数值分析第五章学习小结

1、.第五章学习小结姓名：张亚杰班级：机械 1505 班学号：S20150232一、 本章学习体会本章的内容与实际关联很大 ，可以解决很多工程实际问题 。 1、主要有两方面内容 ：插值与逼近 。 插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值 。逼近即是用简单函数近似代替复杂函数 ，如何在给定的精度下 ，求出计算量最小最佳的多项式 ，是函数逼近要解决的问题 。2、插值中样条插值比较难 ，需要花一定的时间 。逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最小 。 3、我个人觉得本章的难点是样条插值与最佳平方逼近。二、知识构图 ：因为本章内容较多 ，故本次知识架构图分为三部分 ：插值、正交多项式和逼

2、近 。1、插值：.专业学习资料.但是不光滑， 在个别点导数不存在。.代一 元数代 数插插值值插值Hermite 插值样条插值插值的基本概念：插值函数，被插函数，插值节点，插值点，节点等。插值条件：p(xi )yi ,( i0,1,2,.n)插值多项式存在唯一性。误差：Rn ( x)f ( x)Pn ( x)Lagrang 插值：插值基函数：lk (x) （具体公式见课本） 。nnnxx j yk插值多项式： pn ( x)ykl k ( x)xkxjk 0k 0j0jk注意大范围内不宜采用高次插值，节点的选取遵循居中原则，根据插值点选择节点。Newton 插值：主要解决的是 lagrange

3、插值无继承性的缺点。差商的定义及性质了解插值的基函数。 注意 lagrange 插值多项式与 newton 多项式为同一多项式，任意改变节点的次序n 次多项式不变。分段二次插值：所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近 f(x) 。通过缩小插值区间达到减小误差的目的进而解决高次插值的rung 现象。注意分段插值收敛性虽好，1、插值函数通过节点。2 、与被插函数在节点具有相同的导数值。插值多项式具有唯一性，求解的两种方法：1、基函数法2、待定系数法。误f (m n2)( )m差： R( x) f ( x) H m n 1( x)n2)!n 1 (x)(x xik )(mk 0分段 Her

4、mite 插值为了得到光滑度更高的插值函数因此引入样条函数。理解样条函数样条函数空间的定义， K 次样条函数的表示公式。三次样条插值：定义，边界条件（自然样条，压紧样条，周期性条件），解存在且唯一。构造样条函数的方法：待定系数法，三弯矩法（任意划分） B 样条法（等间距划分） ，重点掌握三弯矩法。.专业学习资料.2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下方式：一、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间 (a, b) 上非负的函数( x) 满足（ 1）对一切整数 n 0,b( x)dx 存在；xna（ 2）对区间 (a,b) 上非负连续函数 f ( x) ，若b( x)dx0xna则在 ( a

5、, b) 上 f ( x) 0 ，那么，就称( x) 为区间 (a, b) 上的权函数 。常见的权函数有( x)1,axb( x)11x11,x2( x)1x2 ,1x1( x)e x ,0 x( x)e x2,x2、两个函数的内积定义：给定 f (x), g( x)C a, b ,( x) 是 (a, b) 上的权函数 ，称( f , g )b(x) f ( x) g(x)dxa为函数 f (x) 与 g( x) 在a,b 上的内积 。内积的性质 ：（1）对称性： f , gg , f；（2）数乘性： kf , g( f ,kg )k( f , g ) ；（3）可加性： f1f2 , gf1

6、, gf2 , g；（ ）非负性：若在a,b上 f ( x)0，则 ( f ,f )0 。4.专业学习资料.3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系若内积b(x) f ( x) g (x)dx =0( f , g )a则称 f (x) 与 g(x) 在区间 a,b 上带权( x) 正交若函数系 .0 (x),1( x), , n(x),满足( i ,j )b0,ij( x) ij dx=0, ijaai则称k (x) 是 a,b 上带权( x) 的正交函数系 。 特别的，如果 k ( x) 是最高k (x)是 a,b 上带权 (x)的正交多项式。次项系数不为零的 k 次多项式 ，则称正交

7、函数系一定线性无关。4、几种常用的正交多项式（ 1） legendre 多项式L0 ( x)1Ln ( x)1d n2nnn ( x1) , n 1,2,2n! dxLegendre多项式的性质Legendre多项式系 Ln ( x) 是区间 -1 ，1上带权( x) 1的正交多项式系 。Ln ( x) 的最高次项系数为n 为奇数时 Ln ( x) 为奇函数 ， Ln (x)( 1)n Ln ( x)n 为偶数时 Ln ( x) 为偶函数 。递推关系当 n1 时.专业学习资料.Ln 1 ( x)2n 1 xLn ( x)n Ln 1( x)n 1n 1（ 2） chebyshev 多项式设 n

