第二章一元函数微分学.

1、第二章导数与微分一元函数微分学1.导数定义：f(X。. ：x) - f(Xo)f (Xo) = lXmolimX Kof(x) - f(X。)x Xo2,#2,#左导数：f（X。）= lim f（Xo "f（xo）；Ax右导数：fg=lim f（Xo "fa。）；X o x可导=左右导数都存在且相等2 微分定义：若 u：y 二 f (x0 .x) - f (x0) = A 泳 :C x)，贝U f (x)称在 x0 处可微。dy = f (x0) ：x = f (x0)dx3 导数与微分的几何意义：（会求曲线的切线和法线方程）.4连续，可导,可微之间的关系5 求导法则1 有

2、理运算法则：2 复合函数求导法：3 隐函数求导法：4反函数的导数：5. 参数方程求导法：6. 对数求导法：7高阶导数：a：利用定义计算导数或讨论函数可导性例1.【2011-24分】 已知fx在X=0处可导，且f0=0 ,则x2 f (x2f (x3 lim3=()x卩x3(A) -2f 0 -(B) 一f 0 -(C) f 0 -(D) 0例1.【92 1 3分】设f (x) =3x3+xx ,则使f(n)(0)存在的最高阶阶数 门为()A 0B 1C 2D 3例 2.【佃95 1 3 分】设 f (x )可导，F (x )= f (x )(1 + sin x )，则 f ( 0 )= 0是

3、F(x )在x =0处可导的()A充分必要条件B充分条件但非必要条件C必要条件但非充分条件D既非充分条件又非必要条件2,342,#例3.【佃9812 3分】函数f (x) =(X2 -X-2)|X3-X|的不可导点的个数是(1 -cosx例 4.【1999 1 3 分】设 f(x)=t JXM2g(x)X 0，其中g(x)是有界函数，则f (x)在x = 0x_02,#2,#处()A 极限不存在B极限存在，但不连续C连续，但不可导D可导例5.【2001 1 3分】设f 0=0，贝U f x在点X=0可导的充要条件为(1A 1叫声 f(1 - cosh) 存在1C lim 2 f(h -sin

4、h)存在例6.【2005 1 4分】设函数f(x)=limQ1 + x1 hB hm0hf (1 -e)存在1D啊严h)- f (h) 1存在3n，则 f x 在：，：内( )A处处可导B恰有一个不可导点C恰有两个不可导点D至少有三个不可导点2,#2,#x2 -1例7.【佃93 23分】设 f (X)X -1XF，则在点x=1处函数f(x)()X =1A不连续B连续，但不可导2,#C可导，但导数不连续D可导，且导数连续2 3 _ x 例8.【佃94 23分】设f(x)'2X ,X乞1，则f(X)在X =1处的()X 1A左、右导数都存在B 左导数存在，但右导数不存在C左导数不存在，但右

5、导数存在D左、 右导数都不存在例9.【佃96 2 3分】设函数f x在区间-:，.内有定义，若当X三|,心时，恒有f x < x2，则 x =0必是 f X 的()A间断点B连续而不可导的点C可导的点，且f 0 =0D可导的点,例10.【佃9333分】设函数f (x)二1Sin=， XH0，则0, x = 0f (x)在 X =0 处( )A极限不存在B极限存在但不连续C连续但不可导D可导例 11.【200334分】设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f (0)存在，贝网数g(x)=丄凶A在x=0处左极限不存在B有跳跃间断点x=0C 在x=0处右极限不存在D 有可去间断点x=0例12.【2

6、001 33分】设函数f x的导数在x=a处连续,又limx 旧 x - a匸一1，则()A X二a是f x的极小值点B x = a是f x的极大值点C a, f a是曲线y二f x的拐点D x=a不是f x的极值点，a, f a也不是曲线y = f x的拐点例13.【200634分】设函数f x在X"处连续，且帆，则35A f 0 = 0且 f 0 i存在C f 0 = 0且f亠i 0存在B f 0 = 1且f_ 0存在D f 0 = 1且f亠0存在例1 4.【19 9 8 33分】设周期函数f x在-：,亠j内可导，周期为4.又limx_0f 1 -f I = 一1，则曲线y =

