常用数学模型及建模方法

1、第三章常用数学模型及建模方法3.1量纲分析与轮廓模型一.量与量纲1. 量及其度量10.模型所涉及的主要是量不是数20.量（物理量）可以分为：基本量：基础的，独立的量 :长度、质量、时间、30.导出量：由基本量通过自然规律导出的量:速度、加速度、力、量的度量体系 单位制：基本量及其度量单位40. 国际单位（ SI ）制基本量名称单位符号长度L米m质量M千克kg时间T秒s电流强度I安培A温度开尔文K光强J坎德拉cd物质的量 N摩尔mol导出量名称单位符号力牛顿N（kgms-2 ）能量焦耳J （ kgm2s-2 ）功率瓦特W（kgm2s-3 ）频率赫兹Hz（ s-1 ）压强帕斯卡Pa（kgm-1 s

2、-2 ）2. 量纲：10. 量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式Q=LMT IJN为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。称为量纲指数。例 . 长度 =L 、 质量 =M、 时间 =T 、 面积 =L 2 体积 =L3、 速度 =LT -1 ,加速度 =LT -2 、 力 =MLT-2, 能量 =ML2T-2 .注 1.物理量的量纲只依赖于基本量的选择，独立于单位的确定。2.对于某个物理量 Q,如果Q=LM T IJN，有 =0，则称之为无量纲量，记为Q=1 。它将不依赖于选定的基本量。3. 无量纲量不一定是无单位的量。 20. 量纲齐次法则一个物

3、理规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量纲量。例如 ,牛顿第二定律F=ma,F=MLT-2 ,ma=MLT-2满足量纲齐次法则的物理规律与这个规律所涉及的物理量的量纲单位的选择无关。二 . 量纲分析量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确定物理量之间的关系。例 1 建模描述单摆运动的周期问题：质量为m的小球系在长度为l的线的一端 ,铅垂悬挂。小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下做往复的周期运动。分析小球摆动周期的规律。假设： 1.平面运动，忽略地球自转；2. 忽略可能的磨擦力；3.忽略空气阻力；4. 忽略摆线的质量和变形

4、.分析建模10.列出有关的物理量运动周期 t ，摆线长 l ，摆球质量 m，重力加速度g ，振幅 x.20.写出量纲 : t=T， l=L， m=M， g=LT -2 ， x=1.30写出规律 : F(t, l, m, g, x)= 0.40.写出规律中加项的形式 :=ty1 ly2 m y3 gy4x y550.计算的量纲 : = Ty1Ly2 M y3 （ LT-2 ） y4= Ty1-2y4Ly2 + y4 M y360.应用量纲齐次原理: 由 =1，可得关于 yi （ i1, 2, 5）的方程组y1 2y 4 = 0y2+ y 4 = 0y3 = 0y5任意70. 解方程组 :解空间的

5、维数是二维。对自由变量 （ y4，y5）选取基底 （ 1，0）和（0，1）。关于 y1, y2, y 3求解方程组可得基础解系 (2, -1, 0, 1, 0)T, (0, 0, 0, 0, 1)T80.求:将方程的解代入加项的表达式，可得1 = t2l -1 g，2 = x .90.建模 :单摆运动的规律应为f (1,2)=0，解出1可得1 = k 1 ( 2) ，即有tk (x)l / g .0检验：周期与 质量 m10 .m=390gm=237gl = 276cm3.327s3.350sl = 226cm3.058s3.044s 周期与振幅 x (l=276cm, m=390g)x (度

6、 ) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62k (x) 6.346 6.346 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524可见： 当 x < 150时, k( x )2。 k(x)与 x有关。Buckingham定理 :物理量的函数关系F(x 1,x k) = 0是量纲齐次的 ,当且仅当它f(1, m) = 0kx jij可以表示成形式， 其中i， i=1,2, ,m < k,为 x j 的无j 1量纲乘积，即 i=1.在常微分方程 ( 丁同仁、李承治编 ) 书中，通过建立单摆方程d 2 xg sin