8、 为非负整数 ，称 Tn ( x)cos(n arccos x),1x1为 chebyshev 多项式 。chebyshev多项式的性质 ：Tn ( x) 是 x 的 n 次多项式 ，并且当 n1 时， Tn (x) 的最高次项系数为 an 2n 1Chebyshev 多项式系 Tn ( x) 是区间 -1 ，1上带权( x)1的正交多项1x2式系。（ 3） Laguerre多项式称 U n ( x)x d n (xnex )0,1, 为 Laguerre 多项式en, ndxLaguerre 多项式的性质 ：（1） U n (x) 是 x 的 n 次多项式 ，并且它的最高次项系数为 an(

9、1)n（2 ） Laguerre 多项式系 U n (x) 是在区间 0, ) 上带权 e x 的正交多项式系。（ 4） Hermite多项式称 H n ( x)(1)n ex2 dn (e x2) , n 0,1,为 Hermite 多项式 。dxnHermite多项式的性质 :H n (x) 是 x 的 n 次多项式 ，并且它的最高次项系数为 an2nHermite多项式系 H n ( x) 是在区间 (,) 上带权 e x2的正交多项式系 。e x2 H m ( x) H n ( x)dx0, m n, mn2n n!.专业学习资料.二、函数的最佳平方逼近1、最佳平方逼近的概念设 H n

10、 为某一函数类定义 ：设 f ( x)Ca,b ，若存在*(x)H n 使f* 2min f2,则称22H n* (x) 为 f （x）在函数类 H n 中的最佳平方逼近函数 。* 2b*2*f f ( x)(x)( x) dx（f -, f -,f)） = min(f2aH nH n 的表示：设 0 (x),1 ( x),2 ( x),n ( x) ，H nspan0 ( x),1 (x),2 ( x),n ( x)* ( x)n*nck( x)， ( x)ck( x)kkk 0k02、最佳平方逼近的条件设 f ( x) C a, b ， (x)H n ，是子空间 H n 中，对于 f (x

11、) 的最佳平方逼近元素的充分必要条件是 ： ( f*j 0,1, , n, j ) 0,3、最佳平方逼近元素是唯一的4、最佳平方逼近元素的求法np* ( x)ck*k ( x) ，求系数 ck*，利用条件 ：k0* , jnck*f( fk ( x),j )0, j0,1,2,.nk0n法方程（正规方程 ）：ck* (k ,j )( f , j ), j 0,1,2,k 0( 0 , j )c0*( 1 , j )c1*( n , j )cn*( f , j )j0,1,2, n.专业学习资料.( 0 , 0 )c0*( 1 , 0 )c1*( n , 0 )cn*( f , 0 )( 0 ,

12、1 )c0*( 1, 1)c1*( n , 1 )cn*( f , 1).( 0 , n )c0*( 1 , n ) c1*( n , n )cn*( f , 0 )( 0 ,0 )(1,0)( n ,0 )c0( f ,0 )( 0 ,1 )(1,1)( n ,1 )c1( f ,1 )( 0 , n )( 1, n )( n , n )cn( f , n )设 0 (x),1 (x),2 ( x), n ( x) 为a,b 上带权 (x) 正交函数系 ,则ck*( f ,k ) , k0,1,2, n( k ,k )5、最佳平方逼近误差nf* , f* ，均方误差：，( f , f )ck

13、* ( k , f )k 0三、正交函数系在最佳平方逼近中的应用设(),( ),( ),( )a,b 上带权(x) 正交函数系 则0x1x2 xnx ，为,ck*( f ,k ) , k0,1,2, n( k ,k )1、Legendre多项式的应用(1)设 f (x)C1,1 求 f(x)在-1,1 上的 n 次最佳平方逼近多项式 pn ( x)( f , g)bf ( x) g( x)dx ， H nspan1, x, x2 , xn 取 H n span L0 , L1 , Ln ，ack*( f , Lk )1 Lm (x)Ln ( x)dx0, mn21( Lk , Lk )2n,m

