初中数学辅助线添加技巧：旋转

1、初中数学辅助线添加技巧：旋转方法总结1 .旋转是中考压轴题中常见题型，在解这类题目时，什么时候需要构造旋转，怎么构 造旋转.下而，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋转180。，构造中心对称；遇90。，旋90。，造垂直：遇60。，旋60。，造等边：遇等腰，旋等腰.综上四点得到旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转.2.图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上是倒角.下面给出 旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一.如图1,若ZAOB = NCOD,必有ZAOC = /BOD,反之亦然.如图2,若NA = NO,必有NB = NC.倒角是在

2、初中数学学习中常用的名词，其意思是通过角之间的等量关系，得到我们所需 要的角度的关系的过程.典例精析例1. （1）如图1,边长为1的正方形ABCD,绕点A逆时针旋转30。到正方形AB'C'D', 图中我们阴影部分的面积是（）A. 1 .B.立 C一立 D. 13342（2）正方形ABCD在坐标系中的位置如图2所示，将正方形A8CD绕点D顺时针旋转 90。后，8点的坐标为 .D'图1解:(1) A： (2) (4, 0).点拨：本例第2小问是在平面直角坐标系中考查旋转变换的作图，是数形结合的完美体 现.首先要确定旋转中心是点。而不是坐标原点。，此处易出现错误，然后

3、利用平面直角 坐标系的特征确定正方形A8CO绕点D旋转90。后3的位置，这类题型常见于正方形网格中 的旋转作图.例2.如图，E、尸分别是正方形A5C。的边8C、OC上的点，且NE4F=45。，求证：EF=BE+DF.证明：延长C8到点G,使得8G=。e，连接AG.四边形ABC。是正方形，:.ZD = ZABG = 90AB = AD.:.AADFAABG .，AF = AG, ADAF = ZBAG .V NE4 尸= 45。，:.ZDAF + ZBAE = 45Q.A ZDAG + ZBAE = 45° ,即 NE4G = 450.9： AE = AE,：.ZXAFEAAGE .，

4、EF = EG = EB + BG = BE + DF .点拨：旋转图形可将分散的条件集中到一个图形中，从而可充分利用已知条件，找到有 效的解题方法.这种方法在正方形、正三角形以及其它正多边形中都有着广泛的应用.本题是旋转一个经典模型（半角模型），其中结论较多.例3.如图，以/$（7的边AC、A8为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACEG和 正方形ABDE,连接EC交AB于点，连接BG交CE于点M,求证：BGA.CE.证明：四边A8O£ AbG是正方形，:.AE = AB,AC = AG,ZEAB = NG4c = 90° .:.ZEAB + ZBAC = ZGAC + A

5、BAC .：.NE4C = ZGAB .，AE4C =AGAB .:.ZAEC = ZABG .V ZAEC + ZAHE = 90°, ZAHE = ZBHM ,:.ZABG + NBHM = 90° .:./EMB = 90° .:.BGLCE.点拨：本题旋转的基本模型，充分体现了利用旋转全等解题，本题是以aABC为基本, 以其两边分别向外构造正方形，构成旋转全等（其中用到了8字倒角），和其类似的还可以 构造正三角形以及正五边形.例4.如图，在等腰A8C中，AB = AC,ZABC = a ,在四边形5OEC中，DB=DE,/BDE = 2a, M为CE的中点

6、,连接AM、DM.(1)在图中画出£加 关于点M成中心对称的图形;(2)求证：AM LDM ；(3)当夕=时，AM = DM .解：(2)在(1)中连接A。、AF.由（1）中的中心对称可知，OEMdFCW,:.DE = FC = BD.DM = FM"EM = /FCM ,V /BDE = 2a ,：.ZABD = ZABC + /CBD=a + 360。一 /BDE /DEM 一 /BCE=360。- a NDEM 一 /BCE .,: ZACF = 36O0-ZAC£-ZFCM=36O0-a-ZBCE-ZFGW >:.ZABD = ZACF .,: AB

