九年级数学二次函数专题训练

1、二次函数专题训练一、 填空题1 .把抛物线y = 1x2向左平移2个单位得抛物线，接着再2向下平移3个单位，得抛物线 .2 .函数y = -2x2 +x图象的对称轴是 ,最大值是 3 .正方形边长为3,如果边长增加x面积就增加y,那么y与x之间 的函数关系是.4 .二次函数y = -2x2 +8x -6 ,通过配方化为y = a(x 一 h)2十k的形 为 .5 .二次函数y = ax2+c ( c不为零)，当x取x1，x2 (x1?x2)时，函数 值相等，则xi与x2的关系是6 .抛物线y = ax2 + bx + c当b=0时，对称轴是,当a, b同 号时，对称轴在y轴 侧，当a, b异号

2、时，对称轴在y轴 侧.7 .抛物线y = -2(x+1)2 -3开口,对称轴是,顶点 坐标是 如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围 是 8 .若a<0,则函数y=2x2+ax-5图象的顶点在第 象限；当 x> 一4时，函数值随x的增大而.9 .二次函数y = ax2+bx+c (a？0)当a>0时，图象的开口 a<0时，图象的开口,顶点坐标是.10 .抛物线y =(xh)2 ,开口，顶点坐标2是, 对称轴是.11 .二次函数y=-3(x)2+()的图象的顶点坐标是(1,-2).12 .已知y(x +1)2 .2 ,当x时，函数值随x的增大而3减小.13 .已知直线y

3、=2x1与抛物线y = 5x2十k交点的横坐标为2,则k=,交点坐标为.14 .用配方法将二次函数y =x2 + 2 x化成y = a(x -h)2 + k的形式是 15 .如果二次函数y=x2 -6x + m的最小值是1,那么m的值是.二、选择题：16 .在抛物线y=2x2-3x+1上的点是()A. (0, -1 ) B. 1,0 ; C. (-1 , 5)D.<2 )(3, 4)17 .直线y =2x2与抛物线y = x2 gx的交点个数是()A.0个 B.1 个 C.2 个 D.互相重合的两个18 .关于抛物线y=ax2+bx+c (a? 0),下面几点结论中，正确的有当a>

4、0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反.抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就 相同.一i兀二次方程ax2+bx+c = 0 (a#0)的根，就是抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标.A.B. C. D. 19 .二次函数y=(x+1)(x-3),则图象的对称轴是()A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320 .如果一次函数y=ax+b的图象如图13-3-12中A所示，那么二次函 y = ax2 ,bx-3的大致图象是()图 13-2-1221 .若抛物线y =ax2

5、 +bx +c的对称轴是x = -2，则a =()bA.2 B. -C.4 D.-2422 .若函数y=g的图象经过点(1,-2),那么抛物线 x质说得全对的是（A.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交B.开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交C.开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交D.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交23 .二次函数y=x2+bx + c中,如果b+c=0,则那时图象经过的点是A.(-1 , -1)B.(1, 1)C.(1, -1) D. (-1 ,1)24.函数y=ax2与y =a (a<0)在同一直角坐标系中的大致图象是 x

6、A,图 13-3-1325.如图13-3-14 ,抛物线y =x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B,C两点，且BC=3 0ab（=6,则b的值是（）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图 13-3-1426 .二次函数y=ax2 (a<0),若要使函数值永远小于零，则自变量 x的取值范围是()A .X取任何实数B.x<0C.x>0D.x<0或x>027 .抛物线y = 2(x-3)2+4向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为( )A.y = 2(x -4)26B.y=2(x-4)22C.y =2(x -2)22D.y -3(x

7、-3)2228 .二次函数y=x2+ykx + 9k2 (k>0)图象的顶点在()A.y轴的负半轴上B.y轴的正半轴上C.x轴的负半轴上D.x轴的正半轴上29 .四个函数：y =-x, y = x+1, y = - 1 (x>0) , y =-x2 (x>0),其中图 x象经过原点的函数有()A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个30 .不论x为值何，函数y=ax2+bx + c (a# 0)的值永远小于0的条件是()A.a >0, A>0B.a>0, A<0C . a<0, >0D.a<0, A<0三、解答题31 .已知

