初等数学研究程晓亮刘影版课后习题答案

1、初等数学研究程晓亮刘影版课后习题答案初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案第一章数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0 到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位，满足i? =7 ,和有序实数对(/) 一起组成一个复数a + bi .2 (略)3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像= 的方程有解，这样，正分数 就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩 充，自然数、零和正分数合在一起组成算

2、术数集.为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个 完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力 下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这 是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合4.及CO两两没有公共元素分别是非空有限集的基数，根据定义，若则存在非空有限集A',使得AnA'8;若cNd从而必存在非空有限集C',使得CnCO,所以(4uC)所以集

3、合A<jC的基数a+c大于集合的基数+ 4 ,所以c/ + c> + d.5 (1)解：按照自然数序数理论加法定义，5.3 = 5-2' =(5.2) + 5= 5 1+5 = 51 + 5 + 5= 5 + 5 + 5 = 15(2)解：按照自然数序数理论乘法定义5 + 3 = 5 + 2 =(5 + 2)= (5 + 1)'=(5 + 1)=(6 ) = 7 = 86证明：1。当“ =2时，命题成立.(反证法)2。假设九=攵时（攵 2 2）成立，即 > 0,i = 1,2,k,且 4+4+ %=L+a22 +- + aj.2 >ok当“ = Z +

4、1 时，由 a： >0/= 1,2,一 + 1，且 +/+4 +% =1得,一 +，_ + = 1,且>01 一 %+1 1 _ %+1 1 _ %+11 _ %+1/2/2/2由归纳假设，+'一+- >-,11 -%+" U -4+"1"aM k，*>，2 - （1 ）+% +,. + ”/+4+i 2+ 4+K要证 ""-十%之,即（k +1）（1%J2+Mk+ ":“， kk + =（k +1）2+12 - 2（k +1）04+1 +1 > 07证明：1。当 =8时，命题成立.（8 = 3

5、+ 5）2°设n = k（k>1,ke N）时命题成立.k角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮 票来支付.在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付A + 1角的邮票.在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付攵+ 1角的邮更尔 综合1。、2。，命题对于不小于8的所有自然数成立.8 证明：（1） /（2）=1,/（3）=3 = 1 + 2,/（4）= 6 = 1 + 2 + 3（2） /（n） = 1 + 24f（n-1） = n（n 1）21。当 =2,3,4时，命题成立.2。假设 =&（攵>

6、7次eN）时命题成立，即/k）=：2（2一1）.那么?=左+ 1时，原左2条直线有攵（攵-1）个交点.由条件知，第k+1条直线与原k条直线各有一个交点， 2且互不相同.故新增4个交点，所以攵+1）=攵）+攵=g（k+l）（k+l）l.综合1。、2。，命题对于不小于2的所有自然数成立.9举例：正整数集N上定义的整除关系，”满足半序关系.证明：（1）（自反性）任意的正整数x,总有xlx;（2）（反对称性）如果xly,ylx,那么x = y;(3)(传递性)如果xly,ylz,那么xlz.通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.10证明：设MqN,且le用若a e M,则4tM.若M丰N .令A

7、是所有不属于M的自然数组成的集合，则A是N的非空子集，按照最小数原理，A中有最小数，设为.由知 W1,于是存在自然数c，使。=，这样就有c<，所以ceM,但根据有c wM,这与。eM矛盾.所以M =N.11证明：(1)根据自然数减法定义有，4=。+ (一)"/ +(6*-")=。，两式相加得：a + d + c d) = b + (a-b) + c , 于是(4 + 4) + 9-4)= (。+ 0) + (一。)，若 ab = c d y 则 a + 4 = Z? + c若a + d = b + c,则a- = c 4(2) (a b) + (c d) + (b +

8、 d) = b + (a b) + d + (c-d) = a + c(3)先证(a b)c = ac be事实上，ill be + (a -b)c = b + (a b)Y = ac可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.由此,为 了证明(3),只要证明 a(c-d)- b(c -d)= (ac+bd) - ad + be),根据(1)上式就是4(。一") + 3"+儿)=。(。一,/) + (a + ”)于是只要证明ac + bc = be + ac显然，这个等式是成立的，所以(3)成立.12证明：(1)根据自然数除法定义有。=53/£ = c ,两式相乘，

