第八章不可压缩流体的无粘流动.

1、數章不可压缩流体的无粘流动速度环量§&2流函数与速度势§8.3基本平面势流§ 8.4基本平面势流的叠加§&5平行流饶圆柱体的流动速度环量-、速度环量求微元线段dE与速度V 在方向応上的分量的乘 积沿AB曲线的积分：J 一 一 f«r = J V ds = j V cos adsd s = dx i + dy j + d乙 k(udx + vdy + wdz )ea若A与B重合，便成了封闭周线。速度在封闭冋线切线上的分量沿该封闭周线K的线积分称为速+ vdy4- wdz )速度环量的正向规定为：沿封闭周线前进时， 周线所包围的面积

2、在速度方向的左侧。因此，逆 时针方向的速度环量为正。二、斯托克斯定理(Stokes Law)封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环 量等于该封闭周线内所有涡束的漩涡强度之和。 这就是斯托克斯定理。表示为：或 化 亦=21微元封闭周线的斯托克斯定理在oxy平面上取一微元矩形封闭周线，面积dA=dxdy,流体在A、B、C、D四点的速度如图。dir沿封闭周线ABCDA的速度环量为:B9dr = u A + u o Jdx + + vc dy - f u c + Jdx - v D + v 4 Jdy2 2 2 21 du/dvdvdv= "+(“+dx ) dx + ( v +dx )

3、+ ( v + dx + dy ) dy2 dx2dxdxdy1 dududu1dv 1( u + dx + dy ) + ( u +dy ) dx“ p + dy 9 + v Jdy2 dxdydy2dy2(0 dA = dldv du=()dxdydx dy沿微元封闭周线的速度环量等于该周线所包围 面积内的漩涡强度。2.单连通域与多连通域要保证流场中的u、v、w、p等都是x、y、z、t 的单值连续函数，对流场区域要有限制条件：区 域内任一条封闭周线连续地收缩成一点而不越出 流体的边界。这种区域称为单连通区域，否则称 多连通区域。S9将外周线K】、内周线K2用 AB. A' B

4、9;连接，将原区域片 封闭周线ABK2BA，KA所怠： 围，则该区域即为单连通区域。3有限单连通区域的斯托克斯定理对任一微元矩形可求得速度环量 drdip总速度环量：F =刃 / = 2j另一方面,总速度环量中沿各微 元矩形内周线的相邻切向速度线 积分方向相反，刚好抵消，仅剩 下沿外封闭周线K的切向速度线 积分，即： 厂=fV ds总速度环量：jv ds = 2f CD tdA沿有限单连通域K鈿闭周线的速'度斯量等于通过该区域漩涡强度的总和一有限单连通区域斯托克斯定理。4.多连通区域的斯托克定理对右图中由多连通区域改成的 连通区域，速度环量可写成：ABK=43 +弘 & + h

5、9A9 + AfKf>IiIrH -rn 二 2 仍Stokes定理说明:n由Stokes定理，假如外周线内有多个内周线，则 多连通区域的Stokes定理成为：速度环量取决于所包围区域内的漩涡。没有旋涡, 就没有环量。反之，环量等于零，总漩涡强度等 于零；环量不等于零，必然存在漩涡。例1:试证明平行流的速度环量等于零。 流体以等速度沿水平方向流动， 求沿矩形封闭周线的速度环量：$41 二_*f + Obu +0 = 0同样可证明，沿其它周线的速度环量也等于零。例2：求有间断面的平行流中的速度环量。包有间断面的两股平行流中矩形封闭周线的速度环量: 12341 = 1 12 + f23 +

6、厂34 + f41有间断面的平行流中速度环量不等于零。实际流体中由于粘滞力 的作用，使分界面上下形 成速度梯度，即<6>)dv du一丿 HO du工O dy13 T =(2 dx所以有漩涡存在。eaD三汤姆生定理(Thomson，s Law)汤姆生定理：正压性的理想流体在有势的质量 力的作用下，沿任何由流体质点组成的封闭周线 的速度环量不随时间变化。1证明：沿封闭周线的速度环量：厂= cis = > ( ittlx + vc/y + wd乙)速度环量随时间的变化率：DDDT D £Au(dx ) + v= (udx + vdy + wdz ) = f DtDt D