8、二次函数y =x2+2ax - 2b十1和y = x2十(a - 3)x + b2 -1的图象都 经过x轴上两上不同的点 M N,求a, b的值.32 .已知二次函数y =ax2+bx+c的图象经过点A (2, 4),顶点的横坐 标为1,它2的图象与x轴交于两点B (xi, 0), C (x2, 0),与y轴交于点D,且xi2+x2 =13,试问：y轴上是否存在点P,使彳POBSWDOCf似(O为坐标原点)？若存在，请求出过 巳B两点直线的解析式， 若不存在，请说明理由.33 .如图13-3-15 ,抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A, B两点，该抛物线的对称轴直线AB的解析

9、式；x=-21与x轴相交于点C,且/ABC=90 ,求：(1)(2)抛物线的解析式. 一图 13-3-15图 13-3-1634.中图13-3-16 ,抛物线y = ax2 -3x + c交x轴正方向于A, B两点,交y轴正方向于C点，过A, B, C三点做。D,若OD与y轴相切.（1）求a, c满足的关系；（2）设/ACB=c，求tg % ; （3）设抛物线顶点为P, 判断直线PA与。的位置关系并证明.35.如图13-3-17 ,这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直 角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的 DGD部分为一段抛物线，顶点 C的高度为8米，A

10、D和A DD是两 侧高为5.5米的支柱，。价口 OA为两个方向的汽车通行区，宽都 为15米，线段C济口。Dz为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1 : 4.求（1）桥拱DGD所在抛物线的解析式及 CC的长；（2） BE和B，E，为支撑斜坡的立柱，其高都为 4米，相应的AB和 A B，为两个方向的行人及非机动车通行区，试求 AB和A，B，的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不 得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为 7米，它能否从OA（或OA） 区域安全通过？请说明理由.图 13-3-1736 .已知：抛物线y =x2 (m + 4)x + m + 2与x轴交于

11、两点A(a,0), B(b,0)(a ：b) .O为坐标原点，分别以OA OB为直径作。O和。Q在y轴的哪一侧？ 简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37 .如果抛物线y=-x2+2(m 1)x + m+1与x轴者B交于A, B两点，且A 点在x轴的正半轴上，B点在x同的负半轴上，OA的长是a, OB的长是b.(1)求m的取值范围；(2)若a ： b=3 ： 1,求m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C,抛物线白顶点是M问: 抛物线上是否存 在 点巳使 PAB的面积等于 BCM®积的8 倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请 说明理由.38 .已知

12、：如图13-3-18, EB是。O的直径，且EB=6在BE的延长线 上取点P,使EP=EB.A是EP上一点，过A作。O的切线AD,切点为D,过D作DF,AB于F,过B作AD的垂线BH交AD的延长线于H,连结ED和FH.图 13-3-18(1)若AE=2求AD的长.(2)当点A在EP上移动(点A不与点E重合)时，是否总有AD-=里?试证 明 你的结论；设ED=x BH=y求y与x的函 AH FH数关系式，并写出自变量x的取值范围.39.已知二次函数y =x2-(m2-4m+')x-2(m2-4m+?)的图象与X轴的 22交点为A, B (点A在点B右边)，与y轴的交点为C.(1)若ABC

13、 RtA,求 m的值；(2) 在 ABC中，若AC=BC求/ ACB的正弦值；(3)设4ABC的面积为S,求当m为何值时，S有最小值，并求 这个最小值.40.如图13-3-19 ,在直角坐标系中，以AB为直径的。C交x轴于A,交y轴于B,满足OA： OB=4： 3,以OS直径作。D,设O D的半径为2.图 13-3-19(1)求。C的圆心坐标.(2)过C作。D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF 的解析式.(3)抛物线y = ax2+bx + c (a?0)的对称轴过C点，顶点在。C 上，与y轴交点为B,求抛物线的解析式.41.已知直线y =；x和y = -x +m ,二次函数y =

14、x2 + px + q图象的顶点为 M.(1) 若M恰在直线y =人与y =x + m的交点处，试证明：无论 m2取何实数值，二次函数y = x2 + px + q的图象与直线y =x+m总有两个不同的交点.(2) 在(1)的条件下，若直线y = -x + m过点D (0,-3),求二次 函数y = x2 + px+q的表达式，并作出其大致图象.图 13-3-20(3) 在(2)的条件下，若二次函数y = x2十px十q的图象与y轴交于点C,与x同的左交点为A,试在直线y=1x上求异于M点巳 使P在CMA勺外接 2圆上.42.如图13-3-20,已知抛物线y = -x2+ax + b与x轴从左