7、 f x在点 5,f5处的切线的斜率为2xC -1D 一2例15.【佃95 33分】设f x为可导函数，且满足条件lim f 1 二 _x ，则曲x )02x36#线y = f x在点1, f 1处的切线斜率为A 2.B -1.D 一2例16.【2000 33分】设函数f x在点x = a处可导,则函数f (x)在点x = a处不可导#的充分条件是A f a =0且 f' a =0B f a =0 且 f'a=0C f a 0 且 f' a 0D f a ： 0 且 f' a : 0例17.【2004 14分】设函数f x连续，且0 0,则存在： 0，使得()A

8、 f x在0内单调增加B f x在- ,0内单调减少C对任意的0厂有f x f 0D对任意的x -0有f x f 0例18.【2007 1234分】设函数f (x)在x=0处连续，下列命题错误的是：(A若lim f (x)存在，则f(0) =0B 若 limf(x) “冈存在，则f (0) =0xC若lj叫丄学存在，则D若冋WWx)存在，则#例19.【佃943 3分】已知f (焉)-1，则limT f(X。2x) f (沧x)例20.【2004 210分】设函数f (x)在(-：，：)上有定义,在区间0 , 2上 ,f(x) =x(x2 -4),若对任意的x都满足f (xkf (x 2),其中

9、k为常数.(I )写出f (x)在-2, 0上的表达式(n)问k为何值时，f(x)在x=0处可导.工g x _e'丿x H 0例21.【佃96 36分】设f(X)才x其中g(x)有二阶连续导数，且0 ,x = 0.(1 )求 f' x ；(2)讨论f x在-：,r上的连续性例22.【佃95 36分】设f x =-i 1 -cosx , x1 x 2cost dt,01x 0x ： 0,x=0,试讨论f x在x = 0处的连续x 0.37#性和可导性例23.【2002 1 6分】设函数f x在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f 0 = 0，f 0 -0，若af h bf 2h

10、 - f 0在h > 0时是比h高阶的无穷小，试确定a, b的值.b：利用求导法则计算导数例24.【2012 14分】设函数f (x) =(ex-1)(e2x-2)川(enx -n),其中n为正整数，则f (0)二(A) (-1)n'(n-1)!(B) (-1)n(n-1)!(C) (-1)心n!(D) (-1)nn!#【答案1 :( C)【解析1：f'(x)x(e2x -2) )H(enx -n) (ex -1) _(e2x - 2)川(enx - n)所 以f'( 0% 1卞，故选(C)。#例 25.【201224分】设y = y(x)是由方程x2 -y 1二

11、ey所确定的隐函数，则d2y dx2【答案】：1【解析】：将x =0代入原方程可得 y = 0方程x2_yi=ey两端对x求导，有2x-鱼=ey鱼 ，将x =0、y=°代入可得，所以dx dxdydx=0x=0再次求导得2 d2y2dx2"雹 dx2d2y，再将 x = 0、y=0、dydx=0代入可得x_038#=1。Xz0例 26.【201234 分设函数 f(x)二 ln X,x -1,y = f f(x),求2x-1,x cldydxx=0#【答案】：4【解析】：史dx-f' f (x) f'(x)x厂 f' f(0) f'(0) =

12、 f' -1 f'(0)Xz0由f (x)的表达式可知f ' 0二f'(-1)=2，可知dydx=4x=0例 27.【2011 3例 28.【2008 1x4 分】设 f x = limx 1 3t t ,则 f x =.x24分】设函数f(x) ln(2 t)dt，则f (x)的零点个数()例29.【佃9323分】若 f (x)(x)，在(0,；)内 f (x)0, f (x)0,贝U f (x)在(一：,0)内(A f (x) <0,f (x) <0B f (x) : 0,f (x)0C f(x) 0,f (x) <0D f (x) 0,f

13、 (x)0例30.【2006 24分】设函数g(x)可微,h(x)二e1 g(x),h(1) = 1,g (1)=2,则 g(1)等于#A ln3T B -1 n3-1 C -In 21 D 11 n2- 1#例31.【佃92 1 3分】设函数y = yfx)由方程ex书+cosf xy )=0确定，则 少=.dx例32.【2002 13分】已知函数y = yx由方程ey6xyX-1 =0确定，则33.【1994 15分】x = cost2 设 y=tcost?t2 1，求巴，cosudu dx1 2;u34.【2010 14分】Cx = e设t2y = I n (1 +u )du，求d y

