二次函数与三角形的面积问题

1、二次函数与三角形的面积问题【教学目标】1 .能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。2 .通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。3 .掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。【教学重点和难点】1.运用s:水平宽铅垂高 22 .运用|y|;3 .将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。【教学过程】类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例1.已知：抛物线的顶点为D(1,-4),并经过点E

2、(4,5),求:(1)抛物线解析式;(2)抛物线与x轴的交点A、B,与y轴交点C;(3)求下列图形的面积ABD、 ABC> ABE > OCD、OCE。解题思路：求出函数解析式;写出下列点的坐标： A; B; C:求出下列线段的长：AO;BO;AB;OCo求出下列图形的面积ABD、ABC、ABE>OCD、OCE。一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。变式训练1.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+da#0)与x轴相交于两点A(x1,0),B(X2，0)(Xi<x2),与y轴负半

3、轴相交于点C,若抛物线顶点P的横坐标是1,A、B两点间的距离为4,且ABC的面积为6。(1)求点A和B的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)求四边形ACPBB勺面积。类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。(歪歪三角形拦腰来一刀)斗工水平竟父铅垂身关于S=的知识点：如图1,过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的2三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABCW“水平宽”(a),中间的这条直线在ABS部线段的长度叫ABC勺“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？例2.如图2,抛物线

4、顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直PA, PB,当P点运动到顶点C线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结时，求CAB的铅垂高CD及Sab；(3)是否存在一点P,使&pkb=9Sacab,若存在，求出P点的坐8图-2标；若不存在，请说明理由.解题思路：求出直线AB的解析式是为了求出D点的纵坐标yD；"铅垂高，注意线段的长度非负性；分析P点在直线AB的上方还是下方变式训练2.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（一2,0）,连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.（1）求点

5、B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C,使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由.P变式训练3.如图，抛物线y = x2 +bx+c与x轴交于A（1,0）,B（-3, 0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使彳QAC的周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由限上是否存在一点 巳使 P

6、BC勺面积最大？，若存在，求出点.（3）在（1）中的抛物线上的第二象P的坐标及 PBC勺面积最大值.若没有，请说明理由.一般地，所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为-111-CD=|yc-丫口|。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标4因此，求出点D的坐标，是求铅垂高度CD的关键；一所谓的永壬宽要际上就悬一两二点的横坐标差的绝对值2一教学表达式为AB=|xAxB|.为工保证这个一差值1正数回望但亘.以用这两个H点点的攫坐标遮去靠左点的懂坐拯:因此，求出点一人.一旦的坐标2遢求水至夏的关键.在解这类存在性问题时,通常

7、先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解【自主练习】1.已知如图，矩形OABC勺长OA=J3,宽OC=1,将AOCgAC翻折得APC(1)填空：/PCB=一度，P点坐标为(，);(2)若P,A两点在抛物线y=x2+bx+c±,求b,c的值，并说明点C在此抛物线上；3(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C,P点)上，是否存在一点M,使得四边形MCAP勺面积最大?若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(aw0)与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物

8、线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.图图3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数错误！未找到引用源。的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连结PO、PC,并把4POC沿CO翻折，得到四边形POP错误！未找到引用源。C,那么是否存在点P,使四边形POP错误！未找到引用源。C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.4.如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(4