三角形培优训练题集锦

1、三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线

2、，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识

3、解答。1、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.4、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由5、如图，中，AB=2AC

4、，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC.6、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC。 7、如图，已知在ABC内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP8、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 9、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC10、11、 AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.12、已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，

5、取EC的中点M，联结BM和DM（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ； （2）将图1中的ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 13、如图，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD14、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.15、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解

6、答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。OPAMNEBCDFACEFBD图图图16、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. _N_M_E_F_D_C_B_A17、D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE

7、=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。18、 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长。19、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）20、已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45°时,求AB及PD的长;(

8、2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.21、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）22、如图2

9、-7-1，ABC和DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。求证： AE=BD; CF=CG.23、如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MNMD，BN平分CBE。求证：MD=MN。24、如图2-7-3，ABC中，ABC=2C，BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC25、如图2-7-4，ABC中，AC>AB，AD平分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PBAC-AB。26、如图2-7-5，从等腰RtABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。求证：CDF=ADE。27、在ABC中，ACB9

10、0°，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E. （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADCCEB；DEADBE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DEADBE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。28、已知：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60º角的顶点E在BC上滑动，（点E不与B、C重合），斜边和ACM的平分线CF交于点F（1）如图（1）当点E在BC边中点位置时 1) 猜想AE与EF满足的数量关系是 。

11、 2) 连结点E与边得中点，猜想和满足的数量关系是3) 请证明你的上述猜想（）如图（）当点在边得任意位置时：此时和有怎样的数量关系，并说明你的理由？E29、已知AC平分MAN，MAN=120º，（1）在图（1）中，若ABC=ADC=90º，求证：AB+AD=AC 。（2）在图（2）中，若MAN=120º，ABC+ADC=180º，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？30、如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接（1）延长交于点（如图2），求证：；求证：；（2）若直线绕点旋转到图3的

12、位置时，点在直线的同侧，其它条件不变.此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断还成立吗？不必说明理由.题图1题图2题图331、如图1，已知正方形的边在正方形的边上，连接（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 32、已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h。 “若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0,可得结论h

13、1+h2+h3h”请直接应用上述信息解决下列问题： AEDCAMPBMAFEDPCBPDMCBFE当点P在ABC内（如图2）、点P在ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证33、在RtABC中，A90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FGBC交AB于G，求证：AEBGABCDEFG34、如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BCCBODAEBAODCE（1）求AEB的大小；（2）若OA

14、B固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.35、如图，图1等腰与等腰共点于，且，连结、，若、 求证：； 若将等腰绕点旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，与还相等吗？为什么? （请你用图2加以证明）36、如图1，中，点、是线段上两动点，且，于，交于点，直线交直线于.1 判断的形状，并说明理由.2 如图2，若点、是直线上两动点，其他条件不变，判断的形状，并说明理由.37、如图1，在等腰直角中，为的中点，为上一动点，在上，且满足，于. 求证： 如图2，点在的延长线上，其他条件不变，中的结论是否成立？ 在图3中画出当点在延长线上的情况，

15、并给出相应的证明； 还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.38、已知，如下图，BACBCA,BDCD,CEAB,求证：AE2AD。39、如图，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形。40、如图，在ABC中，点D、E在边BC上，CAEB，E是CD的中点，且AD平分BAE.ABCDE(1) 当BAC=90°时，求证：BD=AC.(2) 当BAC90°时，是否还有BDAC成立？若成立，请说明理由；若不能，也说明理由。41、已知：如图，中，于，平分，且于，与

16、相交于点是边的中点，连结与相交于点（1）求证：；（2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论42、如图（1），一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一起现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点（点也是中点）按顺时针方向旋转（1）如图（2），当与相交于点与相交于点时，通过观察或测量，的长度，猜想，满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺旋转到如图（3）所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点，线段的延长线与的延长线相交于点，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图1图2图343、如图1，的顶点在的边上（不与、重合），且，点为的中点，直线

17、交直线于点.（1） 猜想与的关系，并加以证明；（2） 当绕点旋转，其他条件不变，中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）44、如左图，中，一个直角三角板的直角顶点放在的中点处，绕点旋转，两直角边分别交于，交于.（1） 求证： ，（2） 如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交延长线于，交延长线于.中的结论是否正确？说明理由.45、如图，线段，点在的下方， 若，在的上方作，且，作，且，连接，取的中点，连接，试判断的形状并证明。3 若与不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。46、 如图1，等腰直角与等腰直角有

18、公共顶点，点、在同一条直线上，判断与的关系并加以证明. 如图2，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、不在同一条直线上.判断与的关系并加以证明.47、如图，与中，.与交于点. 判断与的数量关系并加以证明. 猜想与的关系并加以证明.48、如图，在中，是边上的中线，平分交于，于，分别交、于、。猜想与的数量关系并证明.49、如图1，锐角中，为边上一点，为直线上一点，连接、，使得. 猜想线段与的数量关系并证明； 如图2，若将“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由.50、如图，中，为边上一点，为射线上一点，且满足。请你在图中找出满足条件的点，并探究

19、与的关系.51、如图所示，D在AC上，ABC、ADE是等腰直角三角形，M是EC中点。（1）探究：线段MD、MB的关系，并加以证明；（2）把ADE绕点A逆时针旋转135°，其他条件不变，画出相应的图形，上述结论是否成立？（3）将ADE绕点A逆时针旋转任意角度后，其他条件不变，线段MD、MB的关系，并加以证明。52、如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由；图（2）MBEACDFGNNMBEACDFG图（1）（3）如图（

