第七章实数的完备性

1、第七章 实数的完备性教学目的：1. 使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2. 明确基本定理是数学分析的理论基础， 并能应用基本定理证明闭区间上连 续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能 力。教学重点难点 ：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明； 难点是基本定 理的应用。教学时数 ：14 学时§ 1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 学时）教学目的：1. 使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2. 明确基本定理是数学分析的理论基础。教学重点难点 ：实数完备性的基本定理的证明。一确界存在定理： 回顾确界

2、概念Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .二 . 单调有界原理 : 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛 .Cantor闭区间套定理1. 区间套：设/,：是一闭区间序列.若满足条件i >对7,有一二.'，即打：宀亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中；ii >. i |:.即当* * :二时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套，简称为区间套.简而言之，所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为：1 - ;' - 1 - ；.我们要提请大家注意的是，这里涉及两个数列.和、:,其中.递增，递减.例如

3、；和一 都是区间套.但 In nk.冲肚.和' 都不是.2. Cantor区间套定理：Th 3设宀 是一闭区间套.则存在唯一的点 匚，使对 "有二简言之，区间套必有唯一公共点.I '；四.Cauchy收敛准则数列收敛的充要条件1. 基本列： 回顾基本列概念基本列的直观意义基本列亦称为Cauchy列.例1验证以下两数列为 Cauchy列：飞 I I " I - 'I 1- I I ':,3 52js-1解 ：,' - 1- 'i - - 71：' | -< 0 9*+1 + -+ 0 严 < 0 9"

4、;*1 + + 09 十1-0.9U0.9；岂，易见只要-I '2（科十弓）-11 1+2« + 1 2w + 3当d为偶数时，注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 有1 1 12n + I 2m +32（斥 士 p）- 1f 11+f 11 14411 ®+ 12m+ 3l2m + 52w I*0532（川 + p）2(w + 7?) -5 2(母 4刃 _32(w + f)_戈旳十1当口为奇数时1 _ 1 : -4r 1L 2« +1 2w + 3jk2(« + p)-52® + 7?) - 3J 2(冲+ 7?)

5、- 11 1 1加+ 12«+31 i 11 1r 1_ 1 1L 12w + l 2m+ 32甘斗'斗刃72(w斗刃-.2 + 1综上,对任何自然数P,有X 1-1+亠（T严< 1 <11 .2对七12« + 32（科4歹）一加41nCauchy列的否定：例2、_二.验证数列r不是Cauchy列.匸1蛊证 对K ,取二弓吒,有,1 1 11月十1越十2找+趣2島2因此，取1；,2.Cauchy收敛原理：Th 4数列 一收敛;是Cauchy列.（要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依 据，利用Heine归并原则给出

6、证明）五.致密性定理：数集的聚点定义 设三是无穷点集.若在点.'.（未必属于E ）的任何邻域内有 丘的 无穷多个点，则称点：为三的一个聚点.数集三二.：有唯一聚点:,但 £开区间 .的全体聚点之 n集是闭区间-.；设】-.是一丨_中全体有理数所成之集，易见L.的聚点集 是闭区间丨丁丨.1. 列紧性：亦称为Weierstrass收敛子列定理.Th 5 （ Weierstrass ）任一有界数列必有收敛子列2. 聚点原理： Weierstrass聚点原理.Th 6每一个有界无穷点集必有聚点.六.Heine - Borel有限复盖定理：1.复盖：先介绍区间族- I -"&

7、#39;.定义（复盖） 设E是一个数集，&是区间族若对. .则称区间族复盖了 E,或称区间族匸是数集己的一个复盖记为:-丄,；-：L若每个 I都是开区间，则称区间族 匚是开区间族开区间族常记为定义（开复盖） 数集三的一个开区间族复盖称为 芒的一个开复盖， 简称为丘的一个复盖子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3：-：._.-I| .复盖了区间|一，但不能复盖|）；弓-.：十；i - : ".复盖丨心-：,但不能复盖一.2. Heine - Borel有限复盖定理：Th 7闭区间的任一开复盖必有有限子复盖§ 2 实数基本定理等价性的证明（4学时）证明若干个命题等价的一般方

8、法本节证明七个实数基本定理等价性的路线:证明按以下三条路线进行：I :确界原理=，单调有界原理=区间套定理=Cauchy收敛准则=确界原理n : 区间套定理=致密性定理=Cauchy收敛准则；川:区间套定理=Heine - Borel有限复盖定理=区间套定理一. “I”的证明：（“确界原理=单调有界原理”已证明过）.1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”：Th 2单调有界数列必收敛.证2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”：Th 3 设 m 是一闭区间套.则存在唯一的点：，使对【吃有:.【令总证系1若:'f < .-是区间套：< :.确定的公共点,则对',I八当

9、三厂时,总有J : J 系2 若：是区间套匸理二确定的公共点,则有3. 用“区间套定理”证明“ Cauchy收敛准则”：Th 4 数列收敛='-是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.（证）Th 4的证明：（只证充分性） 教科书P217 218上的证明留作阅读 现采用3P70 71例2的证明,即三等分的方法,该证法比较直观.4. 用“ Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：Th 1非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 己为非空有上界数集当己为有限集时，显然有上确界下设E为无限集，取J不是E的上界,I为上的上界对分区间;，

