房价预测的数学模型

1、房价预测的数学模型吴佳平（数学学院 信息与计算科学 31090519）摘要：房地产业是国民经济发展的重要产业，它的健康发展对拉动GDP 增长，调整产业结构，促进我国经济持续可协调发展有重要意义。同时，房价又是一个与民生息息相关的社会问题，房价增长速度高于居民可支配收入增长速度将造成很多家庭买房难。房屋销售价格指数是反映一定时期房屋销售价格变动程度和趋势的相对数，它是通过百分数的形式来反映房价在不同时期的涨跌幅度。一般以房屋销售价格指数作为衡量一个地区一段时间内的房价水平。针对房屋销售价格指数的分析有很多方法，自回归模型用于分析平稳且非纯随机性序列。本文从决定房价的内生因素入手，即从供给和需求两

2、个方面分别选取广义货币供应量、土地交易价格、居民消费物价指数CPI和房地产开发景气作为房价的决定性因素，综合应用时间序列模型和多因素回归模型来建立房价预测与调控模型，并通过MATLAB 仿真说明房价预测与调控模型的决定性因素、调控措施的影响等，仿真结果表明该模型较准确预测了房价增长并在出现较大政府调控措施能准确反映房价变化。关键词：房价形成因素，房价构成模型，多元回归模型，MATLAB 1. 问题提出房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方

3、政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。2. 房价构成模型分析基本假设：房地产价格预测方法也可以房价的构成为基础进行研究。房地产价格分成四大块：土地成本、开发成本、政策税费以及开发商的预期利润。房价构成结构图：(见下页)其中，税费影响可以用“国家货币供应量M2”、“房地产

4、贷款利率R”表示。贷款利率R和货币供应量M2对房价的税费率的调控主要集中在一年期贷款利率R和货币供应量M2，据统计一般情况下，开发商超过70%的资金来源依靠贷款，因此贷款利率的上调会导致开发商成本的上升，货币供应量M2的紧缩导致开发商贷款的难度增大，这样，房地产商融资的成本会进一步上升，而这些成本开发商会间接的转嫁到房价当中。全国贷款一年利率R统计图如下：全国货币供应量M2统计图如下：利润预期则用“房地产开发综合景气指数”表示。房地产开发综合景气指数是反映房地产业发展景气状况的综合指数。它是根据经济周期波动理论和景气指数原理，采用合成指数的计算方法，从房地产业发展必须同时具备的土地、资金和市场

5、需求三个基本条件出发，选择房地产开发投资、资金来源、土地出让收入、完成土地开发面积、空置面积、新开工面积、竣工面积、商品房销售价格这8个具有代表性的统计指标进行分类指数测算，然后进行加权平均得到的总体指数，并以1994年12月为基期对比计算出用百分制表示的指数体系。它从某种程度上反映了地产商对房地产利润的预期。全国房地产景气指数GI如下：开发成本由建筑成本、人工成本、管理成本、拆迁成本组成，可以用“物价指标”表示。物价指标包括：居民消费价格指数（CPI）和工业品出厂价格指数（PPI）。楼面价格则可用“土地交易价格指数”表示。土地交易价格指数指房地产开发商或其他建设单位在进行商品房开发之前，为取

6、得土地使用权而实际支付的价格的变动趋势和程度的相对数。 土地交易价格是指房地产开发商或其他建设单位在进行商品房开发之前，为取得土地使用权而实际支付的价格，不包括土地的后继开发费用、税费、各种手续费和拆迁费等。它包括居民住宅用地、工业用地、商业旅游和娱乐用地及用于建造办公、教育、医疗科研、服务用房等其他综合用地四部分。土地交易价格指数，就是指反映一定时期内土地交易价格变动趋势和变动程度的相对数。 土地交易价格指数是反映房地产开发商或其他建设单位，为取得土地使用权而实际支付价格的变动情况。 全国/北京/西安/大连 平均土地交易价格指数TI统计图如下：系列1：全国系列2：北京系列3：西安系列4：大连

