弧、弦、圆心角的关系(2)

1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学目标1.使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2.使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这3.培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的 思想及由特殊到一般的认识规律|教学重点和难点圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点.教学过程设计圆是轴对称图形.圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题.今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性.1.动态演示，发现规律投影岀示图7-47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180。后.问：(

2、1)结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合.(2)这样的图形叫做什么图形？学生答：中心对称图形.投影岀示图7-48，并动态显示：00绕圆心O旋转180 .由学生观察后，归纳岀：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形投影继续演示如图7-49，让直径AB两个端点A, B绕圆心旋转30，45，90，让学 生观察发现什么结论？些关系解决有关问题;图7们、创设情景，引入新课得岀：不论绕圆心旋转多度，都能够和原来的图形重合.进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度a，你发现什么？学生答：仍然与原来的图表重合.于是由学生归纳总结，得岀圆所特有的性质： 圆的旋转不变性.即圆绕圆心旋转任意一个角度a，都能够与原来的图

3、形重合.2.圆心角，弦心距的概念我们在研究圆的旋转不变性时，00绕圆心O旋转任意角度a后，岀现一个角/AOB请同学们观察一下，这个角有什么特点 如图7-50.（如有条件可电脑闪动显示图形.）在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆 心上.在此基础上，教师给岀圆心角的定义，并板书顶点在圆心的角叫做圆心角再进一步观察，是/AOB所对的弧，连结AB,弦AB既是圆心角/AOB也是AB所对的弦.请同学们回忆，在学习垂径定理时， 常作的一条辅助线是什么？学生答：过圆心O作弦AB的垂线.在学生回答的基础上，教师指岀：点O到AB的垂直线段OM的长度,即圆心到弦的距离叫弦心距.如图7-51.（教师板

4、书定义）图7 51最后指岀：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对、大胆猜想，发现定理在图7-52中，再画一圆心角/A OB,如果/AOB=ZA OB,（变化显示两角相等）再作岀它们所对的弦AB,A B和弦的弦心距0M1-fOM，请大家大胆猜想，其余三组量沦B与理用，弦AB与A B,弦心距0M与OM的大小关系如何？教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明, 怎样证明呢？让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.I卜一请同学们想一想，你用什么方法让力出和重合呢？学生：旋转.I -I&_下面我们就来尝试利用旋

5、转变换的思想证明八把/AOB连同旋转，使OA与0A重合，电脑开始显示旋转过程，教师边演示边提问我们发现射线0B与射线0B也会重合，为什么？学生：因为/AOB=ZA OB,所以射线0B与射线0B重合.要证明与重合，关键在于点A与点A，点B与点B，是否分别重合.这两对点 分别重合吗？学生：重合.你能说明理由吗？学生：因为0A= OA,OB= OB,所以点A与点A重合，点B与点B，重合.当两段弧的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？学生：“与几重合，弦AB与A B重合，0M与OM重合.为什么0M也与0M重合呢？学生：根据垂线的唯一性.1*于是有结论：旳,AB=AB ,OM= OM.的弧、弦、弦

6、的弦心距之间的关系.（引出课题）学生很容易猜岀:初，AB=A B，OM= OM学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到，怎样证明弧相等呢？谢 r-52以上证明运用了圆的旋转不变性 文字叙述这个真命题.教师板书定理定理：在同圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相投影显示如图7-53，OO与OO为等 圆， /AOB=ZA O B,OM与O M分别为AB与AB的弦心距，请学生回答4山与r F：；，AB与A B，OM与O M还相等吗？为什么？在学生回答的基础上， 教师指岀： 以上三组量仍然相等， 因为两个等圆可以叠合成同 圆.(投影显示叠合过程)这样通过叠合，把等圆转化成了

7、同圆，教师把定理补充完整然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答:条件结论圆心角所对弧相等;在同圆或等圆中圆心角所对弦相等；圆心角相等圆心角所对弦的弦心距相等.定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得岀其余三组量相等请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法 最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论请学生归纳，教师板书.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等三、

8、巩固应用、变式练习例1判断题，下列说明正确吗？为什么？(1)如图7-54:因为/AOB=ZA OB， 所以4 乔.I - I、 在OO和OO中，如果弦AB= A B.那么 =119 7-&1.得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的教师引导学生补全定理内容0A分析：（1）、（2）都是不对的.在图7-54中，因为 和 不在同圆或等圆中，不能用 定理.对于（2）也缺少了等圆的条件.可让学生举反例说明.例2如图7-55，点P在OO上，点0在/EPF的角平分线上，/EPF的两边交OO于点A和B.求证：PA=PB.让学生先思考，再叙述思路，教师板书示范证明：作OML PA ONL PB垂

9、足为M, N./APO=ZBPOOMLPA.OM=ON . PA=PB.ONLPB把P点当做运动的点，将例2演变如下：变式1 （投影打岀）已知：如图7-56，点O在/EPF的平分线上,OO和/EPF的两边分别交于点A，B和C，D.求证：AB= CD.变式2（投影打岀）已知：如图7-57，OO的弦AB, CD相交于点P，ZAPO=ZCPO求证：AB= CD.由学生口述证题思路.说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可利用其它方法来 证，只不过前者较为简便.圏 757练习1已知：如图7-58，AD= BC.求证：AB= CD.师生共同分析后，学生练习，一学生上黑板板演变式练习

10、.已知：如图7-58,AD= BC求证：AB= CD.四、师生共同小结 教师提问：(1)这节课学习了哪些具体内容？(2)本节的定理和推论是用什么方法来证明的？(3)应注意哪些问题？在学生回答的基础上，教师总结.(1)这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形.得到圆的特性一一圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的 弦心距之间的关系定理及推论.这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据.(2)本节通过观察一猜想一论证的方法，从运动变化中发现规律，得岀定理及推论，同时 遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想(3)在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件|五、布置作业课本p.99.习题7.2.A组.1(1