7、t JJf DuDvDw+ f (dx +dy + dz )J DtDtDt从矢量四边形ABBA，可以得到:ds + (V + dV )Dt = VDt + 亦 + D(ds )DDs即一(ds ) = d = dV DtDt在三个坐标轴上的分量为：DD(dx ) = du ,( dy ) = dv , DtDt代入(a )式右边第一部分得：.DDD u ( dx ) + v ( dy ) + w ( dz ) JDtDtDt2 2 2=d( ) d( ) = d(2 2 2理想流体欧拉运动微分方程：Du1 8p=fx Dtx p dx代入(a)式右边第二项得：a I)uDvl)wp(dx +

8、 dy + dz )DtDtDte1 dp1 dp1 dp=f ( f X 一)厶 +( / v )心 +( /一)必Jp dxp dyP dz.1 dpdpdp=0【(f xdx + Jdy + f .dz 一 一(dx + dy + dz )丿p dxdydz=f ( N/r dP F )nr t v. v=id()-d兀-dPJ = §d.(-兀一P卜)=0Dt J 22(a)式成为2 讨论理想流体中的速度环量和漩涡都不能自 行产生、自行消灭。流场中原来有涡的则 永远有涡；原来没有涡的就永远没有。四、海姆霍兹定理(Helmholez' s Law)海姆霍兹的三个漩涡定理

9、是研究理想流体有旋流动的基本定理，它说明了漩涡的基本性质(通 过环量证明Stokes定理)。1-海姆霍兹第一定理:在同一瞬间涡管各截面上的漩涡强度都相同。证明:AH + 厂 + 厂 BA +A9 AAA9即沿包围涡管任一封闭周 线的速度环量都相等。也就 是在涡管各截面上的漩涡强1='度都相等。即2 ndA =常数可见，涡管在流体中既不能 开始，也不能终止，只能是 自成封闭的管圈，或在边界 上开始.终止，如图。0S +厂小2.海姆霍兹第二定理:（涡管守恒定理）正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。证明:在涡管表面上取封闭周线KSTOKES沿周线K的

10、速度环量等于零->速度环量不随时间变化，沿周线K的速度环 量永远是零。涡管永远保持为由相同质点组成的涡管3.海姆霍兹第三定理:在有势质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的漩涡强度不随时间变化,保持定值。证明:根据汤姆生定理，沿封闭周线的速度环 量不随时间变化，环量等于涡管的漩涡强度，故涡管的漩涡强度也不随时间变化。同理，可得du dw d z d xdv du d x d yk = 7 cp函数称无旋流动必可表示成某一函数的梯度,§8.2,速度势与流函数 一 有势流动无旋流动满足：按矢量分析:一_d(p _dtp _dtpV =ui+ vy+ wk =i +j +dx dx

11、 dx为速度的势函数。无旋流动也称有势流动。二、速度势的特点1 有势流动中沿A B曲线的切向速度线积分等于终点B和起点A的速度势之差，与曲线形状无关。证:厂=f ( udx + vdy + wdz )dudrdwh + = 0 d xd yd zBr= J (udx + vdy + wdz ) dtp j d(pd(p=I (dx + dy + dz )Ja dxdydz=j d (p = (Ph - g2 在有势流动中，沿任一封闭周线K的速度环量 等于零。证：速度势满足拉普3.不可压缩流体的有势流动， 拉斯方程。证：不可压流体的连续方程：将匹，一西小代入得 d x d yd zd2(P d2

12、(p d2 cp2_ n+ + = V 0=0 d x 2 d y 2 d z2满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，速度势函数0是一个调和函数。求解不可压缩流体有势流动，归结为根据起始条 件和边界条件求解Laplace方程得到速度势进而 求得速度场，再根据伯努里方程求得压力分布。1.流函数的导出oudvd xd ydy三、流函数不可压缩流体的连续性方程：平面流动的流线微分方程：-Uudy vdx =()全微分 “0 = dx + -dy = -vdx + udy dxdy6 屮d:.U = V =dydxdu d2 y/dx dxdydvdy _d2 y/dxdydudv=dxdy函数屮永远满

13、足连续性方程。在流线上，di/= -vdx+udy=0,即屮= 常数。函数屮(x,y)称流函数。2.流函数的物理意义流函数的物理意义：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。证明：通过AH上流函数为w的流线和流函数为屮2 的流线间的体积流量为：BBq = Vdl = ( u cos(J 4J Adydxu + 卩(一4 dldl=J = 02 一匕证明：无旋3Z=O, A代入上式得dOp,v =dydxd 2 u/d 2 屮r+ = » = 0 22厂dx dy（3）等势线簇和流线簇构成流网。=0艮卩 0(p 0 y/ c (p d i/dx dx dy dy满

