二次函数与几何图形综合

1、.专业.专注.二次函数与几何图形综合类型1利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据熏在图象上一点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积.1.(牡丹江中考)如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),0),请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,2.二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(-1,4),B(1,0),y=jx+b经过点B,且与二次函数y=x2+mx+n交于点D.求二次函数的表达式；点N是二次

2、函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP，x轴，垂足为点P,交BD于点M,求MN的最大值.3.如图，抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,一2)三点.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点大，求出点D的坐标.类型2二次函数图象与线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点，那么直接构造线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用线段之和最短”问题已知抛物线y=(x+ 2)(x 4)与x轴交于点解决.4.如图,A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C,M为抛物线的顶点.求点A、B、C的坐标;设动点N(-

3、2,n),求使MN+BN的值最小时n的值.word可编辑15 .如图，已知抛物线y=(x+2)(xm)(m>0)与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,m且点A在点B的左侧.(1)若抛物线过点G(2,2),求实数m的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使AH+CH最小，并求出点H的坐标.6 .如图，抛物线y=；x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.(1)求抛物线的解析式.(2)点D(2,2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P,使得BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.7 .如图，在平面

4、直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，ZAOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点，已知A(0,4),C(5,0),二次函数y=4x2+bx+c的图象抛物线5经过A,C两点.(1)求该二次函数的表达式；(2)F,G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D,E,F,G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值.8 .如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0),B(3,0).请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)点E(2,m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H,点F是AE中点，连接FH,求线段FH的长.9 .如图，在直角坐标系xOy中，二次

5、函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于0、A两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使4AOB的面积等于6,求点B的坐标;对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使/POB=900?若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由.c=3,a=1,1.(1).抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(1,0),二彳解得S.抛0=a-2+c.Ic=3.物线的解析式为y=x2+2x+3.(2)，y=x2+2x+3=(x1)2+4,抛物线的顶点坐标为(1,4).BE=2,DE=4.BD=JbeF+DE2=2收4

6、=1m+n,2.(1).二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(-1,4),B(1,0),力解、0=1+m+n.m=2,得1,二次函数的表达式为y=-x2-2x+3.n=3.(2)y=2x+b经过点B,.2X1+b=0.解得b=2.y=2x+2.设M(m,-2m+2),则N(m,_m2_2m+3),-MN=_m2_2m+3_(_2m+2)=-m2_2m+2=_(m+)2+翌.MN的最大值为X.16163.(1)该抛物线过点C(0,2),设该抛物线的解析式为v=ax2+bx2.将A(4,0),B(1,0)16a + 4b-2 = 0, 代入，得la+b 2=0.解得ra=12'.此抛物

7、线的解析式为y=2x2+,x2.设D点的横坐标为t(0<t<4),则D点的纵坐标为2t2+：t2.过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y=x2.E点的坐标为(t,42).；DE=M2+*t22222(1t2)=2t2+2t.64口0人=2*(2t2+2t)X4=t2+4t=(t2)2+4.当t=2时,DCA面积最大.；D(2,1).4.(1)令 y = 0,(x+2)(x 4)=0,解得 xi2,X2=4 ;令 x=0,得 y= 一2.A(一2, 0)、B(4, 0)、C(0, -6(2)过点A( 2, 0)作y轴的平行线l,则点B关于l的对称点B'

8、(8, 0),又 M(1 ,连接B' M与l的交点即为使 MN+BN值最小的点.设直线B' M的解析式为y = kx + b,则5.(1)抛物线过点 G(2, 2)时，一一(2 + 2)(2m) = 2,解得 m=4. m11(2)/m=4,.y=-(x+2)(x-4).令y=0,(x+2)(x4)=0,解得x1=2,x2=4.则44A(-2, 0), B(4, 0).抛物线对称轴为直线l:2 + 4x= -=1.令x=0,则y = 2,所以 C(0,2).二B点与A点关于对称轴对称，连接BC,BC与直线l的交点便为所求点H；B(4,0),C(0,2),求得线段BC所在直线为y

9、=2x+2.当x=1时，y=3,；H(1,p.fc=3,6.(1)由已知条件得A(-2,0),C(0,3),代入二次函数解析式，得j解得22b+c=0.b=111'2.抛物线的解析式为y=-x2+-x+3.22,c=3.(2)连接AD,交对称轴于点P,则P为所求的点.设直线AD的解析式为y=kx+t.由已知得x=一代入y=-x+1,得y=-.'P仁，一).2k + t=0, i2k+t=2.Ik解得 2lt=1.1b 1.直线前的解析式为y = 2x+对称轴为直线x=-2a=-,将224247.(1)将A(0,4)、C(5,0)代入二次函数y=4x2+bx+c,得f解得5c=4

10、,(2455'故二次函数的表达式为y=-x2x+4.55,c=4.延长EC至E',使E'CEC,延长DA至D',使D'ADA,连接D'E交,x轴于F点，交y轴于G点，GD=GD,EF=EF,(DG+GF+EF+ED)最小=D'EDEf由E(5,2),D(4,4),得D'(4,4),E(5,2).由勾股定理，得DE=22+12=邓,D'E'=(5+4)2+(4+2)2=3/l3,(DG+GF+EF+ED谭小=D'EDE3/13+/5.1b+c=0,b=2,(8) 1).抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,

11、0),B(3,0),解得S.y=x2-2x-3.9+3b+c=0.c=3.(9) 点E(2,m)在抛物线上，.=443=3.E(2,-3)，BE=(3-2)2+(0+3)2=410.,点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H , H是AB中点，1.FH = -BE=21029、.(1)二函数的图象与x轴相交于O,，0=k+1,.-.k=-1，二次函数的解析式为y=x2-3x.(2)假设存在点B,过点B作BDx轴于点D.AOB的面积等于6,-AOBD=6.2当y=0时，x(x-3)=0.解得x=0或3.AO=3.BD=4,即4=x2-3x.解得x=4或x=-1(舍去).又.顶点坐标为(1.5,-2.25),2.25V4,，x轴下方不存在B点.，点B的坐标为(4,4)