15、至右交于A,B两点,与 y 轴交于点 C,且/ BAC=c , /ABC书，tg % -tg B =2, / ACB=90 .(1) 求点C的坐标；(2) 求抛物线的解析式；(3) 若抛物线白顶点为P,求四边形ABPC勺面积.参考答案图 13-3-21一、 填空题,1 O 11 11. y =-(x+2) , y =-(x+2) -3 ; 2. x = -,- ; 3. y = (x + 3) -9; 4.y = -2(x-2)2+2 ; 5.互为相反数；6.y 轴，左，右；7.下，x=-1,(-1,-3), x>-1 ; 8.四，增大；9.向上，向下，4ac -b2a 4a2a10 .

16、向下，(h,0 ), x=h;11 .-1 , -2;31.解法一：依题意，设 M (xi, 0), N(X2, 0),且 Xi?X2,则 Xi, X2为方程 x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，二x1 +x2 = -2a , x1 x2 = -2b +1.Xi, x2又是方程x2+(a-3)x+b2-1 =0的两个实数根，xi+x2=a-3 , xi - x2=1-b2.，2a = a-3, ,22b+1 = 1-b2.解得尸二1,或产二1,、b = 0;、b=2.当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，. .a=1, b=0 舍去.当a=1; b=2时，二次函数y = x

17、2+2x 3和y = x22x + 3符合题意.a=1, b=2.解法二：;二次函数y = x2 +2ax2b+1的图象对称轴为x = -a,二次函数y = -x2 +(a -3)x + b2 -1的图象的对称轴为x =-3 ,2又两个二次函数图象都经过 x轴上两个不同的点 M N, 两个二次函数图象的对称轴为同一直线.a - 3 -a =.2解得a=1.两个二次函数分别为 y = x2 +2x -2b +1 和 y = -x2 - 2x + b2 -1.依题意，令y=0,得2x +2x -2b +1=0,一 x2 2x b2 -1 = 0.+得b2 -2b =0.解得bi =0,b2 =2.

18、”1,或3=1,:b =0;b = 2.当a=1, b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，. .a=1, b=0 舍去.当a=1, b=2时，二次函数为y = x2+2x-3和y = x2-2x+3符合题意.a=1, b=2.32.解：: y = ax2+bx+c的图象与x轴交于点B （x1，0）, C （先，0）,bcx1 x2 = 一 ，x1 x2 = .aa又 x12 +x2 =13即（x1 +x2）2 -2x1x2 =13,（-）2 2 c =13 .a a又由y的图象过点A （2, 4）,顶点横坐标为1 ,则有 24a+2b+c=4,b 1-=. 2a 2解由组成的方程组得a=

19、-1,b=1,c=6.y=-x2+x+6.与x轴交点坐标为（-2, 0）, （3, 0）.与y轴交点D坐标为（0, 6）.设y轴上存在点P,使彳# PO以 DOC则有（1） 当 B （-2, 0）, C （3, 0）, D （0, 6）时，有OB OP“ 八,OB =2,OC =3,OD = 6 .OC OD.OP=4 即点 P坐标为（0, 4）或（0, -4）.当P点坐标为（0, 4）时，可设过P, B两点直线的解析式为y=kx+4.有0=-2k-4.得k=-2.y=-2x-4.或OB =OP,OB =2,OD -6,OC -3.OD OC.OP=1这时P点坐标为（0, 1）或（0, -1）

20、.当P点坐标为（0, 1）时，可设过P, B两点直线的解析式为y=kx+1.有0=-2k+1.得k = 1.2.1，y x 1.2当P点坐标为（0, -1 ）时，可设过 巳B两点直线的解析式为y=kx-1 ,有0=-2k-1kJ2(2)当 B (3, 0), C (-2, 0),D (0, 6)时，同理可得y=-3x+9 ,或y=3x-9,或y = _1X +1 ,3或yX 一1.333.解:(1)在直线 y=k(x-4)中，令y=0,彳导x=4.A点坐标为(4, 0)./ABC=90 .ACBID ABA(O.,旭=OA ,即 oB=oa OC.OC OB又,:CO=1, OA=4OB2=1

