 取 i1, i的右端点构成的积分和 因为函数 f ( x) x 1x 2 在 0,1 可积，nn由定积分定义，有n31k121 (121 n2k 2xdxx) 2lim1 n3x 1k033n0三、用定积分证明不等式定积分在不等式的证明中有着重要的应用在不等式的证明中， 可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明例 1设 f (x) 是闭区间 a, b 上的连续函数，且单调增加，求证：bab bf ( x) dx xf (x)dx2aa证明作辅助函数(x)xaxxtf (t )dt2f (t)dt ，aa显然(a)0 ，且(x)1xf (t)dta xf (x)xf ( x)22ax f ( x)1 f ( )( x a)a f ( x)222x af ( x)f () ，2其中a, x 因为 f (x) 在 a, b 上单调增加，所以( x) 0 ，从而(x) 在闭区间 a,b 上单调增加，所以( x)(a)0 ，欢迎下载2取 xb 得ba b bxf ( x)dx2f (x)dx aa定积分在许多领域中有着重要应用

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