14、dx2t z035.【1995 13分】36.【199223分】2 xcost2dt =.dx xX = f (t) 兀设3t ，其中f可导，且f (0) = 0，则y = f(e -1)dydx t = 037.【199225分】d2y设函数y = y(x)由方程y_xey=1所确定，求 一y的值dx x = 038.【199323分】函数y =y(x)由方程sin(x2 y2) exxy2 =0所确定，则 旦=dx39.【199325分】设y二sin f (x2)，其中f具有二阶导数，求d2ydx240.【199423分】设函数y = y(x)由参数方程x二:一1?1 t)所确定，则y =

15、t3 +t2d2ydx241.【佃94 2dx25分】设y二f (x y)，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，例42.【佃9523分】设 y = cos(x2 )sin2 丨 1lx丿例43.【佃9525分】设函数y =y x由方程xef y =ey确定，其中f具有二阶导数,39#且f =1，求瞑.dx2例44.【佃9623分】#例45.【佃962t 2X° f U dud2y其中f u具有二阶导数，且f u =0,求d y46.【佃9723分】设，则y |x-47.【佃972x 二 arctant5分】设y = y(x)由厂 所确定，求 鱼2yty +e =5dx48.【1

16、99923分】设函数y二y(x)由方程ln(x2 y) = x3y sin x确定，则dydxx=049.【200023分】设函数y = y(x)由方程2xy =x y所确定，则dy x=0二例 50. 200524分】设 y = (1+sinx)x，则 dy |x=例51.【200624分】设函数y =y(x)由方程y =1 _xey确定，则dy|A£ =dx例52.【2008210分】设函数y二y(x)由参数万程X oInX 2 o其中x(t)是初值问题dT2te"的解.求I x t _o = 0-2:y-2 .:x例 53.【200924分】设y = y(x)是由方程

17、xy e x 1确定的隐函数，则d2yx=0dx例 54.【199333分】已知y =f(茎三)，3x+2f (x)二 arctanx2，贝Udydxx =0例55. 2006 3 4分】设函数f (x)在x=2的某邻域内可导，且 厂(x)=e*), f(2)=1 , 则f 2二例56.【佃973 3分】设y=f(| n X)，其中f可微，则dy =.例57.【佃963 3分】设方程exy y2 =cosx确定y为x的函数，贝V史=dx x+y . 2Xr例58.【2010 34分】设可导函数 y=y (x)由方程dt二 xsin2 tdt确定，则S 0例59.【佃963 3分】由方程x =

18、yy确定y是x的函数，贝U dy =.c：函数与其导函数相关性质的关系例60.【佃99 1 3分】设f x是连续函数，F X是f X的原函数，则（）A当f x是奇函数时，F x必是偶函数B当f x是偶函数时，F x必是奇函数C当f x是周期函数时，F x必是周期函数D当f x是单调增函数时，F x必是单调增函数例61.【2005 1 4分】设F X是连续函数f x的一个原函数，"M = N"表示“ M的充分必要条件是N ”，则必有A F x是偶函数=f x是奇函数.B F x是奇函数=f x是偶函数.C F x是周期函数=f x是周期函数.D F x是单调函数二f x是单调

19、函数.例62.【2001 13分】设函数f x在定义域内可导，y = f X的图形如图2.1所示，则导函数y = f' X的图形为（ ）41例63.【2002 13分】设函数y = f（x）在（0, ：）内有界且可导，则A 当 lim f(x) =0，必有 lim f (x) =0 （B ）当xm（x）存在时，必有協口x）=0C 当xim0f(x0，必有 xim f(x)=0D当lim f (x)存在时，必有lim f (x) =0例64.【佃962 3分】设f x处处可导，则（）A 当 limf xRC，必有 lim f x 二-：x_>：:B 当 limx严f x 二 _:，