21、X4=4.OB=2(OB=-2 舍去).B点坐标为(0, 2).将点B (0, 2)的坐标代入y=k(x-4)中，得k =.2直线的解析式为：y =x 2.2 解法一：设抛物线的解析式为y = a(x+1)2+h,函数图象过A (4,0), B (0,，0）关x1,x 22),得25a +h =0,a + h =2.解得a = _ 1 ,h_5.1212抛物线的解析式为：y =(x 1)2 岁.1212解法二：设抛物线的解析式为：y = ax2+bx + c,又设点A于x=-1的对称是D.CA=1+4=5,CD=5.OD=6.D点坐标为(-6,0).将点A (4, 0) , B (0, 2)

22、, D (-6 , 0)代入抛物线方程，得16a 4b c = 0,c =2,36a -6b c =0.解得a = - ,b = - ,c = 2 .126抛物线的解析式为：y 工x2x 2.12634.解：(1) A, B的横坐标是方程ax2-3x+c = 0的两根，设)(x2%x1), C 的纵坐标是C.又轴与。相切，OA OB=O2Cx1 x2=c2.又由方程ax2 3x + c = 0 知cXi X2 = 一 , ac2 = c ,即 ac=1. a(2)连结PD交x轴于E,直线PD必为抛物线的又t称轴，连结 ADBD,图 13-3-221AE=AB.2_1_ACB = ADB = A

23、DE =1.2a0,X2 Xi,.9 - 4ac 5AB = x2 - x1 -a aAE 12aED=OC=ctg :=DEAE2(3)设/ PAB=3 ,.p点的坐标为 ,-L又.、元, 12a 4a J在 RUPAE中,5PE =4atgTE.52tgB =tg % .= %./ PAEN ADE./ ADE廿 DAE=90PA和。D相切.35.解：（1）设DGD所在的抛物线的解析式为2y=ax +c,由题意得 G (0, 8), D (15, 5.5)'8 = c,Q.5 = 25a + c.DGD所在的抛物线的解析式为y = - -x2 8.90烈=且 AD=5.5, AC

24、4.AC=5.5X 4=22(米).cc' = 2OC = 2 m(OA +AC) = 2乂(15 + 22 )二74(米).答：cc7的长为74米. ;空=1,BE=4,BC 4BC=16.AB二AC-BC=22-16=6(米)答：AB和A，B，的宽都是6米.(3)在 y = -°x2+8 中当 x=4 时，90137y = _16 8 = 790453719 一7 - (7 - 0.4)0.4545该大型货车可以从 OA (OA)区域安全通过.36 .解：(1) ;。与。外切于原点Q.A, B两点分别位于原点两旁，即a<0, b>0.方程x2 (m+4)x+m

25、+2= 0的两个根a, b异号.ab=m+20,. m>2.(2)当m-2,且m-4时，四边形POQQ是直角梯形.根据题意，计算得S四边形poq2q ='b?(或' a?或1). 1 222m=-4时，四边形POQQ是矩形.根据题意，计算得S四边形porq = 1b2 (或1 a2或1). 1 222(3) ;： = (m 4)2 - 4(m 2) = (m 2)2 4 0方程x2 _(m+4)x +m +2 = 0有两个不相等的实数根.:m>-2,.a + b= m+4A 0, 、ab = m + 2 > 0.a0, b 0.OO与。Q都在y轴右侧，并且两圆

26、内切.37 .解:(1)设A, B两点的坐标分别是(xi, 0)、(x2, 0),A, B两点在原点的两侧，x仇2<0,即-(m+1 <0,解得m-1."2(m-1)2-4 (-1) (m 1)2=4m -4m 81 2= 4(m)72当 m>-1 时，A>0,m的取值范围是m -1.(2) .a ： b=3 ： 1,设 a=3k, b=k (k>0),则x1=3k, X2=-k,.3k-k=2(m-1),3k (-k)= -(m + 1).解得m1 = 2, m2 = 1 .31 4 一人八一 m=-时 xI+x2=-(不合题思，舍去)，33m=2抛物

27、线的解析式是y "X2 x 3.(3)易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A (3, 0),B (-1 , 0)y = px + q ,；4 = p 1 + q, Q = p (-1) + q.1p = 2, 、q = 2.y=2x+2.N,则N点坐标是(0, 2),S. BCM = S. BCNS. MNC与y轴交点坐标是C (0, 3),顶点坐标是M (1, 4).设直线BM的解析式为则解得直线BM的解析式是设直线BMMf y轴交于设P点坐标是(x,y ),当y=4时，P点与M点重合，即当 y=-4 时，-4=-x 2+2x+3,解得1 . 1 . = -11-1

