二次函数和几何综合压轴题题型归纳（精编版）

1、课题教学目标重点、难点函数的综合压轴题型归类1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系2、 掌握特殊图形面积的各种求法1、 利用图形的性质找点2、 分解图形求面积教学内容一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总1、两点间的距离公式： ABy A2yBx A2xB2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：xAxB，yAyB学生：科目：数学教师：刘美玲22直线 yk1 xb1 （ k10 ）与 yk 2 xb2 （ k20 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k1k2 且 b1b2（ 2）两直线相交k1k2（ 3）两直线

2、重合k1k2 且 b1b2（ 4）两直线垂直k1k213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范围； 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于 x 的一元二次方程x22 m1 xm 20 有两个整数根，m5 且 m 为整数，求m 的值。4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线ymx23m1 x3 与 x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关

3、于x 的方程有一个固定的根。2mx3(m1) x2 m30 （ m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总解：当 m0 时， x1；当 m0时，m3 20 ， x3 m1 2m， x132、 x21 ； m综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线yx2mxm2 （ m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m 的方程 yx 22m 1x ；yx 221x00y1，解得：；x1 抛物线总经过一个固定的点（1， 1）。（题目要求等价于：关于m 的方程 yx 22m 1x 不论 m

4、 为何值，方程恒成立）小结：关于 x 的方程 axb有无数解a0b07、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（ 1）如图，直线和最小。l1 、 l 2 ，点 A 在l 2 上，分别在l1 、 l 2 上确定两点M 、 N ，使得 AMMN 之（ 2）如图，直线l 1 、 l 2 相交，两个固定点A 、 B ，分别在l1 、 l 2 上确定两点M 、 N ，使得BMMNAN 之和最小。（ 3）如图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点，线段a ，在直线 l 上确定两点E 、 F （ E 在 F 的左侧），使得四边形AEFB 的周长最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

5、三角形的面积求解常用方法：如右图，S PAB=1/2 PM x=1/2 AN y9、函数的交点问题：二次函数（y ax2 bx c ）与一次函数（y kxh ）（1） 解方程组yax2bx c ykxhyax2bxc可求出两个图象交点的坐标。（2） 解方程组的个数有两个交点ykxh0，即 ax 2 b k xc h0 ，通过可判断两个图象的交点仅有一个交点0没有交点010、方程法（1） 设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2） 表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3） 列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形” 、“直角三角形” 、“等腰三角形”

6、等图形时， 利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形跟直角有关的图形跟线段有关的图形跟角有关的图形平移勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等利用几何中的全等、中垂线的性质等。利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等l1 l 2k1 k2 、 k2ABy AyB2ABy AyBy1y2x1x22x AxB2x AxB平行四边形矩形梯形直角三角形直角梯形 矩形等腰三角形全等等腰梯形【例题精讲】y一 基础构图：y= x22 x3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得 PB+PC的和最小，求出P 点坐标在

7、对称轴上找一点P，使得 PB-PC的差最大，求出P 点坐标BOAx CDy求面积最大连接 AC,在第四象限找一点P，使得ACP 面积最大，求出P 坐标BOAxCD 讨论直角三角连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为直角三角形，求出 P 坐标或者在抛物线上求点P，使 ACP是以 AC为直角边的直角三角形yBOAxCD 讨论等腰三角连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为等腰三角形， 求出 P 坐标y 讨论平行四边形1 、点 E在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上， 且以 B， A， F， E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标BOAxCD二 综合题型例 1(中考变式）

8、如图， 抛物线 y交 Y轴于 Cx 2bxc 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0) 两点， 顶点为 D。(1) 求该抛物线的解析式与ABC的面积。(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使 MBC是以 BCM为直角的直角三角形，若存在， 求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由(3) 若 E 为抛物线B、C 两点间图象上的一个动点( 不与 A、 B 重合) ，过 E 作 EF与 X 轴垂直，交 BC于 F，设 E 点横坐标为的长度为L，求 L 关于 X 的函数关系式关写出X 的取值范围当 E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E 点的坐标(4) 在（ 5）的情况下直线BC