9、得 b dad = /?<?,所以有：若 ad = be, WO =；若土 = , W>J ad = bed bb d b d(3) bd(- + -) = d(b - -) + b(d - -) = ad + bc ,根据除法定义，(2)成立.b d b d(4) bcl(-) = (b-)(d -) = ac,根据除法定义，(3)成立.b d b d13 证明：(ni + n ) = ( +?) = n +m = m + .14证明：设Vc/,beN,下，下面证明a = 4三种关系有且仅有一个成立.(1)先证明三个关系中至多有一个成立.假若它们中至少有两个成立，若令同时成立，则

10、存在使得：a = b + k =a + k 于是。a,与a = a矛盾.同理可证，任意两种关系均不能同时成立.(2)再证明三中关系中至少有一个成立.取定。，设用是使三个关系中至少有一个成立的所有人的集合，当 =1时, 若a = l,则成立；若aWl,则存在使得a = k = + k = b + k ,这 时成立.因此假若即三个关系中至少有一个成立."jav/?时，存在？ eN',使得。= a + ？，则=(a+ ?) = + ？，即 成立.'与a时，存在.k c N”,使得a =。+攵，若k = 1 ,就有a=Z? + l=；若 kwl ,就有/eN 且攵=r,使得

11、=。+ / =。+ / + 1=6+/,即。6 成 立.综上，b e M ,从而M=N，15 证明：n = nax + by) = nax + nby,a I n, ab I bn, ：. ab I bny , -： b n,ab I an,:, ab I anx：.ab I nax + nby = n J16 证明：因为ab + cd (ad+bc) = (b d)(a-c),H a-cab + cd , a c I ( 一 ”)( 一 c),所以 a c I aZ? + cd -(b- d)(a - c),即 a-c ad + be17证明：因为p，-l = (p-l)(pX+"

12、2+ p + l),而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而+1是奇数，于是 pP -1 =(P 1)(2s+ l),s e Z ,同理有 qq +1 = ( + l)(2r + l)J e Z，两式相力口： pP +g" =2(p l)(s + f+ l) = (p + q)(s + f + l),所以 p + gl(p/ +/).18解：因为3P+ 5q = 31,所以3P和5q必为一奇一偶.若3P为偶数，可验证质数 =23=5,则log, = log2=log2 - =-3 3g + 1“3x5 + 183g +13x2 + 1若5g为偶数，可验证质数 =7,

13、= 2 ,则Iog2<2= log2 -一-=0所以log2 J = -3或0.19证明：根据减法是加法的逆运算知，设。力是有理数，是这样一个数,它与的和等于4.即3) +。= 4.但是，我们有4 +() + = 4+() +力(力口法结合律)=a+0=a因此，4 + (-)这个确定的有理数，它与的和等于。，.二 a-b = a + (-Z?)乂如果差为戈，则有X + = 4,于是，两边同加(-)有:x + b + (-Z?) = a + (一。)x + h + (-/7) = a + (-)x = a + (-b)即差只能是 + (-)，定理得证.cc、T口Fl /比* 2a+ b b

14、-a 八 2a+ b ;2(a -b) 八20 证明：做差，一 =>0, -b =-<0.21证明：首先证明当且仅当事实上，若当xNO时，x = 且xN-y,即-;当xvO时,-x = N W y,有一y < x,且x vO W y，故一y < y .反之，-y<x<y y x > 0时，N = jv < y ;当 x v 0 时，y>-x = |x|.F 面来证明：时忖 <pz+b| < |a| +1/?|.事实上，对于。/显然有：一同 <a < p/|1/?| < /? < |/?|故有-刎+忖）&#

15、171; a + b 4回+耳由上面的讨论知，人+4引4+忖.另一方面，时=卜+。_耳4心+4+ |" = ,+”+网.故同 -<a+b< p| + 网.22证明：（反证法）设"幺其中M是正整数，不妨假定M互素, q取自然数用!乘下列级数表达式两边：” =1 + ；白+，+1! 2! 3!得：ne =川+!+( - 1)3 + +1 +1 11F -H + 1(71 + 1)(72 + 2)令 an = nl+nl+n(n - 1)3 + +1, bn =+ n + 1 (” + 1)5 + 2)于是+%则僦应为正整数，!”勺应为整数.但是(1 H1 + 1 n

