2018-2019学年北京市西城区高二第一学期期末考试数学试题(解析版)

1、2018-2019学年北京市西城区高二第一学期期末考试数学试题一、单选题22x y + =- = 11 .椭圆4 3 的离心率为（）113/A.耳B. 2C. *D, 2【答案】B【解析】由椭圆方程得到电11的值，然后由/ = + /求得匚的值，进而求得离心率.【详解】c 1根据椭圆标准方程，得 己二"7 故。二伸入也1,所以椭圆的离心率为a乙故选b.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的标准方程写出3上，根据椭圆的几何性质求离心率，属于基础题.2,命题对任意的KER,'"的否定是（）A 寸r-xER k2-1 >0A.不存在 ，B,存在'ER,-1<

2、0C,存在 * * R, x T £。D.对任意的'ER, 'X。【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，写出原命题的否定，注意否定结论 【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，主要到要否定结论，故原命题的否定是“存在、ER,.故选 C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.3.数列凡的前门项和为S）且,品+ L2%SEN ）则等于（）A 32 b 48 c 62 d 93【答案】D【解析】根据已知条件得到数列归/是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前八项和公式求得.【详解】qS5 = 93由% +

3、1 - n可知数列为等比数列，且公比为 2 ,首项为3 ,故 1-2.所以选D.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前门项和公式，属于基础题.4 .已知点"2°禺，*伊2引，P是AB中点,则点P的坐标为（）A P（3，2） b P（34） c Pg-2Il） d P （6 A5J【答案】A【解析】根据中点坐标公式，求得 AE的中点P的坐标.【详解】/2+ 40 + 21 +3 Pl,根据中点坐标公式得 222 即P（3JZ,故选a.【点睛】本小题主要考查空间坐标计算，考查空间两点中点坐标的求法，属于基础题5 .平面”经过三点°（°。

4、6;）, A（228,B©0,2）,则平面口的法向量可以是（）A. 口” b. （LOT d，1） D.（3【答案】D【解析】对四个选项，通过计算口。儿口-6日判断是否是平面口的法向量.【详解】设平面以的法向量为口，对于再选项,门0A = 2 ,故a选项错误.对于b选项,n 。口 -二故B选项错误.对于C选项，,故C选项错误.对于D选项，由于= 故d选项符合题意.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查空间法向量的概念以及法向量的判断，属于基础题6.如果那么下列不等式中正确的是（A. b ）前b.">8 C.己 > b D.【解析】利用"b的特殊值，代入选

5、项逐一判断选项是否正确，由此得出正确选项令2.b = =l.对于A选项（FLGm ,所以A选项错误.对于B选项,（7）（7） 77）,故b选项错误.对于C选项，（7）, c选项正确.对于d选项,卜2| > |'1|,故D选项错误.综上所述，本小题选C.本小题主要考查比较数的大小，考查选择题的特殊值排除法，属于基础题.比较两个数的大小，对于对于选择题或者填空题来说，最主要的方法是特殊值法.还有的方法就是利用不等式的性质，或者指数函数单调性、对数函数的单调性来求解.如果问题较为复杂，还需要借助奇偶性，结合图像来求解XC：-7.已知双曲线2 y=1（a>O,b >o）b的一

6、条渐近线方程为，一个焦点坐标（2, 口）,则双曲线匚的方程为2 2X yA. 2 6B.1V=1222 VX - = 1C.D.【解析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出苜、卜,即可得到双曲线方程.x ym = li Si > o.b > 0）双曲线1的一条渐近线方程是好屉可得它的一个焦点坐标为。，可得亡=2 ,即广+ b' = 4 , 二解得 m = Lb = ®2 VX -= 1所求双曲线方程为：故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力8 .设数列f口）是等比数列，则的 外”是"1n&#

7、39;为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当为二一1'久=2斯=-2时，虽然有久 a、但是数列皤不是递增数列，所以不充分；反之当数列 同）是递增数列时，则必有 丫%,因此是必要条件, 应选答案Bo点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先运用充分条件的定义进行判断， 借助反例说明其不是充分条件，进而确定其逆命题是真命题，从而说明是必 要条件，进而说明是必要不充分条件，选出正确答案。9 .已知区 户口.将四个数“fx .仆一按照一定顺序排列成一个数列，则（）A.当口时,存在满足已知条件的x，V,四个数构成等比数列B.当乂