7、房价相关参数，2000-2010年全国统计数据：房价相关量居民消费价格指数 CPI工业品出厂价格指数 PPI房地产景气指数 GI货币供应量 M2一年期贷款利率 R2000100.4102.8102.2134610.265.942001100.798.7106.511528885.94200299.297.8104.61838885.492003101.2102.3106.282198885.762004103.9106.11052532075.762005101.8104.9102.17269240.495.762006101.5103101.87316709.816.032007104.81

8、03.1103.32369718.157.472008105.9106.9103.34436221.67.02200999.394.695.945482445.42010102.9107.1105.076634005.85模型分析中选择房价不同的三类城市是 北京、西安、大连土地交易价格指数TI统计数据：土地交易价格指数TI全国北京西安大连2000100.2100.498.799.32001101.3102.4100.4100.92002106.4106.3105.2106.12003104.5103.6101.5102.42004107.9108.4106.2107.62005109.1110

9、.5107.8109.12006105.8106.9104.3105.82007112.3109.4105.9107.52008109.4111.6104.21092009105.4104101.7101.22010110.4118.5110.3110.5房屋销售价格指数PI统计数据： 系列1：全国系列2：北京系列3：西安系列4：大连房屋销售价格指数全国北京西安大连2000101.199.5101.3100.22001102.2101.3101.999.62002103.7100.3101.198.42003104.8100.3101.4100.72004109.7103.7105104.62

10、005107.6106.7104.3109.22006105.5108.8103.6110.92007107.61131101052008106.5109.4108.1104.82009107.8109.2105.7104.72010106.4106.3108.2110.53.基本模型的建立经过房价构成分析，构建房价构成基本模型如下：（1）式中，表示房价，表示地价，表示开发商成本，表示各项税费，表示预期利润率。设地价为元/每平方米，土地容积率为，税费率为，预期利润率为，因此，房价的表达式可以表示为：（2）由房价的构成模型可以看出房价由“政策项”和“成本项”构成。“政策项”包括政府所征收的税费率

11、和利润预期率。“成本项”包括开发成本，楼面地价。其中开发成本包括建筑成本，人工成本，管理成本等，而楼面地价包含地价和容积率两个因素，不同地段和不同房屋构造容积率导致成本差别也较大。显然，影响房价的因素有多方面的，其中很多因素自身又有很明显的相关性，因此在采用回归分析的方法时，需要对各决定性因素进行预处理，使之可以满足回归的条件。一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据进行回归就是虚假回归。因此，我们采用房地产综合开发景气指数代表房价构成模型中预期利润，土地交易价格指数来代表房价构成模型中楼面地价，消费物价指数代表开发成本，广义货币

12、供应量来反应房价构成模型中的政策影响。从房价构成模型可以看到各因素对房价影响机制复杂，要使用多元回归，我们还需要对（2）进行对数处理，为了消除数据中可能存在的异方差现象。如下式：式中，房价与各项因子之间并非线性关系，但是其对数形式与各项因子对数形式之间是线性关系，考虑到和可以分别代表政策项和成本项对于房价的影响，因此假设，则基于房价构成模型的多元回归预测模型如下式：然而，从房价构成模型推导出来的多元回归模型虽然从理论上解释了房价的构成，但是关于“政策项X1”和“成本项X2”并没有量化的指标，因此文中对政策项和成本项进行细化分析。“政策项X1”包含广义货币供应量M2和贷款汇率R，“成本项”包含居

13、民消费物价指数CPI和工业生产价格指数PPI，土地交易价格指数TI和房地产综合开发景气指数GI表示房价构成的因素。房价建立总相关量一共有六个。在不考虑相关程度的情况下，改进模型如下所示：式中， 代表土地交易价格指数， 代表消费物价指数， 代表工业生产价格指数， 代表房地产综合开发景气指数， 代表房地产贷款汇率， 代表广义货币供应量，a0 是常数项，a1a6代表各种因素的权重， 代表误差项。4.模型求解利用MATLAB对通用相关量进行预测（此处近似估计，采用三阶函数拟合）1. 对CPI进行预测，Matlab程序：clc;clear; CPI=100.4 100.7 99.2 101.2 103.