28、12 =1.S 咨BP = 8 s存CM ,1-AB y = 8 1.12 4 y =8.y =4 . y = ±4.x =1 _2、2.满足条件的P点存在.P点坐标是(1, 4), (1+272-4),(1-272-4).38. (1)解：.通口切。于 D, AE=2, EB=6AD2=AE- AB=2X (2+6) =16.AD=4.图 13-2-23EDFH(2)无论点A在Ep上怎么移动(点a不与点e重合),总有：；证法一：连结DB交FH于G.AH是。O的切线,/ HDB= DEB.又. BHlAH, BE为直径，/ BDE=90有/ DBE=90 - / DEB=90- /

29、HDB=/DBH.在DFBR! DHEfr,DF±AB, / DFBh DHB=90 , DB=DB / DBE= DBH ADFEB ADHB. .BH=BF .BHF等腰三角形. BGL FH,即 BDL FH.图 13-3-24证法二：连结DB.AH是。O的切线,/ HDBN DEF.又DF，AB, BHL DH/ EDFh DBH.以BD为直径作一个圆，则此圆必过 F, H两点， /DBHM DFH ./EDFh DFH.ED/ FH.AD ED =.AH FHEDuX BH= BH=y BE=6 BF=BHEF=6y.又. DF是RtzBDE4边上的高，DF。ABDE空=E

30、D 即 ED2 = EF EB.ED EBX2 =6(6 y)即 y =1x2 +6. 6二点A不与点E重合,. ED=x0.A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结 OD 则 ODL PH.OD/ BH.PO =PE +EO = 6+3 = 9,PB =12 ,ODPOBHBH PBOD PBPOBF = BH =4,EF = EB BF = 6 4 = 2 ,由eD=EF EB得2_ 一x =2父6 =12 ,X 0,. x =2 3.二0<X< 2<3.(或由 BH=4=y 代入 y =-1x2+6 中 得 x = 2«) 6故所求函数

31、关系式为y = -；x2+6 (0<X< 2<3)39.解： y=x2m4m 十5、 J 2x-2 m - 4m 十929 .2 = (x 2)x i m _4m 2.二可得 A( -2,0),B m2 一4m :,0 , C 0,-2 m2 -4m -一，2(1) .AB8直角三角形，OC2即4 m2,9 c -94m + I =2父 m上 4m+ i,22化得(m-2)2 =0.m=2.(2) v AC=BC COL AB,AO=B O 即 m2_4m 9=22.一 2( 29 OC =2 m -4m+i = 4<2)过A作AEU BQ垂足为D,AB OC=B CA

32、D.AD -8 .5sin ACB8AD 54图 13-3-25一1(3) Sabc =1|AB co-4m + 9 +2 !, ,2 m2 -4m +- !,=(u 2)u =(u 1)2 -1.u.m2-4m 9_122.当u=1,即m = 2时，S有最小值，最小值为5. 2440.解：(1)OALOB OA： OB=4： 3, OD的半径为 2,OC过原点，OC=4 AB=8.A点坐标为 区0, B点坐标为0,马i15 J< 5 ).oc的圆心c的坐标为(16,-T5 5(2)由 EF是。D切线，OCLEF.CO=CA=CB/ COA= CAO / COB= CBO.RtAAOB

33、RtAOCE RtAFCO.OE _ OC OF _ OC* *,.AB OA AB OBOE =5,OF -20. 3巳直坐标为(5, 0), F点坐标为o,20 < 3 )切线EF解析式为y = /x + 20.33(3)当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为偿，箕4),可得55b 162a 5 ,.2,4ac-b2324a - 54 b = 1,2453224 cx2 x 245 y =329当抛物线开口向上时，顶点坐标为16 12b 162a 54ac - b2 358,4a24 c =524,24一 4x .5综合上述,抛物线解析式为52y 二 一一 x3224 f+ x +或y5J”824541. (1)证明：由1y =2x，y = -x m,x=m, y = m21 、一父点M （一 m,-m）33此时二次函数为y1m3=x24-mx34 m2 1m由联立，消去y,m<3-4，m216 2二一m9二 10.-8m 1-无论m为何实数值，二次函数y