南工大高数A2006

1、南京工业大学高等数学A试题（A ）卷（闭）2005-2006 学年第 二学期 时间2006.7.使用班级2005级本科（江浦）学院班级学号 姓名、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（A）（ 1）（ 2）都收敛（B） （1 ）发散，（2）收敛（C）（ 1）（2）都发散（D）（ 1）收敛，（2）发散答:（）（本大题分3小题，每小题3分,共9分）1、设则=(A)(B)(C)(D)答：（)2、设级数与级数，其敛散性的判定结果是3、设刀为球面x2+y2+z2=R2的下半球面下侧，则fdjrdv =（）、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分2小题，每小题3分，共6

2、分）1、某物质沿曲线 C:, 0Wt <1分布，其线密度为.2y，则它的质量 M可用定积分表示为 。2、设函数f （x, x+ y, xz）对各变元具有一阶连续偏导数，则grad f=。三、解答下列各题（本大题共6小题，总计36分）1、（本小题6分）设，求。2、（本小题6分）求函数的极值。3、（本小题6分）计算二重积分xydxdy其中D是由双曲线卢-一，直线y=x及x=2所围成的IlD区域。4、（本小题6分）求旋转抛物面在点处的切平面和法线方程。5、（本小题6分）求微分方程的通解。6、（本小题6分）的和。求级数四、解答下列各题（本大题分4小题，每小题8分，共32分）R为半径的圆周1、（本

3、小题8分）计算曲线积分I:型厂弩，其中L是以（1,0）为中心,l 9x y(R 1)，取逆时针方向。2、(本小题8分)在 内把展成以2为周期的正弦级数。0确定，求,x y3、(本小题8分)设函数z z(x, y)由方程F x , y y x14、（本小题8分）证明级数（1）n（ n下 1）收敛。1五、解答下列各题（本大题9分）计算I xdydz ydzdx zdxdy，其中刀是曲面z=x2+y2在0<z<1范围内在第一卦限部分曲 面的下侧。六、解答下列各题(本大题8分)求曲线AB : y f (x)0的方程，使曲线 y f (x)与两个坐标轴及过点(x，0) (x 0)的垂直于x轴

4、的直线所围成的曲边梯形，绕x轴旋转所形成的旋转体的4形心(即重心)的横坐标等于 一x.5南京工业大学高等数学A试题 （A ）卷试题标准答案2006.72005 -2006学年第二学期使用班级2005级本科（江浦）注：各主观题答案中每步得分是标准得分,第N步实际得分=本题实际得分实际得分应按下式换算：解答第N步标准得分解答总标准得分（本大题共9分）二、（本大题共6分）124t .1 t2 t4dt0fl+f2+zf3, f2，Xf3。三、解答下列各题（本大题共6小题，总计36分）（本小题6分）zxx22 In 2 2xy(5分)Zy2 23y 2xy ( 10 分)（本小题6分）由D(1,Zx2

5、x 2y3y2 2x010，得驻点1 1亍3 ,(1, 1)占八、zxxzxy22zyxzyy26y1)80,Zxx(1Zy12y4 D1) 2 01 13 3非极值点。函数z 在点（1, 1）处取极小值z（1,1)1。10 分3、（本小题6分）原式-104、（本小题6分）对应的切平面法向量n 4,2, 14, 2,1(5分)切平面方程1554（x1）2（y y （z ）0 或4X 2y Z 20 io25、（本小题6分）特征方程r r0的根为：r10，D对应的齐次方程的通解为ycCiC2e（5分）设特解为ypx（Ax2BX C），代入方程得ypx（2x232x 1）（8 分）故所求通解为yy

6、c ypC16、（本小题6分）Unn1n 1 !n!Snu1u2C2e x2 3 x32x2 x1n 1 !111 1Un 1!2!2!3!（10 分）（4分）1 1 n! （n 1）!1（n 1）!（7分）lim Sn1n，即级数的和为1。（10 分）另：本题也可用构造幕级数求和函数进行求解。四、解答下列各题（本大题分4小题，每小题8分，共32分）P1、本小题8分）解：令9x七,Q（i）当 R1时，设圆(x1)2R2y2 9x2 (9?Qx (x,y)(0,0)xdy ydx2yL 9x2在圆(x1)2r cos内区域为D，此时（0,0）D，则由格林公式有)dxdy 0 y2 2y R内点(

7、0,0)处，yx无意义，作曲线C :3r s inr 0且足够小，使C整个含在曲线L中，C取顺时针方向。在L与C所围的环型域L9x22y l c“ Qp、,()dxdyxy223o3内，由复连通区域的格林公式有D0C0 3r2 coS22xdy ydx I3r2 sin29r210分2、（本小题8分）在（10）内对f（x）作奇开拓，令f(x)1, 1x 0,则f(x)的Fourier系数an0,n0,1,2,3分1212,八 nbn2 sin xdxcos n x1 ( 1)0n0n7分4b2n0,b2n 1n 1,2,3,因此，(2n1)c、f (x)14sin (2 n1) x故在（01）

8、内，n 12n110分F x3、（本小题8分）解法一 公式法 令-,y - f(x,y,z)fxF1 F2z2 x,fyF1z2yzfxF1z2 xF2xfz-F11F2因此，yxyx则11F2,fz F1 F2yx6分z£2F1F2zfyyyfz-F1-F2yx。10 分解法二直接法F x在方程z-,yy0的两边同时对x求偏导数得FiF2ZxXz2x解得同理，方程两边对4、（本小题8分）lim unnf(x)令Fix11-F1F2yx；y求偏导数，解得令Un1nn1，则Un¥F2y1 1F1F2y10分丄lnnen1满足:1In nlim( enn1)哑 f(x)x1 I

9、n x2x0 (x3)故f（X）单调递减，所以当n 3, Un单调递减,所以根据莱布尼兹判别法知原级数收敛。10分五、解答下列各题（本大题9分）解法一曲面在yOz平面和xOy平面上的投影区域分别为2Dyz：0 y 1,y z1； Dxy : x21,x 0, y 0o由轮换对称性有ydzdxxdydzy2dydz1 10dy yy2dz30(1 y2)2dyzdxdy(x2 y2)dxdyDxyxdydz ydzdx02dzdxdy3d10分解法二用高斯公式计算补充曲面“ 21 : z 1,x1,x 0,y0，取上侧;0,0y 1,y2 z 1后侧；3: y0,0x 1,x21，取左侧。则 与13构成一封闭曲面的外侧,设所围区域为，显然在2和3的曲面积分为0。则由高斯公式有I1xdydz ydzdx zdxdy23xdydz ydzdx1zdxdy3dvzdxdy16分1z3dzQ o044848 o10分六、解答下列各题（本大题8分