20、必有=oOxcOC当xm，必有 limf x -：x和42#f x =:，必有 jm：f x 二：:f" X ：0，则在0：内有A f' x 0, f'' x ：0C f x <0, f x ：0B f' x 0, f'' x 0D f' x <0, f'' x 0（D）当 xm例65.【200534分】以下四个命题中，正确的是A 若f "（X）在（0, 1）内连续，贝y f （x）在（0, 1）内有界.B若f （x）在（0, 1）内连续，贝U f（x）在（0, 1）内有界.C若f （x）在

21、（0，1）内有界，贝y f （x）在（0，1）内有界.D 若f （x）在（0, 1）内有界，贝U f （x）在（0, 1）内有界例 66.【19973 3 分】若 f -X 二 f X -： : X ；： "：，在-:,0 内 f' x >0 ,且d:函数作图x? +4例67.【199429分】设y =一厂x(1) 求函数的增减区间及极值;(2) 求函数图形的凹凸区间及拐点;(3) 求其渐近线;(4) 作出其图形高阶导数的计算68.【200324分】69.【2007-24分】70.【201024分】71.【2000-25分】72.【199533分】例例例例e：例y =

22、2x的麦克劳林公式中 xn项的系数是设函数y 1 ，则y(n)(0)二2x+3函数y = In 1 -2x在x = 0处的n阶导数 yn o =求函数 f (x)二 x2 ln(1 x)在 x = 0 处的 n 阶导数 f(n) (0) (n _ 3)1 X设f X 二，则第二节导数应用1极值与最值1)极值的必要条件：f(X。)=0;极值点驻点2)极值的充分条件:(1)若 f(X0)=0，f (x)在X0两侧变号,则f (X)在X0处取得极值；若f(X。)= 0 , f (X)在X0两侧不变号，则f (X)在X0处无极值;(2) 若f(X0)=0, f”(X0)=0,则f(X)在X0处取得极值

23、。当f (X0) 0时极小，当 f (X0) ： 0时极大。(3) 若 f (x0) = f (xj =f(n 4)(x0) = 0, f (n)(x0) = 0，则：当 n 为偶数时 f (x)在处有极值；£("(冷)0时极小，f(n)(x) <0时极大。当n为奇数时f (x)在x0处无极值；3)最值：(1)求连续函数f (x)在a,b上的最值；(2)应用题。2曲线的凹向与拐点(1 )凹向：若在区间I上f "(X 00： 0)，则曲线y二f(x)在I上是凹(凸)的。(2)拐点：(一个必要条件，三个充分条件)I v"lI v"x"

24、; vX* |3曲率与曲率半径： 曲率K；.(其中y=：v(x) K 2 K；(其中(l+y 丁X “ )1x =x(t), y =y(t)曲率半径R =K常考题型：切线与法线例73.【2011 3 4分】 曲线tan，x + y+才=ev在点(0,0 )处的切线方程为.例74.【2008 14分】曲线sin xy iTn y-x =x在点0,1处的切线方程为 例 75.【2004 14分】曲线y =1 nx上与直线x y =1垂直的切线方程为例 76.【1997 13分】对数螺线p = e日在点(P,0 )= e1,-处的切线的直角坐标方程例 77.【2002 17分】已知两曲线arcta

25、nx2y = f x与yedt在点0,0处的切线相同，'0写出此切线方程，并求极限lim nfn咨78.【199523分】曲线x二1 V在t = 2处的切线方程为y 二 t379.【199923分】曲线x 二 g sin 2t! t 在点(0,1)处的法线方程为 y =e cost80.【2000 27分】已知f (x)是周期为5的连续函数，它在x = 0的某个邻域内满足关44#系式f (1 - sin x) - 3f (1 -sin x) =8x I(x)，其中:-(x)是当x“ 0时比x高阶的无穷小,且f (x)在x =1处可导，求曲线 y二f (x)在点(6, f(6)处的切线方