8、°时，存在满足已知条件的 川,四个数构成等差数列C.当时，存在满足已知条件的四个数构成等比数列D.当"之口时，存在满足已知条件的 ”四个数构成等差数列【答案】D【解析】注意到x&时，符合题目的要求，由此得出正确选项.【详解】注意到k二fV = 4时，网V°,且X+3 +%叵7的值为,构成公差为4的等 差数列.由此判断出D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题二、填空题10 .抛物线V =-4*的焦点坐标为 .【答案】【解析】 试题分析：根据抛物线方程求得p,则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标。解：

9、抛物线方程中 p=2, .抛物线焦点坐标为（-1,0）故填写LLO）【考点】抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题.113n-130 . i 4 G E -i I-11 .在数列 4 3 8 2n 中，了是它的第 项.【答案】n-1【解析】注意到通项公式为2n , R需要是7的倍数，将7代入验证可知是数列的第7项.【详解】n-17-16 33依题意可知数列的通项公式为2n,当n = 7时，2*7 14 7.故7是第7项.【点睛】本小题主要考查数列的通项公式，考查分析和推理能力，属于基础题 .1112 .不等式 I 的解集为 .【答案】11l-（x-l） -x + 2x-

10、2> 11 => 0< 0【解析】因为KT ，叱1I ,，解集为江（L2）,故答案为QZ.af（x） = * + -（a > 0）13.设函数黑 .当1时，小）在区间0 + 8）上的最小值为 ； 若出刈在区间+ 8）上存在最小值，则满足条件的一个a的值为.【答案2 a>4即可【解析】当日=1时，利用基本不等式求得最小值.利用基本不等式，研究函数的最 小值，并根据基本不等式等号成立的条件，求得 占的取值范围【详解】x + ->2 L -=2k=- = 1当曰=1时，由基本不等式得x 力式，当且仅当x时等号成立，故最己_日 Ja rx*一三2 x -=k= ,k

11、 = £%小值为2.由基本不等式得* J x ,当且仅当区时等号成立，故/>2,即a >4.填a >4的任意一个白都符合题意.【点睛】本小题主要考查基本不等式的知识和应用，考查基本不等式“一正，二定，三相等”的要求，属于基础题.一正，即利用基本不等式要确保自人为正数.二定是指基本不等式求得的结果为定值，不能含有变量.三相等是指等号成立的条件，也即当且仅CCCC14.已知椭圆，抛物线的焦点均在“轴上，的中心和的顶点均为坐标原点.下表cCC给出坐标的五个点中，有两个点在1上，另有两个点在 匕上.则椭圆1的方程为 ,匚C1的左焦点到 工的准线之间的距离为 .【解析】首先判

12、断出在椭圆上，进而判断出(4-4)在抛物线上，求得抛物线方程,X13,才悯*卜4礴以及另一个抛物线上点的坐标.判断出12/在椭圆上，并由此求得椭圆方程，进而求得椭圆左焦点到抛物线的准线的距离.【详解】注意到（-2月）在椭圆上，故占二2,根据椭圆的范围可知，横坐标为的点不在椭圆上.设抛物线方程为J = 2Px,9,在抛物线上，即16 = 2p x 44=2 ,即/ = 4* ,且-2同在22x V+ = 1抛物线的图像上，抛物线准线为L.设椭圆的方程为4 /,将lL，3）代入，求得（嘲b = 2,不符合题意.将点I代入，求得b = l,符合题意，故椭圆方程为 4.故左焦点为（7§，&#

13、176;）.所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为出-1.【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求解，考查抛物线的几何性质，考查椭圆标准方程的求解以及椭圆的几何性质，考查分析和推理的能力，属于中档题.椭圆和坐标轴x*轴有四个交点，而抛物线和坐标轴的交点为 。）,因此，本题中的（-L0）成为解题的突破口，由此可以判断其它点是椭圆还是在抛物线上.抛物线的方程只需要抛物线上一个点的坐标就可以求解出来.三、解答题15.已知等差数列°的公差为，且外鼻凤成等比数列.（I ）求的通项公式；（n）设的前n项和为S。，求与。的值.【答案】（I） 3ri-2n_10 （n） 220【解析】（I）根据等比中