16、 + 2 (九 + 2)(+ 3)(1 H+ ) = T n +1 H + 2 ( + 2)(/ +1)-因为 >1,故。VI,即么不可能是整数,产生矛盾,所以e是无理数.23证明：假设磔=2,(p,q) = 1,夕W 1 q两边次方得。=1，但是(PM)= l,所以("国")=1,/。1,所以i不是整数,这与已知条件矛盾, 所以后是无理数.24 证明：假设 log。= ',p e Z,q e N , q所以，="，因为(",") = 1,所以(”"M) = 1但是当<0时，上式明显不成立；当>0时，上式与(

17、"",)=1矛盾.所以， log“不是有理数，乂可以证明log.人是实数，所以log。是无理数.25证明：假设方程有有理数根x = 4(pm) = Im > 1 ,将x =已其代入方程，可得: qqpn =-q(alpnl +a2pn2q+ - + aiiq,'-1),由此可知q的任何素数因子厂必可整除"，因此r必可整除p,从而知r为与q的公因子，但是(p,q) = l,所以r=1, 所以4 = 1 ,这与夕>1矛盾.所以整系数代数方程/+4=0的任何非 整实根均为无理数.26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部.27证明：将三次本原单位根或

18、。2分别代入f(x)：f (6y) =+ 6y'n+2 +1 = co+co2 +1 = 0/(2) = (d>2)3/B+，+(苏产-2 +1 =fi/+=+l=。因U匕 f(x) WH (x - <w), (x - 2), ffij (x - 69) (x - ty2) = x2 + x +1 = 0所以，+x + l)l/(x)28证明(反证法)：若与的和是有理数。，即4+ 3.8 = 4,则。一3.8 =4.因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差。-3.8仍是有理数，与 是无理数矛盾，所以"与的和是无理数.29两个无理数的商可能是有理数.例如：也

19、是无理数，易证2&也是无理数，2晚c r二 2 £ ZV230不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如血-尤=0.31 解：由于 # = (x + >'/)4 = (x2 -y2+ 2xyi)2 = (x2 - y2)2 -4x2y2 +4(x2 -y2)xyi所以一是纯虚数的条件是(x2 - y2)2-4x2y2 = 0, 4(/ _ /)孙工0B|J x = (±1 ± V2)y, y W 032证明：设G是C的任一子域，Ci>R,且在G中方程Z? =-1有解z =。按照题意，要证明G =c.因为q qc,所以只需要证明G 3c.由j

20、eC, G±C,知jeC,依C的四则运算律，有于是，=/或，=一/.任取,由刃= x+yi,(x,y e R),知刃=工+田或勿=不一田乂由于x,y,/wG，而G是域，于是gG，因此gnc.第二章习题及答案X1 .设x>0,证明一一<ln(l+x)<x. + x证明取/(x) = ln(l + x),在(O,x)上有导数:(x) =一.利用微分中值定理1 + x广信)=/(x)-/(O)n(l + x)-ln(l+O)xx即 ln(l + x)=.又因 ln(l + x) =<< 1,因此有< ln(l + x)<x.1 + 41 + x l

21、 + J + x2 .若x,y,z均为实数，且x+y + z = 43 >0),/+ )3+ z2 求证: 22220<x<a,0<y<a,0<z<a. 333证明 由/+)3+(白一工一)，了=L5有/+(y-a)x + (y2 ay + Lj) = O.其判别 24,12式 A = (v-a)2 4()，-av + /)2 0 (因 xe R) .从而，3)，- lay « 0 即0 « y W 二432 2同理可证0W xW z <a.3 33 .设力,c表示一个三角形三边的长，求证： a2(h + c-a) + b2(

22、c + a-h) + c2(a + b-c) < 3abc.证明不失一般性，设aNbNc,令a = c + m,b = c + 、则7之之0.有3abc-a2(b + c-a)-b2(c + a-b)-c2(a + b-c)=a(a - h)(a - c) + b(b - c)(b-a) + c(c - a)(c - b)=(c + m)(m -n)m + (c + n)n(n -m) + cmn = (m - n)c(m 一 h) + (nr -，/) + cmn > 0./. a2(b + c-a) + b2(c + a-b) + c2(a + b-c) < 3abc.4

