线性代数复习计划

1、线性代数复习1、 基本概念行列式、矩阵的乘法、逆矩阵、矩阵的秩、线性相关性、极大线性无关组、基础解系、解线性方程组、特征值和特征向量、相似及相似对角化、二次型及标准型二、基本方法1.求行列式的方法：定义法、化三角型法、按行列展开法（2017秋，8分）计算行列式.解： 4分 8分（2016春，8分）计算阶行列式（）.解:由行列式定义2. 矩阵的乘法： 矩阵乘法注意事项 (?) () (×)三个逆序原则 3.求逆矩阵的方法：定义法；伴随矩阵法；初等变换法（2017秋，10分）设，矩阵满足,求.解：由得， 5分而， 8分对此矩阵进行初等行变换得： 10分（学生问）设均为n阶可逆矩阵，则(

2、)A. B. C. D.解 由逆矩阵的定义可知，由于,所以答案D正确.（定义法求逆）（学生问）设为矩阵，且，证明，并求解 由于,即,所以可逆，且（定义法求逆）4. 线性相关判断方法: 直观法；定义法有非零解；定理法设为个向量组成的向量组，则下列哪些说法是正确的（ ）A. 若不能由线性表示，则线性无关；B. 线性相关，且存在不全为0的数使得 ，则不能由线性表示；C. 线性相关，则其中任一向量均可由其余向量线性表示；D. 线性无关，则任一向量均不可由其余向量线性表示；E. 线性相关，且不能由线性表示，则线性相关.（2017春，10分）设向量组，求此向量组的秩及一个极大线性无关组，并将其余向量用这个

3、极大线性无关组线性表示解 .4分则，从而， .6分为该向量组的一个极大线性无关组， . 8分并且，. . 10分5. 线性方程组的基础解系：设齐次线性方程组有非零解，则解集中最大线性无关的解即为基础解系（三个条件：个数为，解，线性无关）（2017秋，14分）已知线性方程组（1）常数取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解解法一：对增广矩阵实施初等行变换，得： 4分 （1）当且时，方程组有唯一解; 7分 当时，,方程组无解; 10分 当时，,方程组有无穷多解 12分（2）当时， ，即得通解（为任意常数） 14分解法二方程组系数行列式，以下讨论同解法一6.

4、 特征值和特征向量特征值求法：定义法 则为特征值，为对应的特征向量. 特征方程法 特征值性质：（2016春，8分）设矩阵的一个特征值为，求.解：，所以.（学生问，同步辅导P71例6，答案有误）设为二阶矩阵，为线性无关的2维列向则的非零特征值为_.解 （方法一）由于所以又为线性无关，故为特征向量，对应的非零特征值为2.（方法二）因为,记为可逆矩阵，所以,有与相似，特征值相同为0和2.（学生问）已知为3阶矩阵的伴随矩阵，满足则解 由 得得得又,对应的特征值为，将分别代入得，故答案为8.7. n阶方阵A相似对角化的判断方法：（充要条件）n个线性无关的特征向量 （充分条件）n个特征值不同 （充分条件）

5、A为实对称矩阵（2017春，8分）设为三阶实对称矩阵，特征值是，而和的特征向量分别是， （1） 求的值；（2）求矩阵及证 （1）由得； 2分（2） 此时，. 设所对应的特征向量为，根据及得方程组为，可取 3分令 ， 4分则有，从而 6分.8分8. 二次型及标准化（2017秋大一，15分）已知二次型经过正交变换后化为，其中,（1）求的值；（2）求正交矩阵解：（1）二次型的矩阵为因为用正交变换化为标准型，所以与其标准型对应的矩阵相似，而相似矩阵的行列式相同，即由有，或由得 5分 （或trA=trB）（2） 此时对于的特征根，.7分对于特征根，解得特征向量为， 将单位化，得9分 对于特征根，解得特征向量为，11分将正交化：取， ，再将单位化，得， 13分将构成正交矩阵，有 15分（2018春，14分）已知二次型的秩为2（1）求的值；（2）求化二次型为标准形的正交变换，并指出方程表示何种二次曲面解 （1）二次型的矩阵为，因为，则，解得.（2）的特征多项式为，故的特征值是当时，解齐次线性方程组，由，得基础解系因为与已正交，故只需将单位化，得当时，解齐次线性方程组，由，得基础解系单位化得，取正交矩阵，作正交变换为，并将二次型化为标准形显然方程表示圆柱面三、其他1. 线性相关性、线性表示、极大无关组、解线性方程组是否线性相关有无非零解有无非零解的