20、2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，FCN的大小是否总保持变53、 在ABC中，B=60°，AD，CE分别是BAC，BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你判别并写出FE与FD之间的数量关系；并证明你的结论54、如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AEDG于E，CFAE交DG于F请你经过观察、猜测线段FC、AE、EF之间是否存在一定的数量关系？若存在，证明你的结论；

21、若不存在，请说明理由55、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明56、已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形ABD和BCE连接AE、CD（如图），若MN分别为AE、CD的中点（1）求证：AM=CN；（2）求MBN的大小；57、已知在ABC中，BC=2AB, B=2C，求证：A=90°58、如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证：AC=BF。59、如图，已知ABC，AD是BC边上的

22、中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD。60、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD+BC，M是CD的中点，求证：AM、BM分别平分DAB和CBA。61、如图，在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点，DE与CF交与M点，连接AM,求证：AM=AD。62、（1）如图，B、C、E三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连接BD、AE分别交AC、DC于M、N点，且AE、BD交于P点，求APB的度数。（2）如果（1）题中的B、C、E三点不共线，其他条件不变，如上右图所示，求APB的度数。（3）如果（1）题中ABC与DCE都是等腰直角三角形时，其他条

23、件不变，如下图所示，求APB的度数。 （4）如果ACB与DCE都是以为顶角度数的等腰三角形时，其他条件不变，如上右图所示，求直线AE与直线BD夹角的度数。63、在ABC中， AB = AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以 AD为一边在 AD的右侧作ADE，使 AD = AE，ÐDAE =ÐBAC，连接CE（1） 如图 1，当点D在线段BC上，如果ÐBAC = 90°，则ÐBCE = 度；（2）设ÐBAC =a ，ÐBCE = b 如图 2，当点D在线段BC上移动，则a，b 之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D

24、在直线BC上移动，则a，b 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论64、正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF，求OF的长65、（1）如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，求AC长度的最小值。（2）如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45°，求BD的长66、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ABO和CDO均为等腰直角三角形, ÐAOB=

25、08;COD =90°若BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积 ADCOBEBOCDA 图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证OBEOAD, 从而得到的BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）IHGFABCDE请你回答：图2中BCE的面积等于 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、A

26、GFC、BCHI, 连接EG、FH、ID（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 图367、已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CHAB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足EDA=A，直线DE交直线CH于点F (1) 求证：BFAC； (2) 若AC边的中点为M，求证：； (3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论 68、在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点

27、顺时针旋转得到线段。 （1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数； （2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明； （3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。69、已知：如图，ABC中，AB=AC，CDAB于D。 求证：BAC=2DCB 70、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD，DMBC，垂足为M。 求证：M是BE的中点。71、已知：如图，ABC为等边三角形，延长BC到D

28、，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE。 求证：CE=DE.72、如图，ABC为等边三角形，且四边形ADFE的面积和BFC的面积相等，求DFB的度数。73、已知如图，在ABC中，ACB=90°，ADAB，且AD=AB，BEDC，AFAC，BE、AF交于点F。求证：CF是ACB的角平分线。74、如图，在中，、分别为边、的高，为的中点，于求证： 75、如图，点C在线段AB上，ADEB，AC=BE，AD=BC，CF平分DCE试探索CF与DE的位置关系，并说明理由76、（1）已知：P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度数。（2）已知：P为等边ABC内一点

29、，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数。（3）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，求BEQ周长的最小值。（4）如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若ABE是等边三角形，求的值。77、如图，ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB，BC，CA上的点，BD=CE，DEF=B （1）求证：BDECEF；（2）若A=40°，求EDF的度数78、如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形内一点，以BC为斜边作直角三角形BCE，又以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且EBF=90&

30、#176;，连结AF。ADCEBF（1）求证：AF=CE；（2）求证：AFEB；（3）若AB=，求点E到BC的距离。79、（1）已知：如图，在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60°，求证：AC=BD；APB=60度；（2）如图，在AOB和COD中，若OA=OB，OC=OD，AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_；（3）如图，在AOB和COD中，若OA=kOB，OC=kOD（k1），AOB=COD=，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为 80、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，B、C、G三点在一条直线

31、上，且边长分别为2和3，在BG上截取GP2，连结AP、PF.（1）观察猜想AP与PF之间的大小关系，并说明理由.（2）图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过程；若不存在，请说明理由.（3）若把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积.81、如图，ABC与ADE都是等边三角形，连结BD、CE交点记为点F（1）BD与CE相等吗？请说明理由（2）你能求出BD与CE的夹角BFC的度数吗？（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连结BE、DG交点记为点M（如图）请直接

32、写出线段BE和DG之间的关系？82、正方形四边条边都相等，四个角都是如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：判断ADG与ABE是否全等，并说明理由；过点F作FHMN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：判断ADG与ABE是否全等，不需说明理由；过点F作FHMN，垂足为点H，已知GD4，求CFH的面积83、如图所示，在中，于点，求证：84、如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点

33、E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，当点D的对应点D落在ABC的角平分线上时，求DE的长85、已知：是的高，点在的延长线上，点在上，求证：；86、如图，在矩形中，为延长线上一点且，为的中点求证：87、（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG求证：EF=FG（2） 如图，等腰直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长88、如图，已知，且求证：是等腰三角形 89、如图，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC；DE=DN90、如图，ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正