23、 .设 £ R,且+ y2KL 求证：x2+2xy-y2 <>/2.证明设/ +)，2=外，则由题设可知，囚<1,并可设工=丸8$夕工二丸由夕于是 x2 + 2xy - y2 = A2 (cos2 0 + 2 cos sin - sin2 0)=22(cos 20 + sin 20) = A2 -J2 sin(6 + ).4二 x2 + 2xy- y2 < V2.5 .已知时<1,问<1,求证借小L证明欲证丝2<i成立，只需(9!±产<1,即证(+)2<(1+岫尸. + ab + ab则只需(1 +帅)2( + 6)2

24、>0,也就是1 +。2/一。2 一从>0,即证(l-«2)(l-/r)>0.而同<1,何<1,所以(1一。2)(1 一62)>0成立 命题得证 “n116,若Zq=l(4>°)，求n(4+)之5 + 一)”. r-1/-ai证明N (，厂 + )/-7rT111124)+= % + + F HN(H + 1)一】|一 2“Z)生V-t -L11 1 1 1 /， ,、 1a + = a + + + + 2 ( +D 嗔 Vfp-37勺 U -&<J项以上诸式，当且仅当q=L(i = l,2,)是等号成立.诸式两端相乘得

25、 n,产痴”.4广(% T)(% +)& -) ( + 1)“产：, 11, 由已知汇q = 1可得/俨24一，()”之：-1 aa2.an111/1.11(%+一)(小 )(。+)-(-+1)”叭 % ,即 n(+)-(”+一)” q - a2 anV n2n n11 丹 % n等号当且仅当4 = “2 =. = ”“=!时成立.7.证明:函数/(x) = x/+工2 一工+1 >0.证明当xe(f,O)时，显然/(x)>0;(2)当xe(O,l)时，/(x) = x8 + x2(1 -x3) + (1 -x) >0;(3) xe l,+oo)时，f (x) = x

26、5(x? -1) + x(x-1) + 1 >0.综合(1), (2), (3)可知，可知/(x)恒正.8 .证明 若q 3 1。= 1,2,则 2"-1(4陷”.4 +1)之(1 + a)(1+42)"1 +。“)证明用数学归纳法证明如下：当 =1时，命题显然成立；假设命题对成立，我们来证明它对+ 1也成立，注意到q之=+1 +1 口(1 + 4)<(1 + +1) 2"-' (口 q +1) = 2"" (口 4 + 口 4 + c. + D+l/IH+1+1n=2 "叮+1 + （口4 + *） = 2（口q

27、 +1） + （口4 +1 -口4 -1 + + ”+i） /-Ir-l/-I/-IJ-1j-1+l+1+l=2"（JJq +1）一2"“（口4 +1 -口4 -%） i-i、】/-i+ln+l;i= 2"（n+1）-2,1口4（。.1一1）一（q-i 一1） = 2"（n+1）-2""（.- 1）口4 一1） i-lJ-1J-1Z-1/r+l42”（+ 1）.故命题对，?+1成立.n29 .设4 2 1。= 1,2,.,），求证口（1 +）之一（1 +。+%+. + %）. 证明" a -1" 一1"

28、一1n（l + q） = 2"n（l +一）22（l + zg）22（l + zj） /-/-12r.i 2j.i + 11n2n=2” -（/：+1+2（6/f -1） （i+z）, +itr+im10 .设x+y + z=。，求证：6（x3 + y3 + z3）<（x2 +y2 + 2）3.证明显然x=), = z = O是平凡情形,假定x，fz不全为零，不妨设x>O,yvO.由= -（x+y）,得 r + y + z? =3a>z.记I = 6（/ + / + 力2 = 54x2y2Z2 = 216 .国因. z222<H+N+z2<216= （2