14、n1*( f , Lk )2k 11nck(Lk , Lk )2Lk ( x) f (x)dx,*( x)*1， pck Lk (x)k0k 0,1,2, , n(2) f (x) C a,b.专业学习资料.做变换 xabba t, t 1,1222、Chebyshev多项式的应用nH n span T0 , T1 , Tn ， pn (x)a0aj T j (x), 1 x 12 j 121f ( x)T j( x)dx, j0,1,2, na j11x2误差估计设 f (x) 在区间 -1 ，1上存在且有界 ，那么由式a0npn ( x)a j Tj(x), 1x 1和系数公式2j121f

15、 ( x)T j( x)dx, j0,1,2, n 。所确定的多项式 ,当 n时，在a j11x2-1 ，1 上一致收敛于函数f(x)。Chebyshev 级数 a0aj Tj (x), 1 x 12j 13、三角函数系的应用三角函数系 1, cosx,sin x, cosnx, sin nx ，在 0,2 上为正交函数2f ( x) g (x)dx( f , g )00, kj0, kj(cos kx,cos jx )2 , k j0 ， (sin kx, sin jx),kj 0, kj0(coskx,sin jx)0, kj设 f(x)是以 22f (x) g( x)dx ，为周期的函数

16、 ,定义内积 ( f , g)0在空间 D nspan 1, cos x, sin x, ,cos nx,sin nx ，中寻求对于 f(x)的最佳平方逼近元素.专业学习资料.a0n( ak cos kx bk sin kx)sn ( x)2k 0ak12f ( x) cos kxdx, k0,1,2, n0bk12f ( x) sin kxdx, k1,2, n0当 f ( x) C( ,)且以 2为周期时 a0(ak cos kxbk sin kx) f ( x)2k 0四、曲线拟合曲线拟合的概念 ：已知数据点 ： (xi , yi ), i0,1,2, m ，寻找一个函数 y(x) ，使

17、其在某种准则下与所有数据点最为接近 ，即曲线拟合的好 。常用的四个准则 ：（1）最大误差 Enmaxxiyi1i n（2）平均误差 E11nxiyin i 1（3）均方根误差 E2 ( 1 nn21xiyi ) 2i 1n2（4）误差平方和 Exiyii1用四种方法可以分别得到在四种准则下的四条最佳拟合曲线，使其误差平方和最小的方法称为最小二乘准则。1、曲线拟合（1）曲线（数据）拟合的最小二乘法 :给定一组数据 (xi , yi ), i0,1,2, m ，在某一函数类D 中找函数 y* (x) ，使：mm * ( xi ) yi 2min (xi ) yi 2i 0Di 0.专业学习资料.称

18、 * (x) 为上述数据的最小二乘拟合曲线 .（2）拟合曲线的求法n取 Dspan0 ( x), 1( x),n ( x), nm 找 * ( x)c*jj (x)j0mm使 * ( xi )f ( xi )2min( xi )f ( xi ) 2i0D0imnc*f ( xi ) 2mn即求多元函数的极小值 ：jj ( xi )minc ji 0j 0cii 0j 0mnf ( xi )2F (c0 ,c1, cn )c j j ( xi )i0 j0Fmn2cjj ( xi )f ( xi )k (xi )cki 0j0mnm.Dj ( xi )f ( xi ) 22cjj (xi ) k

19、 ( xi ) 2f (xi )k ( xi ) 0i0 j0i0nc jmj (xi ) k ( xi )mf ( xi )k ( xi ) 0j 0i0i02.(x0 ),j ( x1),j ( xm ) T, j.n ， ( j , k )mj(j,0,1,j (xi ) k (xi )i0, ym )T ， ( y,my( y0 , y1,k)f ( x )k(x)i 0iin法方程：c j (k ,j )( y,k ), k0,1,2, nj0(0,0)(0,1)( 0 , n )c0( y, 0 )(1,0)(1,1)( 1, n )c1( y, 1 )( n , 0 ) ( n

20、, 1 )( n , n )cn( y, n )令：A 0, 1,n , c c0 ,c1,cn T法方程变为 ： AT AcAT y.专业学习资料.f ( x).m(1)曲线（数据）拟合的最小二乘法 :2* ( xi )2i0(2)m* ( xi )f ( xi ) 2m拟合曲线的求法min( xi )i0Di 0n* ( x)c*j j ( x) ， AT Ac*AT yj0(3)m* ( xi )f (xi )2误差平方和i 0(4) 基函数的选取 （以多项式作为拟合函数类 ）（a）选择幂函数 x j , j0,1,2,n 作为基函数 .（b）构造在点集 xi ,i0,1,2, m 上的正交多项式系yi 2minf ( xi ) 2j ( x),j0,1,