10、取I仁.炽：，使心不是丄的上界, 、为E的上界.依此得闭区间列.验证r 为Cauchy列,由 Cauchy收敛准则，收敛;同理二.收敛.易见：.设八门.有 :;、/人.下证门：工/.用反证法验证.的上界性和最小性.二. “U” 的证明：1.用“区间套定理”证明“致密性定理”：Th 5 （ Weierstrass ）任一有界数列必有收敛子列.证 （突出子列抽取技巧）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （用对分法）2 用“致密性定理”证明“ Cauchy收敛准则”：Th 4 数列/ 收敛=.,'是 Cauchy 列.证 （只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证 收敛子

11、列的极限即为的极限.三. “川”的证明：1. 用“区间套定理”证明“ Heine - Borel有限复盖定理”证2. 用“ Heine - Borel有限复盖定理”证明“区间套定理”证采用3P72例4的证明.教学目的： 能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关 命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力教学重点难点：基本定理的应用有界性:命题 1/.'.,= 在.上 F.二T： 证法一 （用区间套定理）反证法证法二（用列紧性）.反证法证法 三 （用有限复盖定理）二 最值性：命题21在丨叭广I上取得最大值和最小值（只证取得最大值）证 （用确界原理） 参阅1P226证法 二

12、后半段三.介值性：证明与其等价的“零点定理 ” 命题3 （零点定理）证法一（用区间套定理）证法 二 （用确界原理）不妨设令. I I ,则三非空有界，= 巨有上确界设二-,有 I二丄_ 现证：七 -,（ 为此证明 j二丄且丄J）. 取工-上 匸且- ；.由/在点匸连续和',，易见有丄=和J .由.= 八于是：-=:一:.由.在点I连续和.因此只能有；'.证法 三 （用有限复盖定理）.四 一致连续性：命题4（ Cantor定理）证法一（用区间套定理）.证法二（用列紧性）.参阅1P229 230 证法一参阅1P229 230 证法二习题课（2学时）实数基本定理互证举例:例1 用“区

13、间套定理”证明“单调有界原理”证 设数列.递增有上界取闭区间:二，使心不是 一的上 界，是的上界易见在闭区间:内含有数列|的无穷多项， 而在:外仅含有 J的有限项对分2:,取，使有 Z ” : |的性质.于是得区间套,有公共点匚.易见在点：的 任何邻域内有数列-,:的无穷多项而在其外仅含有, .：的有限项，=例2用“确界原理”证明“区间套定理”.证门为区间套.先证每个-'为数列鳥'二的下界，而每个为数列的上界.由确； < .界原理， 数列':有上确界，数列.有例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 （ 用反证法） 设:为有界无限点集，I _.反设一 ，二的每

14、一点都不是E的聚点,则对7 -'. _,存在开区间厂.,使在：二:内仅有三的有限个点.例4 用“确界原理”证明“聚点原理”.证 设为有界无限点集.构造数集1中大于:的点有无穷多 个.易见数集 三非空有上界，由确界原理，三有上确界.设:I :. 则对二三：:,由，-不是巨的上界，=己中大于,-的点有无穷多个； 由_是己的上界,= 二中大于 匚的点仅有有限个.于是,在.訂-：-；'内有土的无穷 多个点，即二是丘的一个聚点.实数基本定理应用举例:例5 设是闭区间q纠上的递增函数，但不必连续. 如果 一“，_： 一，则厂_“上_,使.（山东大学研究生入学试题）证法一（用确界技术. 参阅

15、3 P76例10证法1 ）设集合" I /' ' . / - ' ：' '.则一心严，2-不空；T 二一一，F有界.由确界原理,F有上确界.设-7 ,则i > 若 i - F ,有;又厂；"，得匕./'.由，递增和 /.,有.<.：'，可见5."由|门，=二.于是,只能有'、；_、.ii >若 _ “ F ,则存在P内的数列.:,使“ /二、也存在数列,1 ：，:.: ,.由“递增， 一匚以及就有式.'，:'.，:对任何址成立令些一：，得二于是有；-证法二（用区间套技

16、术,参阅3 P77例10证法2 ） 当_一.或:时，主或打就是方程一一 .，.在_ “一：-上的实根以下总设1'对分区间| -!宀.，设分点为：.倘有 U ' ,:就是方程门 在一 一上的实根（为行文简练计，以下总设不会出现这种情况）若J，,取一-_ -;若厂？1 -，取i ，丄-,如此得-级区间丨：/ !依此构造区间套丨 , . -,对:,有,由区间套定理,- ,使对任何J有'I-',/,/现证- 1事实上，注意到"时一/ 工:和1 “以及.递增,就有令'Ji:,得.汽'V.乞于是有. 例6 设在闭区间. '上函数连续,y；递增, 且有1 :I：.,L'''.试证明：方程1 : L 在区间打丨内有实根（西北师大2001年硕士研究生入学试题）证构造区间套二；,使I :.由区间套 定理,:,使对 ，有 现证.-：-：-.：.事实上,由 二.在一 一上的递增性和.的构造以及一j /匕和 有- :- = - .注意到.在点_连续，由He