2025-2026学年广东广州南武中学九年级（上）期中数学试题含答案

初中2025学年第一学期广州市南武教育集团联合练习题九年级数学一、单选题（每小题3分，共30分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线顶点坐标是（）A. B. C. D.3.下列关于x方程一定有实数解的是（）A. B.C. D.4.用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c值，下列选项正确的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知一元二次方程，配方后可化为（）A. B.C. D.6.二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（）A. B. C. D.或7.如图所示的是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则长为（）A. B. C. D.8.已知a、c互为相反数，则关于x的方程根的情况（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.有一根为59.已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（）A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共18分）11.在平面直角坐标内，点，与点关于原点对称，那么___________．12.已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则______．13.如图，以40的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．小球飞行过程中能达到的最大高度为________m．14.若，是方程的两个实数根，则________．15.二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．16.如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时，_________．三、解答题（9小题，共72分）17.解下列方程：（1）；（2）．18.已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．19.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度．（1）将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的；（2）画出、使与关于y轴对称；（3）与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可）20.某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率．21.已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）．（1）若时，求点A，B坐标．（2）若，求m的值及抛物线的对称轴．22.2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题：（1）求该抛物线的解析式．（2）当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为．23.解决下列问题：（1）已知满足，，求的值．（2）结合方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．24.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接．（1）求证：平分；（2）试判断线段与线段的位置关系，并说明理由；（3）若，请你求出的度数．25.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2025学年第一学期广州市南武教育集团联合练习题九年级数学一、单选题（每小题3分，共30分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，故选：D．2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．3.下列关于x的方程一定有实数解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：A、，故原方程无实数解，不符合题意；B、，故原方程无实数解，不符合题意；C、，故原方程无实数解，不符合题意；D、，故原方程有两个不相等的实数解，符合题意；故选：D．4.用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程化为的形式即可得到答案．【详解】解：原方程化为一般式为，∴，，．故选D．5.已知一元二次方程，配方后可化为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式和配方法的步骤并正确配方是关键．根据配方法的步骤进行即可．详解】解：，∴，∴，∴故选：

B．6.二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，利用交点求不等式的解集．先观察图象确定抛物线的图象与x轴的交点，然后根据时，所对应的自变量x的变化范围．【详解】解：∵二次函数的图象如图所示．∴图象与x轴交在，，∴当时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：．故选：A．7.如图所示的是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查中心对称图形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的性质可得，根据勾股定理可得的长，进而得到的长．解题的关键是掌握中心对称图形的性质：①成中心对称的两个图形全等；②成中心对称的两个图形，其对称点所连线段都经过对称中心且被对称中心平分；③成中心对称的两个图形，其对应线段平行（或在同一条直线上）且相等．【详解】解：∵，，，∴，∵如图是一个中心对称图形，为对称中心，∴与关于点对称，∴，∴，即长为．故选：D．8.已知a、c互为相反数，则关于x的方程根的情况（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.有一根为5【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根判别式即可得到答案．【详解】解：关于的方程根的判别式为，∵、互为相反数∴∴．故选：A．【点睛】本题考查从根的判别式判断方程根的情况，熟练掌握相关知识是解题的关键．9.已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（）A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③【答案】B【解析】【分析】根据当时，，当时，，即可判定①②；由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置判断b的符号即可判断③④．【详解】解：由图象可知，当时，，∴，故①错误；当时，则，∴，故②正确；∵抛物线开口向下，于y轴交于正半轴，∴，∵抛物线对称轴在直线和直线之间，∴，∴，∴，，故③正确，④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．10.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点作于，连接，构造直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得线段的长度．【详解】解：∵，∴点P在点B的右侧．如图，过点作于，连接，则．∵，，∴．设，∵，∴．则，．在中，根据勾股定理知，，即，解得．∴．故选：B．【点睛】此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解．二、填空题（每小题3分，共18分）11.平面直角坐标内，点，与点关于原点对称，那么___________．【答案】【解析】【分析】两点关于原点对称，则横坐标数值互为相反数，纵坐标数值互为相反数，代入计算即可．【详解】解：由题意得故答案为：【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题关键．