26、程.例81.【20012 3分】曲线e2x y -cos(xy)二e-1在点(0,1)处 的法线方程为 例82.【20032 4分】设函数y = f (x)由方程xy 2lnx = y4所确定，则曲线y = f (x)在点(1,1)处的切线方程是 例 8312007 24分】曲线X 二 cost cos2t r ,宀十 二y.sint上对应于4的点处的法线斜率为 x_ I e du例84.【20092 4分】曲线 -0在(0, 0)处的切线方程为 y = t2 In(2 t2)例85.【1996 3 3分】设x0,y0是抛物线y = ax2 bx c上的一点若在该点的切线过原点，则系数应满足的

27、关系是 .例86.【20033 4分】已知曲线y -3a2x b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2 =.例87.【佃9936分】的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标45#M2之间的距离常考题型：单调性1.求单调区间或证明单调性例89.【1995 13分】 设在0,1上,f 0 - f 1的大小顺序是（）A f' 1 f' 0 f 1 -f 0C f 1 f 0 f' 1 f' 0 例90.【2000 13分】设f' x g x - f x g' x ：0,则当A f x g bf b g xC f x g xg b f b为a 试求

28、切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 例88.佃97 3 6分】从点P(1,O H乍x轴的垂线，交抛物线y = x2于点;再从Qi作这条抛物线的切线与x轴交于£ 然后又从F2作x轴的垂线，交抛物线于 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点R,Qi；P2,Q2；川;RQ；il|.（1 ）求 OR ；(2)求级数92巳 |lQPn 71的和其中n n_1为自然数，而M_,M2表示点M1与f'' x 0,则 f' 0、 f' 1、f 1 - f 0 或B f' 1 f 1 -f 0 f' 0D f'

29、1 f 0 -f 1 f' 0f x、 g x是恒大于零的可导函数，且 a ： x b 时，有（）B f x g a f a g xD f x g x f a g a例91.【19952 3分】设f x在-匚，亠内可导，且对任意 X, x2，当X- x2时，都有f Xi f X2 ，则（）A对任意x, f x >0.B对任意x, f -x <0.C函数f -x单调增加.D函数-f -x单调增加.47#1F x = x0,ftn0例 96.【2010 110分】求函数2x 2f2f xx2 -t e dt的单调区间与极值.t x .0的单调减少区间为例 92.【1993 1

30、3 分】设 F x 2 - d3x例93.【佃9928分】已知函数y，求（X-1）2（1 ）函数的增减区间及极值;（2） 函数图形的凹凸区间及拐点；（3）函数图形的渐近线.例94.【佃943 6分】假设f（x）在a,；）上连续，f （x）在（a,；）内存在且大于零，记F（x） = f （x）"（x a），证明：F（x）在（a,；）内单调增加x a例95.佃973 6分】设函数f x在0上连续、单调不减且f 0 _0.试证函数f t dt,x 0,在|0. 上连续且单调不减（其中n .0）.x = 0.#2. 证明不等式例 97.【2012 110分】证明:1 亠 xx2x lncos

31、x _ 1, -1 ： x ： 11 -x2【解析】：令f x = x Inx2+ cosx T -，可得1 -x2f' x =ln1 x1 -xJ1 +x (1x)一sin x - x#= lnS 半-sinx-x1 -x 1 -x2=41 -x1x21 -x2Lx -sin x#-sin x 亠 0，故 f x 0。而1 + X当1 ：x ：0 时，有 In 1一 < 0，1-x匕二 1，所以1 -X2x - sin x _ 0，故而f O juO,即得,2 2x1 十 Xxxlncosx-10也即 xIncosx1 。1-x21-x2当x =0时，显然有1 xx2xln c

32、osx = 1 。1 -x21 + x可知，xln1-x2xcos X _ 1, 1 :： X : 1298.【1999 16分】2试证：当 xa0 时，(x 1)1 nxK(x1).99.【1993 15分】设 b .a .e，证明 ab ba.100.【2004 1、212 分】设 e ： a ： b ： e2,证明 In2 b - In101.【1992 17分】设f x < 0, f 0 =0，证明对任何的4a (b-a). ex10,x2 0,有1 +x1 +x2当 0 :： x ：:1 时，有 In_ 0，二 1，所以1-X1-X2 2f 0 = 0，即得 x In1 -xX