9、与抛物线的对称轴交于点H。当 E 点运动到什么位置时, 以点 E、F、 H、D 为顶点的四边形为平行四边形(5) 在（ 5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大例 2考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、C 的坐标分别为 ( 1，0) 、(0 ，3 ) ，点 B在 x 轴上已知某二次函数的图象经过A、 B、C 三点，且它的对称轴为直线x 1，点 P 为直线 BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与 B、C 不重合），过点 P 作 y 轴的平行线交BC于点 F（ 1）求该二次函数的解析式；y（ 2）若设点P 的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（

10、3）求 PBC面积的最大值，并求此时点P 的坐标AOFBxCPx 1例 3考点：讨论等腰如图，已知抛物线y1 x 2 bx c 与 y 轴相交于C，与 x 轴相交于A、B，点 A的坐标为（ 2， 0），2点 C的坐标为（ 0， 1）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 E 是线段 AC上一动点，过点E 作 DE x 轴于点 D，连结 DC，当 DCE的面积最大时，求点D的坐标；（ 3）在直线BC上是否存在一点P，使 ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由yyDBOAx EBOAx CC备用图例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点A（一 1， 0）和点 B（ 1，2），在

11、坐标轴上确定点 P，使得 ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）(A ）2个（B） 4个 （C）6个（ D）7个 已知：如图一次函数y1 x 1 的图象与x 轴交于点A，与 y 轴交于点B；二次函数y21 x 22bxc 的图象与一次函数y0）（ 1）求二次函数的解析式；1 x 1 的图象交于B、C两点， 与 x 轴交于 D、E两点且 D点坐标为 （ 1，2（ 2）求四边形BDEC的面积 S；（ 3）在 x 轴上是否存在点P，使得 PBC是以 P 为直角顶点的直角三角形若存在，求出所有的点P， 若不存在，请说明理由yC2BxAODE例 5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x 的抛物

12、线y ax与 y 轴交于点C2x c（ a 0）与 x 轴交于点A（ 2， 0），点 B（ 6， 0），（ 1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（ 2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC为等腰梯形，写出点 D的坐标，并求出直线 AD的解析式；（ 3）在（ 2）中的直线 AD交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点 Q是否存在以 A、M、P、Q为顶点的平行四边形如果存在， 请直接写出点 Q的坐标； 如果不存在， 请说明理由yCAOBx综合练习：1、平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac 与 x 轴交于点A、点 B，与 y 轴的正半轴交于点 C，点A

13、 的坐标为 (1, 0)， OB OC，抛物线的顶点为D。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足 APB ACB，求点 P 的坐标；(3) Q为线段 BD上一点，点A关于 AQB的平分线的对称点为A ，若 QAQB标和此时QAA 的面积。2 ，求点 Q的坐2、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数yax 2 +2 axc 的图像与y 轴交于点C 0，3，与 x轴交于 A、B两点，点B 的坐标为3 ，0 。（ 1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（ 2） 点 M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1 ：2 的两部分，求出此时点M

14、的坐标；（ 3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时 CPB 的面积最大最大面积是多少并求出此时点P 的坐标。3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y且对称轴与x 轴交于点 C 。2 x2 m2 x 与 x 轴负半轴交于点A ，顶点为 B ，（ 1）求点 B 的坐标（用含m 的代数式表示） ；（ 2） D 为 OB 中点，直线AD 交 y 轴于 E ，若 E （ 0， 2），求抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，点M 在直线 OB 上，且使得AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以 A、 M、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P

15、的坐标。4、已知关于x 的方程 (1m) x2(4m) x3 0 。（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（ 2） 若正整数m 满足 82m2 ，设二次函数y(1m) x2(4m) x3 的图象与x 轴交于A、B 两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象； 请你结合这个新的图象回答：当直线ykx3 与此图象恰好有三个公共点时，求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。25 如图，抛物线y=ax +2ax+c（a0）与 y 轴交于点C（ 0， 4），与 x 轴交于点 A（ 4， 0）和 B（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2

