用迭代法求解方程及线性方程组

1、实验题目： 用迭代法求解方程及线性方程组。实验问题： 函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具。 哪怕是对一个相当简单的 函数进行迭代，都可以产生异常复杂的行为，并由此而衍生了一些崭新的学科分 支，如分形和混沌。同时，迭代在各种数值计算算法以及其他学科领域的诸多算 法 中处于核心的地位。首先，我们来探讨利用迭代求解方程的近似解。实验目的：1. 学会基本 Mathematica 语句并用其解决实际问题。2. 了解 Mathematica 系统。3. 用 Mathematica 解决在求方程解的迭代过程。1. 方程求解给定实数域上光滑的实值函数 f(x)以及初值 X。定义数列Xn 1 = f

2、 (Xn), n =0,1, ,( 1)xn, n =0,1，,称为 f ( X)的一个迭代序列。给定迭代函数 f(x)以及一个初值 Xo利用( 1)迭代得到数列 Xn, n=0,1 ， ,如果 数列 Xn 收敛于一个 X*，则有X* =f(x*)( 2)即 X*是方程 x=f(x)的解。由此启发我们用如下的方法球方程g(x)=0 的近似解。将方程 g(x)=0 改写为等价的方程x=f(x), 然后选取一初值利用 ( 1)做迭代。迭代数列 xn收敛的极限就是方程 g(x)=0 的解。 用上述方程求方程的根的一个首要问题是 迭代是否收敛？经过试验我们知道，使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程 g(x

3、)=0 的某一解的条 件是迭代函数 f(x)在解的附近的导数的绝对值近两小。 这启发我们将迭代方程 修改 成x = h(x) - 'f (x)(1 - ' )x (4)我们需要选取，使得 |h'(x)卜 f(x) T-= 0于是h（x） = x- ；（當特别地，如果 f（x）=g （x）+x ,则我们得到迭代公式2?线性方X程组?厂的迭X代求-船解， n 二 0,1 ， .给定一个 n 元线性方程组aiXi +? -amX n *（6） aX nannX n =0或写成距阵的形式Ax=b, 其中 A =（aij）是 n 阶方程， x = （xi,，Xn）T及 b = （

4、bi/ , bn）T均为 n 维列向量 熟知，当距阵 A 的行列式非零时方程（ 7）有唯一的解。迭代法是求解这些问题 的有 效方法之一。用迭代的方法求解线性方程组的思想与上节介绍的方程求解的 方法是 类似的。假设我们可以将方程组（ 7）改写成x=Mx+f,其中 M =（rnij）是 n 阶距阵， f =（fi,，fn）T 是 n 维列向量。任意给定初始向量 x0，由迭代= Mx n（9）确定向量序列 xn, n =0,1, .如果 xn收敛到向量 x*，贝 U 有x = Mx f,即 x*是方程组（ 7）的解 类似于单变量情形，我们关心的首要问题是迭代向量列xn 是否收敛。为此 ,我们先对 M

5、 是对角阵时进行考察。在得到了迭代（ 9）收敛的条件后，我们关心的下一个问题是，怎样将方程 组 （7）改成（ 8 ）使得迭代（ 9）收敛而且收敛得快。作为比较，我们介绍两种迭代格式。假设矩阵 A 的对角元素 ay =0,i =1，,n.令-diag（a11 ,ann）,则我们可以将方程组（ 7）改写成Dx=(D-A)x+bx =（l DA）x D b由上式即可确定一种迭代格式。如果将矩阵 (I -DJA) 分解为 U+L,其中 L,U 分别为下三角阵与上三角 阵，则 (10) 可以进一步改写(I -L)x =Ux D b或x =(l L)Ux (I L) Db.上式又可确定另一种迭代格式。1

6、雅克比 ( Jacob ) 迭代法设有 n 阶方程组'aiiXi +印 2乂 2 + +a inXn =bia2iXi +a22X2 + +a 2n Xn =b2一八t (ii)I aniXi an2X2 ?ann X n 二 0若系数矩阵非奇异，且 aH -0 (i = i, 2, ,n)，将方程组 ( ii)改写成 对( 或(13)给 定一组初值 X=(x(0),x20),xn0)T后，经反复迭代可得到 一向量序列 x(k) = (x 1k)， xnk)T , 如果 X(k)收敛于 X* = (x；,x；,X；)T, 则 X*(i =1,2, ，n)就是方程组 (11) 的解。这一

7、方 法称为雅克比 ( Jacobi ) 迭代法 或简单迭代法， (12)或(13) 称为 Jacobi 迭代格式XiainxnaiiX2b2 _a22Xi -a23X3 - a2i-a2nbin -nixi - an2X2 an,nXnnn然后写成迭代格式(k i) XiaiiX (k)(bi ai2 2ai3X3(k)(k)inxnx2k i)bi - a2ixi - a23x3 )-a2nxnk)22(xnk i) bn -a inX i(k) -a n2 x2 k)ann(k) an,n(I2 )式也可以简单地写为(k i) iXi b - 送 aj x(k)(i 胡 2 ,n)(i3)

8、下面介绍迭代格式的矩阵表示：设 D = diag 11, a22, ,ann), 将 AX = b 改写为： AX = (D -(D - A) x = b DX = (D - A) x + b-1 -1X = (I -D 1A) x + D 1b记B = I -D -1AF = D-1 b则迭代格式的向量表示为(kH1)=BX (k) +FB 称为雅克比迭代矩阵Mathematica 程序1?给定初值 x0及迭代函数 f(x),迭代 n 此产生相应的序列lteratef_,xO_,n_l nteger:=Modulet=,i,temp=xO,Appe ndTot,temp; Fori=1,i&

9、lt;=n ,i+,temp=ftemp;Appe ndTot,temp;tfx_:=(x+2/x)/2;Iteratef,1.,102. 由迭代公式 (5) 产生的迭代序列 NTIterateg_,xO_,n_l nteger:= Modulei,var=x0,t=,h,hx_=Dtgx,x;Fori=1,i<=n ,i+,Appe ndTot,var;lfhvar!=0,var=Nvar-gvar/hvar,20,Print Divided by Zero after ”, ” s iterations ”;Break;tgx_:=x A3-2;NTIterateg,1,103. 对给定的矩阵 M,数组 f 和初始向量 x0，由迭代 ( 9)给定的迭代结果LSIteratem_,f_List,fO_List,n_l nteger:=Modulei,var=f0,t=Table,i, n,Fori=1,i<=n ,i+,ti=var;var=m.var+f;tm=0.2,0.3,0.4,0.2;f=1,1;f0=0,0;LSIteratem,f,f0,20实验小结：通过用迭