14、项的性质，列出方程，并转化为丐出的形式，由此求得 年的值，并求出数列的通项公式.（II）利用等差数列前n项和公式，求得 多。的值.【详解】2 _（I）因为卬%'%成等比数列，所以% =所以伯l + 2d）2 =支网 + 3d）又瓦）的公差为之,所以（%，4尸二%凡+可解得 所以电的通项公式为自产"I。. 20S2D = 工网 + a 加（n）=1。凡 + 与 + 19d）=10（-16+ 19*2） = 220.所以，§然的值为220 .【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量%1、通项公式和前0项和.基本元的思想是在等差数列中有 5个基本量力与,n

15、,利用等差数列的通项公式或前 n项和 公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列为R ,进而求得数列其它的一些量的值.16.已知函数3=-2号'ER.（I）当占=1时，求满足f（X）W0的K的取值范围；（n）解关于、的不等式小）之疗；（出）若对于任意的'E+ 8）, f,0均成立，求a的取值范围.【答案】（I）（°工）（n）见解析出（一1【解析】（I）当' =1时，解一元二次不等式求得x的取值范围.（II）化简为一元 二次不等式的形式并因式分解，对 m分成日0a=01。三类，求得不等式的解集.（III）Xa 将不等式H*）0分离常数，变为 2,根据

16、算的取值范围，求得a的取值范围. 【详解】（I）当曰=1时，f二加”所以必0,即/-2”0解得 .所以加。的解集为。0(n)由f-得-2ax-3a。，所以(k利(x + a)<0,当己>。时，解集为a万可；当己二°时，解集为空集；当己父。时，解集为(3a,-a).22(m)f(x)>。，即 K -2ax>0 所以 2ax<x .因为对于任意的xe(2, + «) f(x)> 0均成立.X 3 < 所以对于任意的xE(2"g),2均成立.所以 即3的取值范围是(-R，l.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有参

17、数的一元二次不等式分类讨论，考查恒成立问题的解法.属于中档题.21x y C：- + - = l (a>b>0)厂17.已知椭圆 3卜长轴是短轴的 3倍，且右焦点为f(L。).(I)求椭圆 C的标准方程；2(II)直线1：¥=刈* + 2)交椭圆£于48两点，若线段*B中点的横坐标为 3求直线I的方 程及nfab的面积.2 X 2 一+ y = 1【答案】(I)。(n) 1【解析】(I)根据焦点坐标求得U,根据长轴和短轴的对应关系，以及二十 列方程组，可求得db的值，进而求得椭圆的标准方程 .(II)联立直线的方程和椭圆的方程，消 去¥并化简，写出韦达

18、定理，根据 AB中点的横坐标求得k的值.利用弦长公式求得|AB ,利 用点到直线的距离公式求得焦点到直线AB的距离，由此求得三角形 FAB的面积.【详解】(I )因为长轴是短轴的陋倍,所以3 = 2.因为焦点F的坐标为3°),所以3 1.结合= b，c' 得”"，b = l.所以椭圆方程为.一+ V =1，2由卜=3 + 2)得q? * 1* + Sk + 8k2 - 2 = 0, 8k2 8kL 2则：1因为线段总口中点的横坐标为2-4k2=一所以，11=± 解得 失即 2 （符合题意）1y =± 一M + 2） 所以直线的方程为A网=+k2）

19、眄因为 '|3k| 斗点卜到直线I的距离d =5s = - M 一 八匚丹口一A AFB ; 所以 fab的面积 2 m 即 fab的面积等于1.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解,考查椭圆的几何性质， 考查直线和椭圆的位置关系，考查有关椭圆的三角形的面积和弦长公式.在解有关椭圆方程的题目过程中，主要是根据题意，列出有关 为也。三个量的关系式，解方程组求得 为b工的值，也即求得了椭圆 的标准方程.18 .如图，四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，AB/CD，血"="口C = 905口,平面ABCD, L1是8的中点，AD=SD=8 = 2A-2（I ）证明：D

20、M，平面SAB .（n）求二面角a-sb-c的大小；（出）线段"上是否存在一点E,使得直线5A"平面BDE.若存在，确定E点的位置；若 不存在，说明理由.【答案】（I）见证明；（n） 1350；（出）见解析【解析】（I）依题意易得DAQCQS两两垂直，以D为原点建立空间直角坐标系.通过DM - SA = O,DM AB =。证得DW平面弘g.（ I）通过计算平面ASB和平面CEB的法向量，由此计算出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（III ）设出5E的坐标，利用直线S的方向向量和平面BDE的法向量垂直，求出关于E点坐标的参数，由此判断出 E点的位 置.【详解】（I）因