14、9 101.8 101.5 104.8 105.9 99.3 102.9' t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=XCPI;Y=ones(size(T) T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,CPI,'o'),grid on% CPI出图2. 对PPI进行预测，Matlab程序：clc;clear; PPI=102.8 98.7 97.8 102.3 106.1 104.9 103 103.1 106.9 94.6 107.1'

15、; t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=XPPI;Y=ones(size(T) T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,PPI,'o'),grid on% PPI出图3. 对GI进行预测，Matlab程序：clc;clear; GI=102.2 106.51 104.6 106.28 105 102.17 101.87 103.32 103.34 95.94 105.07' t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T

16、=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=XGI;Y=ones(size(T) T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,GI,'o'),grid on% GI出图4. 对R进行预测，Matlab程序：clc;clear; R=100.4 101.3 106.4 104.5 107.9 109.1 105.8 112.3 109.4 105.4 110.4' t=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=

17、XR;Y=ones(size(T) T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,R,'o'),grid on% R出图5. 对M2进行预测，Matlab程序：clc;clear; M2=134610.26 152888 183888 219888 253207 269240.49 316709.81 369718.15 436221.6 548244 663400't=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10'T=(0:.1:10)'X=ones(size(t) t t.2 t.3;a=XM2;Y=ones(size(T)

18、T T.2 T.3*a;plot(T,Y,'-',t,M2,'o'),grid on% M2出图由上面5个房价相关量的曲线，可以预测到2011年的房价相关参数，利用MATLAB对三类城市房价进行多元回归1.对北京市房价的多元回归Matlab程序：clc;clear; TI=100.4 101.3 106.4 104.5 107.9 109.1 105.8 112.3 109.4 105.4 110.4' CPI=100.4 100.7 99.2 101.2 103.9 101.8 101.5 104.8 105.9 99.3 102.9' PPI

19、=102.8 98.7 97.8 102.3 106.1 104.9 103 103.1 106.9 94.6 107.1' GI=102.2 106.51 104.6 106.28 105 102.17 101.87 103.32 103.34 95.94 105.07' R=100.4 101.3 106.4 104.5 107.9 109.1 105.8 112.3 109.4 105.4 110.4' M2=134610.26 152888 183888 219888 253207 269240.49 316709.81 369718.15 436221.6 5

20、48244 663400'PI=100.4 102.4 106.3 103.6 108.4 110.5 106.9 109.4 111.6 104 118.5'X=ones(size(TI) log(TI) log(CPI) log(PPI) log(GI) log(R) log(M2);a=XPI;% beijing得到各项权重 a0 a6 的结果：a = -355.5449 70.2842 -102.2948 63.0819 52.4731 05.77612.对西安市房价的多元回归Matlab程序clc;clear; TI=98.7 100.4 105.2 101.5 10

21、6.2 107.8 104.3 105.9 104.2 101.7 110.3' CPI=100.4 100.7 99.2 101.2 103.9 101.8 101.5 104.8 105.9 99.3 102.9' PPI=102.8 98.7 97.8 102.3 106.1 104.9 103 103.1 106.9 94.6 107.1' GI=102.2 106.51 104.6 106.28 105 102.17 101.87 103.32 103.34 95.94 105.07' R=100.4 101.3 106.4 104.5 107.9 1

22、09.1 105.8 112.3 109.4 105.4 110.4' M2=134610.26 152888 183888 219888 253207 269240.49 316709.81 369718.15 436221.6 548244 663400'PI=100.4 102.4 106.3 103.6 108.4 110.5 106.9 109.4 111.6 104 118.5'X=ones(size(TI) log(TI) log(CPI) log(PPI) log(GI) log(R) log(M2);a=XPI;% xian得到各项权重 a0 a6 的结果a = -595.7960 101.6979 15.6824 20.7985 27.3636 -26.5287 4.69163.对大连市房价的多元回归Matlab程序：clc;clear; TI=99.3 100.9 106.1 102.4 107.6 109.1 105.8 107.5 109 101.2 110.5&