7、 x 0 讨dt 2l论单摆运动规律， 得到在初始条件： x (t 0)= x0,dx/dt(t0)=0 下，单摆振动周期T=T(x 0)满足规律 ,当 x0002(l/g)1/2当 x0时， T(x0)。时， T(x )三 . 量的比例关系与轮廓模型1. 量的比例关系 . 因为模型表达了不同量纲的量之间的转换规律，又由量纲分析原理可知 :不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。所以在同一模型中，若量x 1 和 x 2的量纲分别为 x1=X和 x 2 = X，则一定有x1=k x 2/举例例 1.正立方体： 棱长 l 0=a，底面周长 l1 = 4a，底面对角线长 l 22a ，对角线长 l3

8、3a ；表面积 S 1 = 6a 2，底面面积 S 2 = a 2， 对角面面积S2a2 ；体积 V 1= a3，四棱锥体积 V 2 = a 3/32结论：在简单的几何体中，22相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；SiL j即有 Si= k 1L j相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；VL3即有 V = k L3jjii2相应部位的体积与相应部位面积的3/2 次方呈正比； ViS j 3/2 即有 Vi= k 3Sj 3/2 。长方体：棱长 (a, b, c)，总棱长 L1=4(a+b+c),底面周长 L 2 =2(a+b),对角线长 l3a2b2c2表面积 S 1=2(ab+bc

9、+ca),底面面积 S 2= ab,体积 V 1=abc,四棱锥体积 V 2=1/3 abc.若长方体 II有棱长 (a*, b*, c*),且 a*/a = b*/b = c*/c = m.则有 L1*= mL 1, L 2*=mL2, L 3*= mL 3; S 1*= m 2S1, S 2*= m 2S2; V 1*= m 3V1, V 2*= m 3V2.22333/23/2233/2于是可得Si */L k * =Si /L k ; Vi */L k* =Vi / Lk ; Vi */S k *=Vi /S k. 即得 S=k 1L , V=k2L ,V=k 3S.结论：在相似的几何

10、体中，2，相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；S iL j相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；V iL j33/2 。相应部位的体积与相应部位面积的3/2 次方呈正比； ViS j同样的结论对抽象几何体一般也成立例 2.生活中的长度、面积和体积。10.纽约黑鲈的体重W和体长 LW(ozs)1716172326274149L(in)12.5012.6312.6314.1314.5014.5017.2517.75L319532015201528213049304951335592W/L3.0087.0079 .0084 .008 .0085.0089 .008.0088黑鲈鱼的体重与体

11、长关系20. 人的体重 W和身高 LW(kg)1217223548546675L(cm)86108116135155167178185L3(10 3cm3) 636126015602460372446575640 6332W/L3.0189.0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .0117 .0118人的体重 W和身高 L 关系30蜥蜴的体长与体重小蜥蜴体长 15cm,体重为 15g,当它长到 20cm长时体重为多少 ? (20g, 25g, 35g, 40g)以上的例子表明，不少的动物的体重w 与体长 l的立方呈正比 ,即 wl 3.自然界中还存在其它情况。40老虎的身长

12、（不含头尾）与体重注意到老虎身体的躯干明显下垂。视老虎的躯干为长度为l ，直径为 d，截面面积为s 的圆柱体。设老虎体重为w 。由弹性力学的研究结果知，动物在自身体重w作用下躯干的最大下垂度bwl 3/(sd 2) 。因为 wsl,所以 b/l32称 b/l为躯干的相对下垂度，它应视为与动物尺寸l /d .无关的常数。于是l3d 2,再考虑到 wsl,sd 2,结果得到 wl 4.2. 轮廓模型直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。例 3.商品的包装与成本商 品价格含量单价价格含量单价高露洁牙膏15.7 元 190g 8.3元 /100g5.8元60g9.7元 /100