12.已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是：熟练掌握元二次方程根与系数的关系．【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为m，n，∴，故答案为：．13.如图，以40的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．小球飞行过程中能达到的最大高度为________m．【答案】12【解析】【分析】本题考查二次函数的应用．把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值．【详解】解：，∵，∴当时，h有最大值，最大值为12，∴小球飞行的最大高度是．故答案为：12．14.若，是方程的两个实数根，则________．【答案】7【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，利用根与系数的关系得到，并由方程根的定义得到，代入化简求值即可．【详解】解：，是方程的两个实数根，∴，，∴，∴，故答案为：7．15.二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．【详解】解：把，，代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，∴，故答案为：．16.如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时，_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，求出E、F点坐标是解题关键．设，依题意得，可设，，用待定系数法求得，，从而求得，，则，把代入，得，再代入计算即可求解．【详解】解：设，依题意得，可设，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得：，，当时，∵点E在y轴负半轴上，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得：∴，当时，∵点F在y轴负半轴上，∴，，把代入，得，，，，．故答案为：2．三、解答题（9小题，共72分）17.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴或，解得，；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴或，解得，．18.已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【答案】见解析【解析】【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】证明：，∵，∴，即，∴不论取何值，方程必有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．19.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度．（1）将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的；（2）画出、使与关于y轴对称；（3）与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可）【答案】（1）见详解（2）见详解（3）否【解析】【分析】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、轴对称，熟练掌握中心对称、轴对称的定义和旋转的性质是解题的关键．（1）利用网格的特点和旋转变换的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可；（2）利用网格的特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可；（3）依次连接交于一点，可得，即可解答．小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：如图，即为所求；【小问3详解】解：如图，依次连接，可得，故与不成中心对称．20.某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率．【答案】2020年到2022年该村人均收入的年均增长率为10%【解析】【分析】设2020年到2022年该村人均收入的年平均惜长率为x，根据2020年到2022年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可．【详解】解：设2020年到2022年该村人均收入的年平均惜长率为x，根据题意，得解得（不合题意，舍去）答：2020年到2022年该村人均收入的年均增长率为10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）．（1）若时，求点A，B的坐标．（2）若，求m的值及抛物线的对称轴．【答案】（1）（2），直线【解析】【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．（1）求出函数值为0时x的值即可得到答案；（2）令函数值为0得到，则，，根据得到，则可得方程，解方程求出m的值，进而求出对称轴即可．【小问1详解】解：当时，抛物线解析式为，在中，当时，，解得或，∴；【小问2详解】解：在中，当时，，∴，∵，∴，∵，∴，解得或（舍去），∴抛物线的对称轴为直线．22.2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题：（1）求该抛物线的解析式．（2）当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为．【答案】（1）抛物线的解析式为（2）他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为【解析】【分析】（1）设出抛物线解析式的顶点式，再把的坐标代入解析式求出即可；（2）分别把和代入（1）解析式求出对应的，再作差即可．【小问1详解】解：抛物线的解析式为，把代入解析式得：，解得，抛物线的解析式为；【小问2详解】解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，当时，；令，则，解得或（舍去），，他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为．【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．23.解决下列问题：（1）已知满足，，求的值．（2）结合方程组相关知识，解决问题：已知和是关于的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】本题考查一元二次方程综合问题，涉及一元二次方程根与系数关系、一元二次方程解法等知识，熟记一元二次方程相关知识点并灵活运用是解决问题的关键．（1）由一元二次方程根与系数关系得到，再将代数式恒等变形为，代值求解即可得到答案；（2）根据题意，先将，再由消去得，，利用一元二次方程根与系数关系得到，，代入得，解一元二次方程，验证即可得到答案．【小问1详解】解：满足，，是一元二次方程的两个实数根，则，；【小问2详解】解：存在，理由如下，∵和是关于的方程组的两个不相等的实数解，、，∴，，，由消去得，，则是一元二次方程的两个实数根，，，，，即，则，或，解得或，当时，一元二次方程为，则，无实数解，舍去；当时，一元二次方程为，则，有两个不相等的实数解，符合题意；综上所述，．24.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接．（1）求证：平分；（2）试判断线段与线段的位置关系，并说明理由；（3）若，请你求出的度数．【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．【解析】【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的性质，关键是掌握旋转的性质．（1）由旋转的性质得到，，因此得到，即可证明平分；（2）根据旋转的性质得出，，，进而得出，根据，得出即；（3）设，得出，，进而列出，可得出答案．【小问1详解】绕点顺时针旋转得到，，，得，平分；【小问2详解】，理由如下：绕点顺时针旋转得到，，，，，，，，中：，即；【小问3详解】设（由（1）、（2）得），，（由（2）得），，，解得：25.如图1，在平面直