7、 = AC,：.AABD =AACF .:.AD = AF.V DM = FM ,：.AM LDM .（3） a = 45°.V AB = AC. AD = AF.BAC = ZDAF,:.ZADF = ZABC = a .若AM = DM，则AQM为等腰直角三角形，即ZADM =45° ,/. a = 45°点拨：本题中第（1）问已经作出了中心对称图形，所以利用中心对称证全等的思路很 清晰.本题的难点是利用周角和四边形的内角和为的有关知识倒角.初中几何常用的倒角是 平行线的三线八角、对顶角、等边对等角等.例5.已知:在ABC中，BC=a, AC=h,以AB为边作

8、等边三角形A5D.探究下列问题：（1）如图1,当点。与点C位于直线AB的两侧时，“a=3,且NACN60。，则 CD=；（2）如图2,当点D与点C位于直线AB的同恻时，“4=6,且NAC8=90°,则 CD=；<3）如图3,当NAC8变化，且点。与点。位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及 相应的NAC8的度数.图1图2佟13(2) 3#-3&；(3)以点。为中心，将DBC逆时针旋转60。，则点3落在点A,点C落在点£联结AE,CE, :.CD=ED, NCOE=60。，AE=CB=u,.,.CDE为等边三角形，:.CE=CD.当点E、A、C不在一条直线上时，

9、W CD=CE<AE+AC=a+b；当点E、A、C在一条直线上时，CO有最大值，CD=CE=a+b：此时 Z CED= Z BCD= Z ECD=60Q,A NA C8= 120。，因此当NAC8=120。时，CO有最大值是a+从例6.已知NMAN, AC平分NM4M(1)在图 1 中，若NMAN=120。，NA8C=NAOC=90。，求证：A8+AO=AC：(2)在图2中，若NM4N=120。，NA3C+NAOC= 180。，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由：(3)在图 3 中：NMAN=60。，NA8C+NAOC=180。，则 A8+AO=AC：

10、若NMA2a (0°<a<180°) , NABC+NAOC= 180。，则 A8+AO=AC (用 含a的三角函数表示)，并给出证明.图1图2解：二证明：AC 平分NM4N, NM42120。，:.NC4B=NCAO=60。，V NA8C=NAOC=90。，:.NAC8=NACO=30。，:.A3 = AO =AC，2：.AB+AD=AC.(2)成立.证法一：如图，过点C分别作AM, AN的垂线，垂足分别为E, F,AC 平分 NMAM:.CE=CF,V ZABC+ NAOC=180。，ZADC+ ZCDE=180°,:.NCDE=NABC,V NC

11、ED=/CFB=90。,.CEDACFB,:ED=FB,：.AB+AD=AFBFAE-ED=AF+AE.由（1）知 AF+AE=AC,，A8+AD=AC,证法二：如图，在AN上截取AG=AC连接CG,V ZCAB=60°, AG=AC.，NAGC=60。，CG=AC=AG,V ZABC+ ZADC= 180°, ZABC+ ZCBG= 180%:.ZCBG=ZADC,AACBGACDA,:BG=AD,，A8+AD=AB+3G=AG=AC：(3)证明：由(2)知，ED=BF, AE=AF.AU在 RlZXAFC 中，cosNCAE = .ACWa /Fcos =，2 ACa:

12、.AF = AC>cos,2：.AB-AD=AFBF+AE-ED=AF+AE=2AF= 2ACcos-2把 a=60°,代入得 A8 + AO = Jl4C. 2cos 2点拨：在第（2）小题中，由题意可知，48 = 60。，有60。角就可把有关图形旋转60。, 所以我们作CE_LAM,CF_L4V的实质，就是将CB以顶点C为旋转中心顺时针旋转了 60°,从而构造了全等三角形，使此题有了解题思路.例7.如图1,。为正方形A8CD的中心，分别延长。4、0。到点F、E,使OP=2OA,OE=2OD.连接ER将绕点。逆时针旋转a角得到E0&（如图2）.（1）探究AE