29、r+2|）3.223再注意到 f + y2 =(x+y)2 - 2xy = z2 +2|x)?|,因而 2丁 +2同| =r +)? +z) 这 就是所要证的不等式.11 .己知。力为小于1的正数，求证：+b +-a） + b + yja + （1 b） + Q（T-a） + （1 b） N 25/2.证明 设Z =。+6也=(l-a)+bi,z3 =a + (-b)i,z4 =(1 一)+ (1b)i,则|zj =, 同=W-+2 ,同=J(1 -4)' +，,|41 = I。+(1-.)- + J(l-4)2 +(1一：)- -+同+同*+玄+ Z3+j|=|2 + 2i| = 2

30、点.yjci +b + J(1 -a) + b + J1 + (1b) + J(l a) +(1N 2-2.12 .设,Z?,ceR，求证：。"+匕"+。"之 +MZ/c"+(/方p/,其中 e N, p,g,r, 且 + “ + ), = n.证明 apbqcr =,r I m ai r n q" + rb" + pc"ran + pbn + qcn同理 < ，arbpcq <-.nn三式相加，即得 an +bn +cn > apbqcr+aqbrcp +arbpcq.13 .设a,b,c w /?*,求

31、证:a +l> +c >a2b+b2c+c2a.证明该不等式关于4步,C对称，不妨设则由左式一右式=a2 (a -b) + b2(h-c) + c2 (c - a) = a2 (a - b) + b“b - c) + c2 (c - b + b - a)= (a2 -c2)(a-b) + (b2 -c2)(b-c)>Q.故+ b3 +c3 > a2b + b2c + c2a.14 .已知 a > /? > 0,求证 y/a -y/b < Ija-b.证欲证勿一蛎<47二瓦由于a>0>o,所以正一四>o,标工>o,只要证。-

32、3研+ 3腼- b < ab,即要证表Fv垢7,由于质>0,只要证正返， 由于a>>0,此不等式显然成立.15 .若eH且|p|v2,不等式。0821)+1082工+1>21082工+恒成立，求实数工 的取值范围.解令log2X = ”,将不等式转化为：(一1) + /-24 + 1>0,令f (p) = (a - p + a2 - 2a +则/（p）0恒成立，等价于：（）" /（-2）0.2(4-1) + /-2« + 1>0,=>一 2( - 1) + / 2a +1 > 0.解不等式组得：。>3或avl =

33、x>8或Ovx<，.216 .设e是自然对数的底，乃是圆周率，求证/二证明因为叱一旦=坐：=（小卜匕也奴又当e时, 7T e X 1 Je X ） Je1 - In x 八 f71-Inx . n rrl. Ine ln/r. _“,，<0,所以；-dx < 0.因此，>,从而有e >尸.尸Je 厂67r17.当x为何值时，不等式4x2(1 Jl + 2x)v2x + 9成立解先将不等式分母有理化，有（1-3： 2小=（J及服乳后=（，+ '）2 =2 + 2X + 2'/T7因此原不等式同解于不等式组1+ 2x>0 <=>

34、%>-121- Jl + 2x wOoxwO2 + 2x + 2 Jl + 2x < 2x + 9解得45<=> x< 8-<x<Ka *0.28即原不等式的解集为 X ； X v 0 U,45x 0<x< ?.819.已知a 0且。W 1,解关于x的不等式logn（l-l）l. x解原不等式=log.（l）log°ax（1）当41时，原不等式>0,x-!.='<=>1->«<=><0<=><x<0.« 1xx1 -a、 x（2）当Ova

35、vl时，原不等式<=> 1 <x<t 11 - - <X1-6/20.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产 品都需要在A, B两种设备上加工，在每台A, B上加工一件甲所需工时分别为1时、2时， 加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A, B两种设备每月有效使用台时数分别为400和 500.如何安排生产可使收入最大解这个问题的数学模型是二元线性规划.设甲、乙两种产品的产量分别为件，约束条件是彳x + 2y <400,2x + y W 500,/，目标函数是x>0,J*f = 3x + 2y.要求出适当的x,y,使/=3

36、x + 2y取得最大值.例3图（该图来至高中数学课程标准，需重做）先要画出可行域，如图。考虑3x + 2y = a,a是参数，将它变形为y = X+色，这是22斜率为-上，随。变化的一族直线。色是直线在丁轴上截距，当3最大时。最大，当然直22.2线要与可行域相交，即在满足约束:条件时目标函数取得最大值.在这个问题中，使3x +2），取得最大值的（K y）是两直线2x + y = 500与x+2y = 400的交点（200,100）.因此，甲、乙两种产品的每月产时不时分别为200、100件时，可得最大收入800千元.21.个机器人在一条流水线上工作，加工后需送检验台，检验合格后再送下一道工序.