16、）点 Q是线段 AB 上的动点，过点Q作 QEAC，交 BC于点 E，连接CQ当 CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；（ 3）平行于 x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线 AC交于点 F， 点 D的坐标为（ 2，0）问是否有直线l ，使 ODF是等腰三角形若存 在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧2例 1已知二次函数y x ( m 1) x m 2 的图象与x 轴相交于A（ x1， 0）， B（ x2， 0）两点，且x1 x2（ 1）若 x1x2 0，且 m为正整数，求该二次函数的表达式；（ 2）若

17、x1 1，x2 1，求 m的取值范围；（ 3）是否存在实数m，使得过A、B 两点的圆与y 轴相切于点C（ 0， 2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（ 4）若过点D（0， 线的表达式12 ）的直线与（ 1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且MDDN 13 ，求该直题型二、 抛物线与x 轴两交点之间的距离问题2例 2 已知二次函数y= x+mx+m-5，（ 1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点；（ 2）求当 m取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短题型三、抛物线方程的整数解问题例1已知抛物线yx22( m1)xm20 与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m

18、 5，则整数 m的值为 例 2已知二次函数yx2 2mx4m8（ 1）当 x 2 时，函数值y 随 x 的增大而减小，求m的取值范围；2（ 2）以抛物线yx 2mx 4m8 的顶点 A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN （ M， N两点在拋物线上），请问： AMN的面积是与m无关的定值吗若是，请求出这个定值；若不是，请说明理y 由；2（ 3）若抛物线yx 2mx 4m8 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值OxA题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例 1已知抛物线yx2bxc（其中 b0，c0）与 y 轴的交点为A，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为

19、 B( m, n) ，且 AB=2.(1) 求 m, b 的值(2) 如果抛物线的顶点位于x 轴的下方，且BO=20 。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数yx24 xm 的图象与 x 轴交于不同的两点A（x1 ，0）、B（x2 ，0）（x1 x2 ），其顶点是点C，对称轴与x 轴的交于点D（ 1）求实数m的取值范围；（ 2）如果（x1 +1）（ x2 +1） =8，求二次函数的解析式；（ 3）把（ 2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点A1

20、、B1 ，顶点为点C1，且 A1 B1C1 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式综合提升1. 已知二次函数的图象与x 轴交于 A， B两点，与y 轴交于点 C（ 0，4），且 | AB| 23，图象的对称轴为x1（1） 求二次函数的表达式；（2） 若二次函数的图象都在直线y x m的下方，求m的取值范围2. 已知二次函数y x2 mx m 2（1） 若该二次函数图象与x 轴的两个交点A、 B分别在原点的两侧，并且AB5，求 m的值；（2） 设该二次函数图象与y 轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且 S MNC 27，求 m的值3. 已知关于x 的一元二次方程x（1

21、） 求 k 的值；22( k 1) x k2 0 有两个整数根，k 5 且 k 为整数（2） 当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y x22 2( k 1) x k的图象沿x 轴向左平移4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3） 根据直线y x b 与（ 2）中的两个函数图象交点的总个数，求b 的取值范围4. 已知二次函数的图象经过点A（ 1， 0）和点 B（2， 1），且与y 轴交点的纵坐标为m（1） 若 m为定值，求此二次函数的解析式；（2） 若二次函数的图象与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m的取值范围；（3） 若二次函数的图象截直线y x 1 所得线段的长为2

22、2，求 m的值四、中考二次函数定值问题11. （ 2012 江西南昌8 分） 如图，已知二次函数L ：y=x 2 4x+3 与 x 轴交于 A B 两点（点A 在点 B左边），与 y 轴交于点C（ 1）写出二次函数L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标；2（ 2）研究二次函数L2： y=kx 4kx+3k （k0）写出二次函数L2 与二次函数L1 有关图象的两条相同的性质；若直线y=8k 与抛物线L2 交于 E、F 两点，问线段EF的长度是否发生变化如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由2. （ 2012 山东潍坊11 分） 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A( 2， O)、B(2 ， 0) 、 C(0， l)三点，过坐标原点O的直线 y=kx 与抛物线交于M、N 两点分别过点C、D(0， 2) 作平行于x 轴的直