13、g诗芬洗发液35.9元 400ml 9元/100ml23.1元200ml 11.5元/100ml富丽饼干8.8元 450g 1.9元 /100g3.0元150g2元 /100g奇宝饼5.9元 250g 2.3元 /100g4.3元150g2.87元/100g建模分析为什么小包装的商品比大包装的要贵一些?假设 :10. 包装只计装包工时和包装材料。20. 不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。30. 不同规格的商品装包时工作效率相同。40. 不考虑利润及其他因素对商品价格的影响。参量与变量W:每件商品净重（产品的含量）, C(W): 每件商品的总成本 , A:每件

14、商品中产品的成本 ,B : 每件商品装包工时投入, B :每件商品包装材料成本， S:包装材料用量 ,12c(W): 商品单位重量的平均成本 .= a 2W, B 2 = a 3S = a 4w2/3 ，分析：C(W)=A+B1 + B 2 A = a1W, B1122/3， c(W) = k1+ k2 -1/3模型： C(W)= k W + k WW应用于价格预测：康尔乃奶粉32.4元 400g; 67.1元 900g.4 k1+42/3k2= 32.49 k1+92/3k2= 67.1解得 : k1 = 5.3791, k2 = 4.31922/3 .模型 : C(W)=5.3791 W

15、+ 4.3192 W预测 : W=1800, C(W) = 126.49.W=2500, C(W) = 154.36检验 : 实际 W=1800, C(W)=115.9, W=2500, C(W)=146.85可赛矿泉水： 1.70 元0.6 升； 2.20元1.0 升0.6 k1+ 0.62/3 k2= 1.71.0 k1+1.0 2/3 k 2= 2.2解得： k1 = -1.21， k 2 = 3.41模型 : C(W)=-1.21W + 3.41W2/3 .预测： W=1.5， C(W)= 2.65检验 : 实际 W=1.5,C(W)= 3.45分析10.轮廓模型不宜于预报新商品的价格

16、(?)20.成本的降低率 r(W)=|dc/dw| = 1/3 k30.支出的节省率 S(W) = W r(W) = 1/3 k-4/32W是商品量的减函数.-1/32W也是商品量的减函数.购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！例 4. 划艇比赛的成绩问题 1. 划艇按艇上桨手的人数分为单人、双人、四人和八人艇四种，赛程2000m, 称划行时间为比赛成绩。试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上运动员人数的关系。假设：10. 艇身相似，艇重 U 与桨手人数 n呈正比。0运动员体重 W 相等，每人输出功率P 不变,且与体重 W 呈正比。2 .30.艇速 v 定常，阻力 F 与 Sv 2

17、呈正比， S 为浸没面积。参量、变量n: 人数， W: 体重， P: 输出功率 ,U: 艇重， v: 艇速， F: 划艇受到的阻力， S: 浸没面积 ,V：排水体积， D: 比赛距离， T:比赛成绩 ( 时间 ).分析：由假设可知 U=k3 n， P=k 1W, F=k 2Sv2. 由物理知识可知 , 桨手输出的功完全用于划艇克服阻力产生定常的速度。因此有n P = k 4 F v ，则 k 1 n W = k 4k2 S v3。于是得到速度模型 v = k9 (nW/S)1/3 .由阿基米德原理可知划艇排水的体积V 与载人艇的总重量呈正比 ,V = k (U+nW) = nk5(k +W)

18、= k n。536浸没面积与排水体积关系为S=k 7V2/3 =k 8n2/3 。代入速度模型，可得v=k 9(nW/n 2/3 ) 1/3 =k10n1/9最后得到比赛成绩的模型T=D/v=k n -1/9 .检验：划艇四次比赛的成绩种类 成绩 (划 2000米时间 (分)平均单人 7.167.257.287.177.215双人 6.876.946.956.776.8775四人 6.336.426.486.136.34八人 5.875.925.825.735.835-0.104 。模型相当准确。根据这些数据，利用最小二乘法拟合可得T = 7.29 n问题 2.如果八人艇分为重量级组和轻量级组，规定重量级组运动员体量为86 公斤