37、问检验台设置在流水线上什么位置时，才能使机器人送验时，才能使机器人所走距离之和 最短也即耗时最少解不妨设个机器人位于同一条数轴上，每个机器人所在的位置（点）的坐标为%。= 1,2,检验台所在之点的坐标为的坐标为x,那么机器人送验所走的距离之和为5() =|x -xj + |x X2| + |-V -| + .4-|x X4|(X 为实数)，S(X)何时最小为了探索问题的内在规律，不妨从简单的情形开始考虑.当 =2时，检验台放在这二个机器人之间的任何位置都一样.=3时，检验台放在第二个机器人所在点时最小.通过上述试验，当为奇数时，检验台应放在正中间的机器人所在的地点；当为偶 数时，检验台应放在最

38、中间两个机器人之间任何位置.22.已知函数/(x) = a/_3x + l对于总有/*)之0成立，求实数。的值.解 显然当时不成立，故a>0. /'(x) = 3ad3,令广(x) = 0,解得1=±9.f/(-D>o,当工=上时，/(x)取得极小值.xe1,1总有/(x)N 0成立等价于(1 即yja/(=) 0-< 从而。=4.« >4.23.已知/(x) = lg(x+l g(x) = 21g(2x + r) (f是实数).(1)当1=一1时，解不等式/(x)<g(x)；(2)如果xe0,1,恒成立，求参数，的取值范围.1 A&g

39、t; > 一,X>.92 则24x2 -5x>0. x<Ostr>x+1 >0,解 原不等式等价于(2X +。，即<X x> .4x+l<(2x-l)2./.x>-.所以原不等式的解集为<4x + 1 >0,(2)时，/(x)Wg(x)恒成立，即xe0,l时，有1>0,即x + 1 <(2x + r)2.x+1 >0,-t > -2x,恒成立，故 xe0,l时，r，-2x+Jx + 1 恒成立.t N -2x + Jx + L *于是问题转化成求函数y = -2x + J7ZT,x e 0J的最大值

40、.令"=Jx +1,则x = -1,” e1,y/2. RiJy = -2x + -Jx + = -2(m-)2 +在 48”,企上是减函数.故当 =1,即x = 0时，2x + J7ZT有最大值的取值范围是24.某工厂统计资料显示，一种产品次品率与日产量x(x e80< a < 100,单位：件)之间的关系如下表所示:日产量X808182 X 9899100次品率P128127126 P(x) 1 lo1918I"其中p(x) = (为常数).已知一件正品盈利女元，生产一件次品损失一元(Z为不定 一 x3常数).(1)求出，并将该厂的日盈利额y (元)表示为日

41、生产量x (件)的函数;(2)为获取最大盈利，该厂日生产量应定为多少解(1)根据列表数据，可得 = 108.p(x) = 一!一(80WxW100,xeN*).由题意, 108-x当日生产量为x时，次品数为 一!一x,正品数为108-x(1-)108-x108-J一!一 %,整理得y = !攵(3 108-x.3)x 108-x(80KxW100”N*).(2)令141 144108-x = f,xe8,28jeN：y = :;Z(108-1)(3 )=_k 328 3(1 + )1/7<-Z:(328-3x2xl2) = 144当且仅当，=,即，=12时取得最大盈利.此时x = 96.

42、 t25.设函数/(x) =.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若k>0,求不等式 x广(乃+女(1一幻/。)>0的解集.11X-1解 /(幻的定义域为(yO,0)U(0,+8),>'(X)= 七+ 6、d=/,令厂X厂尸(x) = 0,得 x = Lx<0 时，/'(x)v0,0vxvl 时，/'(x)v0, x>l 时，/V)>0./(%)的单调增区间是1,+8),单调减区间是(一8,0),(0,1.(2)由r(幻 + %(1 x)/(x)=('-二八 +1)4 >0,得一1)(一6+ 1)<0,故当 尸0

