平面向量讲义

1、向量预习1 若菱形ABCD的边长为2,则|AB-CB+ CDl=2若a, b都是单位向量，则|a b|的取值范围是.3. 如图所示，D是厶ABC的边AB的中点，则CD =(用BC、BA表示).4. ei, e2是平面内两个不共线的向量，已知 AB= ei ke2, CB = 2ei + e2, CD = 3ei e2若A, B, D三点共线，则k的值是.5. 已知 0 是厶 ABC 的外心，AB= 6, AC= 10,若AO = x AB+ y AC且 2x+ 10y=5,贝U cos/ BAC=.6. 如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD二xAB+ yAC,则x=, y=.一

2、 P AB AC AB AC 1 口.7. 在 ABC中，已知向量AB与AC满足(=+=) BC = 0且，则AB| |AC|AB| |AC| ABC为角形.8如图，在平行四边形ABCD中，APIBD,垂足为P,且AP= 3,则AP AC =题型：平面向量的概念辨析【例】给出下列命题：若A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB= DC是四边形ABCD为平行四边形 的充要条件；若a= b, b= c,则a= c；a= b的充要条件是|a|= |b|且a II b；若a与b均为非零向量，则|a+b|与|a|+ |b|定相等其中正确命题的序号是变式训练 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由

3、若向量a与b同向，且|a|>|b|,贝U a>b；若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；若|a|=|b|，且a与b方向相同，贝U a= b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；若向量a与向量b平行，贝U向量a与b的方向相同或相反；若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8) 任一向量与它的相反向量不相等平面向量的数量积知识点已知两个非零向量a和b，它们的夹角为0,则数量叫做a和b的数量积 (或内积)，记作 规定：零向量与任一向量的数量积为 两个非零向量a与b垂直的充要条

4、件是 两个非零向量a与b平行的充要条件是 平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积.平面向量数量积的重要性质e a= a e=；(2) 非零向量a，b，a丄b?；(3) 当a与b同向时，a b=；当 a 与 b反向时，a b =，a a =，|a| =；(4) cos 0=； (5)|a b|ai|b|.平面向量数量积满足的运算律ab=交换律)；(2)(司b=(入为实数);(3)(a+ b) c=.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a= (xi, yi), b= (X2, y2),贝U a b= 由此得到2(1) 若 a= (x, y)，则 |

5、a| =或|a|=.设 A(xi, yi), B(x2, y2),则 A、B 两点间的距离 AB|=|AB|=.(3)设两个非零向量 a, b, a= (xi, yi), b= (x2, y2),贝U a丄b?.练习：设a, b, c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有填序号).ac(ab b) c (c ab) b= 0; |ab| |b|v|ab b|; (b c)ab (ab c) b不与c垂直； (3ab+ 4b) (3ab 4b) = 9|ab|2 i6|2题型：求两平面向量的数量积的问题【例】在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD , BC的中点，且AB = 2

6、,ef=/2, cd =诵.若AC Bd = i3,则AD BC的值为.变式训练(i)如图，A, B, C是直线I上三点，P是直线I外一点,若 AB= BC = a,Z APB= 90° / BPC= 45° 则 PA pC=.(用 a 表示)如图，在菱形ABCD中，若AC= 4,则CA AB= (3)在面积为2的厶ABC中，E, F分别是AB, AC的中点,点P在直线EF上，则PC PB+ BC2的最小值是.题型：与向量相关的最值问题1【例】设向量 a, b, c满足|a|= |b|= 1, a b= 2，a c, b c= 60°则|c|的最大值等于(2) 若

7、 a, b, c 均为单位向量，且 ab= 0, (a c) (b c)< 0,则 |a+ b c| 的 最大值为变式训练 (1)已知直角梯形 ABCD中，AD / BC,Z ADC = 90° AD= 2, BC=1, P是腰DC上的动点，贝U |PA+ 3PB|的最小值为.(2) 在厶ABC中，BC = 6, BC边上的高为2,则ABAC的最小值为.(3) 在矩形ABCD中，AB= 1, BC= ,3,点Q在BC边上，且BQ = f，点P在矩形内(含边界)，则APAQ的最大值为.题型：向量面积之比【例】在厶ABC所在的平面上有一点 P,满足PA+ PB+ PC =忑，则厶PBC与厶ABC的面积之比是.变式训练 在厶ABC所在平面上有三点P、Q、R,满足PA+ PB+ PC= AB, QA+ QB+ QC= BC, RA+ RB+ RC= 弘，则厶PQR的面积与厶ABC的面积之 比为._ 3 _i _P ABC内一点，AP = 4AB+ 5AC，则 ABP面积与 ABC面积之比 为.题型：特