33、 cosx -1 一 X 0，也即 x InX cosx _ 冬 1。1-x2#f XiX2 : : f Xif X2 .102.【1996 18 分】设f x在10,1 上存在二阶导数，且满足条件f x sa，f X -b，其中a,b都是非负数，c是0,1内任意一点，试证f2a：103.【199329分】设 x>0，常数 ae，证明：(a+x)a<aa4x104.【199528分】九 f(x)设Hm=1，且f x0,证明f X 二X.105.【199828分】设X (0,1)，证明:#(1)(1 x)ln2(1 x) ： x(2)丄十丄In 2 ln(1 x) x 2例106.【

34、2002 2 8分】设b a 0，证明不等式:a2"b2：In b- In ab - a例 107.【2006 2、310 分】证明：当 0 ： a : b ：二 时，bsinb 2cosb：；*qb . a sin a 2cosa：；専 a1 2x仃例 108.【佃92 3 6 分】求证：当 x 二1 时，arctanx arccos22 1 +x243. 方程根的个数的讨论4下例109.【2011310分】证明4arctanx-x.3=0恰有2实根.3例110.【2011 1 10分】求方程k arctanxx=0不同实根的个数，其中k为参数.例111.【佃93 1 5分】设在0

35、, ：)上函数f(x)有连续导数，且f(x)_k . 0 , f (0) ： 0 , 证明：f (x)在(0,；)内有且仅有一个零点例112! 19932 3分】设常数k . 0 ,函数f(x) =1 n x-彳 k在(0,；)内零点个数为()eA 3 B 2 C 1D 01 1例113.佃96 2 3分】在区间(-°o，址)内，方程xF + x-COSX=0 ()A无实根 B有且仅有一个实根C有且仅有两个实根D有无穷多个实根例114 . 20053 4分】当a取下列哪个值时，函数f (x) = 2x3 - 9x2 12x - a恰好有两个不同的零点A 2. B 4. C 6.D 8

36、.1例115.佃94 2 9分】设当x 0时，方程kx =1有且仅有一个解，求 k的取值范围x例116.【1997 2 8分】就k的不同取值情况，确定方程X- si nx二k在开区间(0,)内2 2根的个数，并证明你的结论 .例117. 20032 12分】讨论曲线y=4l nx，k与y =4x I n4x的交点个数常考题型：极值与拐点f( x 例118.【1996 1 3分】设f x有二阶连续导数，f' 0；=0, lim -1，则()T |x|A f 0是f x的极大值B f 0是f x的极小值C 0, f 0是曲线y二f x的拐点D f 0不是f x的极值，0, f 0也不是曲线

37、y二f x的拐点例119. 2003 14分】设函数f x在(：)内连续，其导函数的图形如图所示，则50f x 有( )A 一个极小值点和两个极大值点B两个极小值点和一个极大值点C两个极小值点和两个极大值点D 三个极小值点和一个极大值点51#例 120.【2006阶导数，且 f(x) 0, f (x) 0x为自变量x在点x0处的增量，与dy分别为f (x)在点xo处对应的增量与微分，若厶x 0 ,则A 0 : dy ： ：_、. B 0 ： ly dy . C =y ： dy ： 0. D dy ： =y ： 0 .例121.【佃94 2 3分】设y=f(x)满足微分方程yy：esinx=0的

38、解，且(x0) = 0 ,则f (x)在( )A x0的某领域内单调增加B X。的某领域内单调减少C x)处取得极小值D x0处取得极大值例122.【佃962 8分】设函数y = y x由方程2y -2y2 2xy -x2 = 1所确定，试求y = y x的驻点，并判断它是否为极值点.例123.【佃97 2 3分】已知函数y二f (x)对一切x满足xf (x) 3xf (x)2 =1-e f (X0)=0(x0 -0)则()A f(x0)是f(x)的极大值B f (x°)是f (x)的极小值C (X°,f(x0)是曲线f(x)的拐点D f(x0)不是f (x)的极值，(x)

39、,f(x0)也不是曲线f(x)的拐点例124.【佃98 2 3分】设函数f(x)在x = a的某个邻域内连续，且f (a)为其极大值，则存在 0，当x三(a -、：，a丄心)时，必有()A (xa)f(x) f(a) 一0B(x 一 a) f (x) 一 f (a)“ 0Clim 也 字 _0(xr)Dlim 也 字 M(x 二)'丿 T (t _x)2'' 丿 7 (t _x)2例125.【2000 2 3分】设函数f (x)满足关系式f (x) f(X)2 =X，且f (0)=0，则()A f (0)是f (x)的极大值B f (0)是f (x)的极小值C点(0,