43、<攵<1时，解集是hlvxv,:；当攵=1时，解集是0;当女>1时，解集是K1 ,<x <x<>.k26.设函数/(工)=工卜一4 +4为常数且匕<2应一3,对于任意xw0,lJ(x)<0恒成立，求实数。的取值范围.解从去绝对值展开讨论.当时，X? ax+。<。对xe0恒成立，.<"一 a >l + b.a > 1,当aNl 时，一/+or + Z? V。对x£0,l恒成立，.*.< -1 </?< 2>/2-3,或u < 2 J“21,< /?<-1,a

44、 <-b.当 0 v a v 1 时，x? -ax + v 0 对 x e 0,1恒成立且 一/ +v 0 对 x e 0,1恒成立,0 < a < 1, I 0 < a v 1,f且，oa >+b. cr +4<0.Oca vl,即< a > 1+仇a <0,a > 1 + b.a > 1,或力< -1,a < -b.c+4/?<0.0 v a < L 或 < a > 1 + /?,a2+4/?<0.当Ovl 时化简可得l+va«0或0或IWovl-Z?或OWL 即 l +

45、vavl一;当一1W Z?«时化简可得 1 K。W 2或 1 + Z? W a v 1,即 1 + 匕 K a < 2口.4当一！< < 2 3时化简可得或0或0或0或1 + <a< 2口,即4 + b < u < 2>jb.27 .设。为实数，函数/。) = 2丁+(不一)打一4 .若/(0)之1,求。的取值范围；求/(x)的最小值.解(1)./(0) = -d_d2L一a>0,即。<0.由知。4一1,因此。的取值范国为(f ,一1. 记了的最小值为g(a).我们有a 2 2cr/ (x) = 2x2 +(x-a) |x

46、- a =,3(X) T,X>4,33(x + a)2 - la1 ,x<a.2当。2 0 时，/(-«) = -2a：.f(x) > 一2。2,此时 S(a) = -a2.当 a<0 时，/'(，) =二/.若x >，则 /'(x) = 3(x-±)2若 3333322则 x +vO,/(x) = (x + a)2 - 2a2 > 2a2 > 二片.此时 g(“)= /2a,a N 0,综上得，g(a) = < 2 , a，a <0.1328.已知函数f(x) = |x-l| + K中且不等式|a+b|

47、+k-耳4f(x)对工0,4人£/?恒成立，求实数x的取值范同解 由1+4+小一4之间f(x)且aWO得> /(x).又因为M+ 4，"=2,则只要2N/(x).解不等式,一1| 十 打一2|<2得1 5-<x<-.2 229 .已知实数a,"c,d满足。+ % +。+ 4 = 3,/+2/+3,2 + 6"2 =5,试求实数。的解 由柯西不等式得(2/+3c2+6"2)d + l + L)NS + c + ")2，即2 3 62b2 + 3/ + 6/之( +。+ “)2.由条件可得5-«2>

48、(3-«)2,解得13a«2,当且仅当丝=年=小时等号成立.当 = :，c = !，“=!时，"max =2；当8= l,c = |/ = : 时，amin = 1. 23 o33故所求实数。的取值范围是1,230 .已知函数/(x)(xeR)满足下列条件，对任意实数不都有4(王一七了(而 工2)/(为)一/()，|/(石)一/。2)|4|改一工2|，其中丸是大于0的常数，设实数小,4,6满足/(为)=0和人=4 “.(1)证明：并且不存在工。°,使得/(%) = 0;(2)证明：(b-a0)2<(1-外)3-a。)?；(3)证明：fb)<(

49、-A2)f2(a).证 任取芯,eR，苦¥工2,则由“演一次2/(为一)/(占)一/()及|/(七)一/®)|«归一引,可知(%1-%2)2 <( -X2)f(Xl)-f(X2)<xi -2|/()-/(2)|，从而 44L假设有 =4,使得f(b0) = 0,则由(1)式知0 < 43。一%)2 < (4%)"(%) /(%) = 0,产生矛盾.所以不存在瓦w%,使得/(%) = 0.证(2)由。=。一/1/(4), (3)可知(b-a0)' =a-a0 -Af(a) = (« 1/0)2 2A(a a()f(