21、为5口,平面ABCD DA,DC仁平面AKD.所以 5D1DA, SD1DC 又DA1DC.如图，以口为原点建立空间直角坐标系.由题意得 waola（2ao），beiq）,a（u,o）所以一 ,'；:， 1 ：.所以 .，所以DM 1平面5Ag（n）设平面sbc的法向量为% = 3寓,因为氮：=（。2.2） , BC=-2J.因为DM,平面5AB,所以口融为平面5AB的法向量,所以因为所求二面角为钝角，所以二面角A-匚大小为135口（出）解：设 SECC = （O,22U#E01D,设平面bde的法向量n2 =仅心Mo),= 0 |2kyo+2(l-K)zo = O则因n=。，即i 2

22、% + ¥。=02X t2X令' = 1 22 。一于是工1-X.如果直线5A平面BDE,1那么5As = 0,解得X 3.所以，存在点E为线段鼠靠近0点的三等分点，使得直线5A”平面BDE.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直，考查利用空间向量法求面面角的大小，考查利用空间向量法确定点的位置，属于中档题2 2X V1C:一 + 一= 1-19.已知椭圆/(a>B>。)的离心率为2,左顶点b与右焦点弓之间的距离为3.(I )求椭圆匚的标准方程；(n)设直线K=交x轴于点S,过弓且斜率不为0的直线I与椭圆匚相交于两点M.N连接眄BN并延长分别与直线K =

23、 t交于两点P,Q,若士PF.户一 KQS ,求点'的坐标.22x y+ = 1【答案】(I) 4 m (n)6°)【解析】(I)根据椭圆的离心率和左顶点到右焦点的距离列方程组，求得石工的值，结合二+求得卜的值，由此求得椭圆的标准方程 .(ii)设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去X并化简，写出韦达定理.根据由氏M尸三点共线以及由B，N,Q三点共线求得P,Qn£PF Q =一一 一2->F P F 0 = 0t两点的纵坐标，根据题意得到之，将已知条件代入22，化简后可求得的值，求得s的坐标.【详解】C 1(I )由题意可知 a 2且a解得 a = 2, c =

24、 i.所以22X V + = 1 所以椭圆的方程是4 3.(n)设m,n的坐标分别为11， ''，直线I的方程为M = my + 1.将直线方程与椭圆方程联立，得22(3m + 4)y + 6my -9 = 0 .-6m- 9所以3m +4，3 m +4.设好两点的坐标分别为七+)43¥& ,y/t + 2)由BMP三点共线,得: - V = t + 2 x + 2° x +21,从而 i ;Vq V2由BNQ三点共线，得t + 2 x. + 22 ,y2(t + 2)从而“E上PF, 5 = £FQS因为 2 之，所以n£PFQ

25、-22¥# + 2)=0/+ 22 ,Viit + 2) -(t-1.Kt-V所以F尸匠。，即x1 + 22 ym 2 (t-1) +(t + 2)=0(x. + 2)(x_ + 2)整理得X - E# + 1涡2 - E#2 + 12VV22（t -1） + -（t + 2） =0所以 e VVJ 3mM+V2） + 9（）.将， 代入（），整理得工12（t-1） -t + 2f = 04 .解之，得t = 4或30 （舍）.所以5点的坐标为（4 0）.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程及几何意义，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.a （ %-3闰户20.已知己为实数，数列瓦

26、,满足七 = nO卜七+ 4国产.（I）当"ON和"时，分别写出数列 但,的前5项；（n）证明：当"3时，存在正整数 ） 使得口 "-2;（出）当口"“时，是否存在实数占及正整数上使得数列瓦的前门项和 = 2。19?若存在，求出实数3及正整数门的值；若不存在，请说明理由.【答案】（I）见解析（n）见证明；（出）见解析【解析】（I）利用递推公式，依次计算出 如冉的值.（ii）当时，* + 1 = 4-3, 此时数列为递减的等差数列，且公差为T ,故总有一项是不大于 3的.根据这一项在（。，21，（2,3之间讨论，结合数列的递推公式，判断出正整数刀存在.（III ）将占分成3 =。,。<8<1闰=1三类，求得5rl的表达式，由此判断出不存在实数3正整数%使得Sn =2019 .【详解】（I）当白= 0,2时 = 02年二"？二。5aLm2%=02当27时电力户电=1.（n）当a>3时， +