40、f(0)是曲线y二f (x)的拐点D f (0)不是f (x)的极值，点(0, f (0)也不是曲线y = f (x)的拐点例126.【2004 3 4分】设(X)在a , b上连续，且f (a) 0, f (b) ：: 0，则下列结论中错误的是A至少存在一点x0 (a, b)，使得f (x0) > f (a)B至少存在一点x (a, b)，使得f (x0) > f (b)C 至少存在一点xo (a,b)，使得f (=0D至少存在一点x (a,b)，使得f (x0) = 0例127.【2005 34分】设f (x) = xs in x - cosx,下列命题中正确的是JIJIAf(

41、0)是极大值，f(?)是极小值B f (0)是极小值，f()是极大值urjiC f (0)是极大值，f ()也是极大值D f (0)是极小值，f (-)也是极小值例128.【2010 3 4分】设函数f (x), g(x)具有二阶导数，且g "(xh： 0，若g(x0a是g(x)的极值，则f g(x)在冷取极大值的一个充分条件是A f' a <0 B f' a 0 C f'' a 0 D f'' a < 0例 129.【2011 1 4 分】曲线 y =(x-1)(x-2)2(x-3)3(x-4)4 的拐点是()(A) (1

42、,0).(B)(2,0) .(C)(3,0).(D)(4,0) 例130.【20112 4分】函数f(x) =ln (x-1)(x-2)(x-3)的驻点个数为()(A) 0 (B) 1(C) 2.(D) 3.131xt t,/33确定，求 y = y(x)y丄3 _t -,I33例 132.【2011-211分】设函数y = y(x)由参数方程的极值和曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点.例133.【2001 2 3分】曲线y = (x-1)2(x-3)2的拐点的个数为( )A oB 1 C 2D 3例 134.【2004 2、34 分】设 f(x) = X(1-X)，则()A x = 0是f

43、 (x)的极值点，但(0, 0)不是曲线y = f(x)的拐点B x = 0不是f (x)的极值点，但(0, 0)是曲线y = f (x)的拐点C x =0是f (x)的极值点，且(0, 0)是曲线y二f(x)的拐点D x =0不是f (x)的极值点,(0, 0)也不是曲线y二f (x)的拐点2例135.【2008 2 4分】曲线y =(x5)X3的拐点坐标为 ._32例136.【2010 34分】若曲线 y=x +ax +bx + 1有拐点(一1,0),则b= .例137.【2007 310分】设函数y = y(x)由方程yin y-x，y = 0确定，试判断曲线y = y(x)在点(1,1

44、)附近的凹凸性.常考题型：函数最值的讨论_TT一例138.【佃92 23分】函数y = x 2cosx在区间0,上的最大值为 2例139.【2009 2 4分】函数y =x2x在区间01】上的最小值为 例140.【佃93 2 9分】作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h为何值时，其体积V最小，并求出该最小值例141.【佃97- 3 6分】一商家销售某种商品的价格满足关系p =7-0.2x (万兀/吨),x为销售量（单位：吨），商品的成本函数是 C =3x 1 （万元）（1）若每销售一吨商品，政府要征税 t （万元），求该商家获最大利润时的销售量;（2）t为何值时，政府税收总额最大 例142

45、.【佃96 3 6分】设某种商品的单价为p时，售出的商品数量Q可以表示成a c，其中a、b、c均为正数，且a .be. p +b（1 ）求p在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；（2 ）要使销售额最大，商品单价p应取何值？最大销售额是多少?常考题型：曲率与曲率圆 * （数一、数二）例 143.【2012 24分】曲线y =x2 X（X ：: 0）上曲率为_2的点的坐标是2【答案】：-1,0【解析】：将y'2F1）y”2代入曲率计算公式，有|y IK2、3/2(1 y )231(2x 1)2 2J2整理有（2x 1）2 = 1，解得x = 0或-1，又x ： 0 ,所以x = 1，这时

