正弦定理课件ppt

1、第一章第一章: :解三角形解三角形 1.问题的引入问题的引入: .(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月明月 高悬高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐想会有无限遐想,不禁会问不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样科学家们是怎样 测出来的呢？测出来的呢？(2)设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸, 只给你米尺和量角只给你米尺和量角设备设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗不过河你可以测出它们之间的距离吗?我们这一节所学习的内容就是解决这些问题我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具的有力工具.A.B.Ca回忆

2、一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系? ABCcbasinacA 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？sinsinabcAB sin1C sinsinsinabcABC 思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?2.定理的推导定理的推导1.1.1 正弦定理正弦定理sinbcB (1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?ABC D如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐三角形的定义三角形的定义,得到得到.sinsinbcAEBCBC同同理理, 作, 作有有 sinsinsinabcABC 1.1.1 正

3、弦定理正弦定理sin ,sinCD aBCD bA sinsinaB bA 所所以以 sinsinabAB 得得到到 BACabcE(2)当当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立以上等式是否仍然成立?ABCBACbca1.1.1 正弦定理正弦定理D（1 1）文字叙述文字叙述正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等的正弦的比相等. .（2）结构特点结构特点（3 3）方程的观点）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个正弦定理实际上是已知其中三个, ,求另一个求另一个. .能否运用向量的方法来证明正弦定理呢能否运用向量的方法来证

4、明正弦定理呢?和谐美、对称美和谐美、对称美. .正弦定理正弦定理:CcBbAasinsinsin 在锐角三角形中在锐角三角形中. 的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法则由向量加法的三角形法则ABCBAC ABjCBjACjABjCBACjj 得得的的数数量量积积两两边边同同取取与与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj 定定义义）（根根据据向向量量的的数数量量积积的的CcAaAcCasinsinsinsin 即即在在锐锐角角三三角角形形中中，可可得得垂垂直直于于点点作作过过同同理理 ,

5、sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin 也也有有jBACabc，于于垂垂直直作作单单位位向向量量证证明明：过过点点ACjA在钝角三角形中在钝角三角形中ABCj的的夹夹角角为为与与的的夹夹角角为为与与则则垂垂直直的的单单位位向向量量作作与与过过点点设设CBjABjjACAA,900 90 AC 90具体证明过程具体证明过程课下完成课下完成!平面几何法剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1 1、A+B+C=A+B+C=2 2、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角正弦定理：剖析定理、加深理解3 3、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中

6、的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和，求其他角和边边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解4 4、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫的过程叫解三角形解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解5 5、正弦定理的变形形式、正弦定理的

7、变形形式6 6、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化系的转化sinsinsinabcABC正弦定理：如图：若测得如图：若测得a48.1m，B43 ， C69 ，求，求AB。解：解：A180 （43 69 ）68 a ABsinA sinC=A.B.Ca在在 ABC中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：asinCsinAAB=48.1 sin69sin68 =48.4(m) 学以致用学以致用You try解：解： 105)(180CAB30sin105sin10CcBbsinsin CBcbsin

8、sin192565.30,45,10. 1bBCAc，ABC和边求角已知中在例正弦定理应用一：正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余两边和一角例例在在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。22334正弦定理应用二：正弦定理应用二： 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）。（要注意可

9、能有两解）290122222sinsinsinsin:0 cBaAbBBbAa解解232224264sinsin105)(150302142222sinsinsinsin:000 ACacCBaAbBBbAa舍去舍去或或解解338822426334sinsin157512060233342222sinsinsinsin:0000 ACacCBaAbBBbAa或或或或解解;,120,30,12)1 (.10aBAbABC求已知中在.,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知., 2,60,30)3(00caCBA求已知点拨：点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余

10、两边和一角, 此时的解是唯一的此时的解是唯一的.;,)(aBAb求已知1203012100012030121sinsinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：34.,30,45,102ABCSbCAc 求求）已已知知（,sinsinCcBb 解解：)(1325,105)3045(180)(180 CAB)26(530sin105sin10sinsin CBcbAbcSABCsin21 45sin10)26(521 ., 2,60,30)3(caCBA求求已知已知 ,sinsinCcAa又60,30 CBA:解150 CB45 C2230452sinsinsinsinACac;,60

11、, 1, 3) 1 (. 2CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形点拨点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角解三角形时时,通常要用到通常要用到三角形内角和定理或大边对大三角形内角和定理或大边对大角定理角定理等三角形有关性质等三角形有关性质.;,60, 1, 3) 1 (. 2CAaBcbABC，和求已知中在9030,60, ACCBCBcb，为为锐锐角角，,sinsinCcBb 解解：21360sin1sinsin bBcC222 bca.,45,22,32)2(ABba求求已已知知

12、 (3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形bBaAsinsin 解解：232245sin32 )(,大大边边对对大大角角CAba 12060 或或 AsinsinbABa解 ：20120sin28 11037 .本本题题无无解解3练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B( ) A、 B、 C、 D、36653326或或或或练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c( ) A、1:2:3 B、3:2:1 C、1: :2 D、2: :133自我提高！自我提高！A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰

13、直角三角形、等腰直角三角形 D、不能确定、不能确定)(,sinsinsin,. 3222ABCCBAABC的形状是的形状是则则若若中中在在练习练习 CCB二种二种 平面几何法平面几何法 向量法向量法定理定理应用应用方法方法 课时小结课时小结二个二个 已知两角和一边已知两角和一边（只有一解）（只有一解） 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角 （有一解，两解，无解）（有一解，两解，无解） 一个一个 正弦定理正弦定理CcBbAasinsinsin课后探究课后探究:sinsinsinabckABC那么这个那么这个k值是什么呢值是什么呢?你能用一个和三角形有你能用一个和三角形有关的量来表示吗关的量来表示吗?作业：作业：（1）你还可以用其它方法证明）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？正弦定理吗？（2）（3 3） b b2