初二数学经典难题与答案

1、专业.专注初二数学经典题型1.已知：如图，P是正方形ABCD内点，/PAD=/PDA=150.求证：PBC是正三角DC形.首先，PA=PD,ZPAD=ZPDA=(180-150°)+2=15°,/在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ,连接PQ,/PDQ=60°+15°=75样/PAQ=75°又AQ=DQ,PA=PD,PDQ,那么/PQA=/PQD=60°+2=304PQA中,/APQ=180-30-75°=75°PAQ=ZPAB,于是PQ=AQ=AB,显然PAQ0PAB,得/PBA=/PQA=30

2、76;,PB=PQ=AB=BC,/PBC=9O30°=60所以MBC是正三角形。2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.求证：ZDEN=ZF.证明：连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点，则GN=AD/2;GN/AD,ZGNM=/DEM;(1)同理:GM=BC/2;GM/BC,ZGMN=/CFN;(2)又AD=BC,贝U:GN=GM,ZGNM=/GMN.故:/DEM=ZCFN.3、如图，分别以4ABC的AC和BC为一边，在4ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.求

3、证：点P到边AB的距离等于AB的一半.证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N,在梯形MEFN中，WE平行NF因为P为EF中点，PQ平行于两底所以PQ为梯形MEFN中位线，D所以PQ=(ME+NF)/2又因为，角0CB+角OBC=90°角NBF+角CBO所以角OCB二角NBF而角C0B=角Rt=角BNFCB=BF所以OCB全等于4NBFMEA全等于4OAC（同理）所以EM=AO,0B=NF所以PQ=AB/2.4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且/PBA=/PDA.求证：/PAB=/PCB.过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E;连接BE学

4、习参考专业.专注因为DP/AE,AD/PE所以，四边形AEPD为平行四边形所以,ZPDA=ZAEP已知，ZPDA=ZPBA所以,/PBA=ZAEP所以，A、E、B、P四点共圆所以,ZPAB=ZPEB因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE/AD,且PE=AD而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD/BC,且AD=BC所以,PE/BC,且PE=BC即，四边形EBCP也是平行四边形所以,ZPEB=/PCB所以,ZPAB=/PCB5 .P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=3a正方形的边长解：将BAP绕B点旋转90使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为BAPBCQ

5、所以AP=CQ,BP=BQ,ZABP=ZCBQ,ZBPA=/BQC因为四边形DCBA是正方形所以/CBA=90°所以ZABP+/CBP=90°所以/CBQ+/CBP=90.学习参考.专业.专注学习参考即/PBQ=90°所以4BPQ是等腰直角三角形所以PQ=V2*BP,BQP=45因为PA=a,PB=2a,PC=3a所以PQ=2V2aCQ=a,所以CPA2=9aA2,PQA2+CQA2=8aA2+aA2=9aA2所以CPA2=PQA2+CQA2,所以ACPQ是直角三角形且ZCQA=90°所以ZBQC=90°+45°=1MAZBPA=/B

6、QC=135°作BM±PQ则ABPM是等腰直角三角形所以PM=BM=PB/V2=2a/V2=V2a所以根据勾股定理得：ABA2=AMA2+BMA2=(,2a济2+(,2a)A2=5+2vz2aA2所以AB=V(5+2vz2)a6 .一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x。,一rVV由题意得：t2x8x“口5v8t解之得：x一一人5v经检验得：x是原方程解。5v2t8t,，、，5

7、v,，.小口径水管速度为一，大口径水管速度为8t7 .如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(2,-1),且P(-1,2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分另是A、B.(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q,使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值图图解：(1)设正比例函数解析式为y,1，kx,将点M(2,1)坐

8、标代入得k=一,所以2一1正比例函数解析式为y=x2同样可得，反比例函数解析式为2y=一x(2)当点Q在直线DO上运动时，-1设点Q的坐标为Q(m,-m),于是S>AOBQ="OB?BQ不仓女mm=-m2,Q22241,而Saoap=2|(-1)?(2)=1,_,12所以有，m=1,解得m24所以点Q的坐标为Q(2,1)和Q2(-2,-1)(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ,OQ=PC,而点P(1,2)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值.因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n,2),n由勾

9、股定理可得OQ2=n2+名=(n-2)2+4,nn2222所以当(n-)2=0即n-=0时，OQ2有最小值4,nn又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2.由勾股定理得OP=J5,所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线BC上，且PE=PB.(1)求证：PE=PD;PE±PD;(2)设AP=x,4PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解：(1)证法一：四边形ABCD是正方形，AC为对角线，BC=DC,Z

10、BCP=ZDCP=45.PC=PC,APBCAPDC(SAS).PB=PD,ZPBC=ZPDC.又PB=PE,PE=PD.(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,.PB=PE,ZPBE=ZPEB,ZPEB=ZPDC,ZPEBfZPEC=ZPDC+/PEO180,ZDPE=360-(ZBCD+ZPDC+/PEQ=90,PE!PD.)(ii)当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE!PD.(iii)当点E在BC的延长线上时，如图./PEO/PDC,/1=/2,ZDPE=ZDCE=90,pPE!PD.综合(i)(ii)(iii),PEXPD.(2)过点P作PF,BC,垂足为F,则

11、BF=FE. AP=x, AC= J2 ,PC=亚-x, PF=FC=去(亚 x),2 x .2BF=FE=1- FC=1-( 1_ . 2 Sa pbE= BF PF= 一 x(12) y1 : x21-x21<0, 2二时222x22x22 )_ x)=22 )x)2(0vxv v12).1/2.2-(x -)222x.2(1)证法二：过点P作GF/AB,分别交AD、BC于G、F.如图所示.四边形ABCD是正方形，四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形.GD=FC=FP,GP=AG=BF,ZPGD=ZPFE=90又.PB=PE,BF=FE,GP=FE

12、,AEFPAPGD(SAS)PE=PD.Z1=Z2.Z1+/3=Z2+73=90/DPE=90.PE±PD.b BF=PG= l±x, PF=1-2,2 x.2Sa pbe=BF PF= 2x(1 x)21 2-x22) y12-x21<0, 22x22x2(0vxv V2).12 2-(x ) 22当x时，y最大值29、如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A(1,6),B(a,3)两点.(1)求k1、k2的值.(2)直接写出k1x+b-k2x>0时x的取值范围；(3)如图，等腰梯形OBCD中，BC/OD,OB=CD,OD边在x轴上，过点C作CELOD于点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形O