50、a) + A2f(a). (4)由 f (%) = 0 和式,得(a -%)/(a) = (a-a0)f(a)-f(a0) > 2(«-a0)2, (5)由 /3°)=。和(2)式，得.尸()=/(。)一/(0)2«(4 %)2, (6)将(5) (6)代入 式得(A a() = (a g)- - 2A(a a()' + A(a a0) = ( A)(a a0)2.证(3)易知时，.J 一<叽1,4 «,4 1,故a-b4/< - W 4,1 4 K -(Z?)| < (1 -1 a = 此式也成立，则f(a) /(

51、71;)第三章习题及答案1.如果F（x）=，区）&（2）./（演）=0,那么方程/=0的解集等于下列各个方程：£"） = 0,%（x） = 0,.,/。）=0的解集的并集，其中每一个解都属于这攵个方程的定 义域的交集.解 设/"）的定义域为M J（x）的定义域=因为f（x）=工）力（、）/a），所以，2n.n%.又设尸（幻=0的交集为A再e A;工（x） = 0的解集为与（i = l,2，用.因为 e AqM,所以玉wMCm2n.n%.因为F（外）=0,于是有工（%）&（）人®）=°，这个等式的左端至少有一个因式等于零，这表明玉

52、equ与U-Ua.反之易证qu层u.u纥7A.式Zkq|A的解集为， r-l2 .设“ 。2。”，/（初一/，/。-00），当 Amax/（%）/= 1,2时，不等n n n证明因/（x）的图象在区间阿,4+（i = l,2,上都是线段，又A max/（«；）（/= 1,2n）,则在区间4,4+J上，/（x）的图象是一条射线ny = 一心 + Z 4，x 。，且当工一 一8 时，fM t 2,同理，f（x）在a, +s）上是一n条射线y = .一且x一”时，/（x）f . r-l从而函数y = £ k - aj的图象与直线y = A的交点只能是在（-s,% 与5”,+力）内

53、, r-l将丁 = A与y = -nx + Z4和y = -Z%,分别联立求得交点横坐标为x =/-Ia与工=上一 +二.由此命题得证. n n2,23 .解关于x的方程上一 =上一(其中4功为参数).2. 2解 原方程同解变形为：3=-(“-切(1)若一 =0,方程(1)的解为不等于 x0的任何实数；若。一00,但。+ 0 = 0, 方程(D的解为x = .则方程(1)无解；若。一工。，但。+ 工0,4.解方程解对原方程配方变形，有0 = 2x-2= *)-2 XX X)2.得,x”方程组同解于V x1 = o.解之取正值，得户¥5.求方程5/ + 6冲+ 2)3 - 14x-8)

54、，+10 = 0的所有实数解.解 将原方程拆项4/ + 4町 + y2 -12x-6y + x2 + 2xy + y2 -2x-2y + = 0.整理得 (2x + y)2 -6(2x + y) + (x+y)2 - 2(x + y) + l =0.配方得(2x + y-3)2+(x+y-l)2=0. (3)所以同解于方程组解之得 (x+y-1)2 =0.6 .在实数解关于x的方程：1=向7.解 方程有解必须42 0且XNO,此时方程同解于。一犬=而7.由a + x = yja + x + x, 有(Ja + x + x)( Ja + x - x 1) = 0. >ci + x + x

55、= 0 (1)或 yja + x =x + l (2) .>0,x>0,所以要使(1)有解，必须a = 0,x = 0.方程只有当。之1时有解：.=1 + *1综上所述，当0或0<4<1时,方程无解；当4=01忖,方程的解为工=0;当之1时，方程的解为x="严"27 .解方程4-k| = jY+4.解Jf+422, .4区22,解得一2<x<2.当0 « x < 2时，原方程可变形为(4- x)2 =(+4)2，即8x = 12,解得x =1I3当一24x<0时，原方程可变形为(4 + x)2=(JPTZ)2,即8x = -12,解得x =弓.28 .解方程：10gfl i/aA + logr y/aX + jog.行+】叫=。，其中。为实参数.解 要使原方程有意义，必须a>0,Wl,x>0,xWl.将原方程中的对数化成以。为底的对数，并整理得叵逅匚+叵土:?即V 41og.x 41og'x|1 + bg“ H + Mg” a U = 2a Jlo