46、y = 0 ,故该点坐标为-1,0例144.【2009 24分】若f “ X不变号，且曲线 y = f X在点1,1上的曲率圆为 x2 y2 =2，则f x在区间1,2内（）A有极值点，无零点B无极值点，有零点C有极值点，有零点D无极值点，无零点常考题型：导数的物理应用例145.【2010 24分】* （数一、数二）已知一个长方形的长 1以2em/s的速率增加，宽w以3 em/s的速率增加，则当I =12em, w =5em时，它的对角线增加的速率为 例146.【佃95 28分】设曲线L的方程为y二f x，且y” 0，又MT、MP分别为该3（1 + y° 乍曲线在点M x0, y0处

47、的切线和法线.已知线段MP的长度为（其中y。"y° = y"（ xjy）=y x），试推导出点Pd ）的坐标表达式第三节 导数在经济学中的应用1. 经济学中常见的函数 需求函数：X =(p)；中x为某产品的需求量，其p价格.需求函数的反函数 p hf®(x)称为价格函数，也常称为需求函数 供给函数： X =r(p)； 其中x为某产品的供给量， p为价格. 成本函数：成本C =C(x)是生产产品的总投入，它由固定成本 G (常量)和可变成C2(x)C两部分组成，其中x表示产量即C =C(x) nC, C2(x).称C为平均成本，记为C或AC :xAC =C

48、 & CzMx x x 收益(入)函数：收益R =R(x)是产品售出后所得的收入，是销售量x与销售单价p之积.即收益函数为 R = R(x)=px. 利润函数：利润L =L(x)是收益扣除成本后的余额，由总收益减去总成本组成即利润函数为 L =L(x)二 R(x)-C(x)( x :销售量)2. 边际函数与边际分析边际函数的有关概念：设y = f (x)可导，则在经济学中称 f (x)为边际函数，f (x0)称 为f (x)在x二冷处的边际值.经济学中常用的边际分析:(a)边际成本:设成本函数为C =C(q) (q是产量)，则边际成本函数MC 为 MC =C (q)(b)边际收益:设收

49、益函数为R = R(q) (q是产量)，则边际成本函数MR 为 MR 二 R (q)(c)边际利润:设利润函数为L = L(q) (q是销售量)，则边际利润函数ML 为 ML = L (q)(3)弹性函数与弹性分析弹性函数的有关概念： 设y = f(x)可导，则称 W y为函数f (x)当x从x变到x X 虫x/x时的相对弹性，称 =lim 山二f(X)x为函数f(x)的弹性函数，记为 旦，也x/xy f (x)Ex55即 二岂二f(x) x .它在经济学上解释为函数f(x)在x处的相对变化率Exf(x)经济学中常用的弹性分析：(a)需求的价格弹性：设需求函数Q二(p) (p为价格)，则需求对

50、价格的弹性为d P ( p).由于(p)是单调减少函数，故(p) ： 0 ,从而®(P)1%则需求量将减少(或增加)d <0.其经济学中的解释为：当价格为p时，若提价(或降价)Id 1%.需要注意的是，很多试题中规定需求对价格的弹性(b)p (p).；：(p)供给的价格弹性 ：设供给函数 Q =(P) (P为价格)，则供给对价格的弹性为S p (p).由于供给函数-(p)单调增加，故- (p)0，从而s 0.其经济学中屮(P)的解释为：当价格为 p时，若提价(或降价)1%，则供给量将增加(或减少)S%.常考题型：导数的经济学应用* (数三)例147.【2012 3 10分】某企

51、业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)和(y件)，且固定两种产品x的边际成本分别为 20 (万元/件)与6 y (万元/件)。21) 求生产甲乙两种产品的总成本函数 C(x,y)(万元)2) 当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。3) 求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。【解析】：1)设成本函数为C(x, y)，由题意有：Cxtx, y)=20 -，22x对 x积分得，C(x, y)=20xD(y)，4再对 y 求导有，Cy (x, y) = D (y) =6 y，1 2再对y积分有，D(y)=6y y c所以，C(x, y) =20x x 6y 1 y2 c42又 C(