13、i与8n的数量关系，并给予证明；（2）当a=30。时，求证：AAOEi为直角三角形.解：（1） AEi=BFi.证明：.。为正方形ABC。的中心，：OA=OD,9OF=2OA, 0E=20D,：.OE=OF,将EOF绕点O逆时针旋转a角得到EQFi，%=0A，： /FQB=/EQA, OA=OB,，AE尸BFi；（2）证明：取。田中点G,连接AG,丁 NA。=90。，a=30。，ZEiOA=90°-a=60°,OEi=2OA,：OA=OG,：.ZE OA= ZAGO=ZOAG=60Q,/.AG=GE,，ZGAEi=ZGEiA=30°,，NE】AO=90。，.AOE

14、为直角三角形.例8.如图，等腰梯形A8CQ中，AD/BC, AD=AB=CD=2, NC=60。，M是8C的中 点.<1）求证：MOC是等边三角形：（2）将MQC绕点M旋转，当（即M。）与AB交于一点E, MC即MC）同时与AO 交于一点F时，点、E, F和点A构成AEE.试探究AAEF的周长是否存在最小值.如果不 存在，请说明理由：如果存在，请计算出AEF周长的最小值.解:（1）证明：过点。作。尸_L8C,于点尸，过点A作AQ_L5c于点Q,V ZC=ZB=60°/. CP = BQ = AB, CP+BQ=AB又ADP。是矩形，AD=PQ,故 5c=2W,由已知，点M是BC

15、的中点，BM=CM=AD=AB=CD,即MQC中，CM=CD, ZC=60°,故MDC是等边三角形.（2）解：AAEF的周长存在最小值，理由如下：连接AM,由（1）平行四边形A8MO是菱形，AMAB, MAO和MC'。是等边三角形,ZBMA= Z BME+ ZAME=60Q 9 NEME=NAME+NAME=60。,l NBME=/AMF).在8ME 与 zMMF 中，BM=AM. NEBM=NFAM=60。,/.ABMEAAMF(ASA).：.BE=AF. ME=MFAE+AF=AE+BE=AB.NEME=NOMC=60。，故是等边三角形，EF=MF.VMF的最小值为点M到

16、AD的距离小,即EF的最小值是小.AEF =AE+AF+EF=AB+EF.A"的周长的最小值为2 + & .跟踪训练1 .如怪I,在ABC中,A8=AC,C = 90° ,点D是5。上的任意一点，探究：BD2 + CD2 与A的关系，并证明你的结论.2 .如图，P是等边A8C内一点，若AP=3, PB=4, PC=5,求NA/B的度数.3 .如图1,在Q4BC£中，AEJ_5c于点£, E恰为8C的中点，tan3 = 2.（1）求证：AD = AEt（2）如图2,点P在线段8E上，作EF工DP于点、F ,连结AF.求证：DF - EF = 6f

17、;（3）请你在图3中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF 垂直直线。P，垂足为点/，连结心.线段/与4；之间有怎样的数量关系？直接 写出你的结论.4 .请阅读下列材料：已知：如图（1）在RBABC中，ZBAC=90°, A8=A。，点。、E分别为线段8c上两 动点，若ND4E=45。.探究线段8。、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是： 把AEC绕点A顺时针旋转90。，得到A8E,连接使问题得到解决.请你参考小明 的思路探究并解决下列问题：<1）猜想80、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动

18、点。运动在线段C8延长线上时，如图（2）,其它条 件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明：（3）已知：如图（3）,等边三角形A3C中，点。、E在边A3上，且NOCE=30。，请 你找出一个条件，使线段AD.七8能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶 角的度数.图1图2图35 ,请阅读下列材料:问题：如图1,在菱形A8CQ和菱形3EFG中，点A B,七在同一条直线上，P是线段。尸的中点，连结尸G PC.若NABC = /BEF = 60>,探究尸G与PC的位置关系PGPC的值.小聪同学的思路是：延长GP交。C于点“，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：PG（1）写出上面问题中线段PG与尸C的位置关系及的值：PC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形8EEG的对角线8歹恰好与 菱形ABCQ的边A3在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在（1）中 得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.（3）若图1中乙48C = NBE尸=2。（0'< a <90 ）,将菱形班FG绕点8顺时针旋PG转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出土上的值（用含。的式子表示）.PC6 .在RtZ