14、足上式的等势线簇 和流线簇互相正交，构成 正交网络，简称流网（如图）§&3基本平面势流平行流设流体作等速直线流动。d(pdx=ud<p一叫，一dyd<pd(p1 (p dx +dy = u hdx + v dydxdyW = 0积分得速度势:又d屮dx积分得流函数= -vox + WOJ (b)显然(a)、(b)两式满足Laplace方程，而 且等势线(wox + voy = c)与流线 (-vox + uy = c) 互相垂直。二、点源与点汇1点源与点汇定义在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，这种流动称为点源，这个点称为源点,如图(a)；若流体沿径

15、向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点，如 从源点流出和向汇点流入都只有径向速度。将极坐标的 原点作为源点（或汇点），贝I：图(b)。d（pVr = % = 0drd(P = v rdr2.势函数每秒通过半径为的单位长度圆柱面的流量为:2 7vrv z x 1 = Q ='常数QV =2/rrQ >0 v > 0 点源，0 < 0 V < 0 点汇v =2积分得：r 2 nrr 0 :> oo, v r3.流函数 rd i/ = vdx + u dy =Q >Q . I22(p = In r » In Jx + yIn

16、In00 源点(汇点)为奇点。d(pd(pdx + dy dydxQx积分:Qy=ax +ay2n(x' + y2)+ y 2)Q xdy - ydx Q =“ y屮=T-J一.厶J2/r J x * + j *2/rx2/r等势线是一系列半径不同的同心圆，与流线正交。同样可证明卩和屮都满足Laplace方程，点源和点汇都是 无旋流动。tan4压力分布平面oxy是无限水平面，根据伯努里方程：200P V r+y 2g yQy 1将-表达式代入上式，得：卩=丁口Q2r A可见：° 八；图中表示G 3时，点汇涪半径I的压力分布。8”'&儿三、涡流和点涡1.涡束与涡

17、流涡束象刚体一样以等角速度绕自身（Z轴）旋 转，由涡束诱导出的平面流，称为涡流，是以坐 标原点为圆心的同心圆。isrBa按Stokes定理，沿圆周流线的速度环量等于涡束的漩涡強度（D ,即：-T = 2rrv & = / =常数 可见：rv 9 = （r r0 ）（势流旋转区）Inr在涡束内2.势流旋转区的压力分布伯努里方程：OOP 0” 8+ =2%72g在涡束边缘r V iPg 22_8兀 g rr2/ ii2；=Poo 一8Qg r；2V0 = rco ( r < r0 )(涡核区)由此解得涡核半径(>3.涡核区的压力分布平面定常流动的Eular运动方程:dtiQu1

18、Qp+ vdxpdxdvdv1Sp + VdxQypQyBC r = r0 , p = p i9 ve = v0 代入,解得：1 21 2 22C = "(> 一 Pv = "o+ _ 0=pg 一p%221 22"=”8 + pe24.压力分布图涡核中心压力：Pc = Poo -2Q%涡核边缘压力：P Q = P 8 1 °2涡内速度u = -砂,V = CDX 代入再分别乘蛀,盯相加:CD即(xdx + ydy)=积分得:故Pg 一 P° = P°5.d(p = dr+ d<9 = d&drdO2 兀11.匚（

19、Poo 一 Pc） = 7PV0 22可见，涡核内、外压降相等，都等于以涡核边 缘的速度计算的动压头。点涡T 0,成为一条涡线，这样的涡流称为点涡。 -> 0,v> °o,涡点是一奇点。速度势 申d <p P r = =°%drd(p d(ptan积分得速度势(P = & = tan _1 2;r2 兀x(2)流函数dxd屮d(prXdxdy2兀2 2x + y6屮dtprySydx2兀2 2x + y0屮-rd(x2 + j2)-Ax +dj 一ajIn2(x2 + j2)rrPl xKin r¥2兀r 1 drIn 1 r1r > o环流逆时针，r < o环流顺时针.§8.4基本平面势流的简单迭加 一、无旋流动的特性无旋流动重要特性：几个无旋流动迭加后仍然 是无旋流动。证：设0 =卩+ 02 +冷+(01，化，03满足Lap lace方程，且Lap lace方程是线性的2 2 2 2V = V (p、+ 7+ V 04 贝U同样：W = vV