三垂线定理逆定理证明和应用求二面角

1、性质判定定理性质线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直PO 平面PAOaPOPAa PAaAOaa平面PAO三垂线定理解题的关键：三垂线定理解题的关键：找三垂！找三垂！怎么找？怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件解题回顾解题回顾PAOaPAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直直直 线线 AP 和和平平面面

2、垂直垂直平面内的直平面内的直线线a和平面一条斜线和平面一条斜线的的射射影影AO垂直垂直平面内的直平面内的直线线a和平面的一和平面的一条条斜斜线线OP垂直垂直PAOaPAOa线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的面内的射射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理PAOaPAOa 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理

3、的逆定理三垂线定理的逆定理PAOaAO 平面PAOaAOPAa PAaPOaa平面PAO例例1. PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点，的中点， 求证：求证：POBDPOABCD证明证明:ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBDPOBDAOAO是是POPO在在平面平面ABCD上的射影上的射影PA平面平面ABCD由三垂线定理：由三垂线定理：二、三垂线定理的应用二、三垂线定理的应用应用应用1.证明线线垂直证明线线垂直A1D1C1B1ADCB例例2.已知：已知：在正方体在正方体AC1中，中， 求证：求证：A1CB1D1，A1CBC1B A D C

4、 A1D1B1C1ExEx：(1)(1)P P是是ABCABC所在平面外一点，若所在平面外一点，若P P点到点到ABCABC各顶点各顶点的距离都相等，则的距离都相等，则P P点在平面点在平面ABCABC内的射影是内的射影是ABCABC的的( )( )(A)(A)外心外心 (B)(B)内心内心 (C)(C)重心重心 (D)(D)垂心垂心(2)P(2)P是是ABCABC所在平面外一点，若所在平面外一点，若P P点到点到ABCABC各边的距离各边的距离都相等，且都相等，且P P点在平面点在平面ABCABC内的射影在内的射影在ABCABC的内部，则射的内部，则射影是影是ABCABC的的( )( )(A

5、)(A)外心外心 (B)(B)内心内心 (C)(C)重心重心 (D)(D)垂心垂心(3)P(3)P是是ABCABC所在平面外一点，连结所在平面外一点，连结PAPA、PBPB、PCPC，若，若PAPA BC BC ，PBPB ACAC，则，则P P点在平面点在平面ABCABC内的射影是内的射影是ABCABC的的( ( ）(A)(A)外心外心 (B)(B)内心内心 (C)(C)重心重心 (D)(D)垂心垂心射影定位（三棱锥定位）射影定位（三棱锥定位）ABD用三垂线定理及逆定理求二面角1三垂线定理及逆定理三垂线定理及逆定理PAOa定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么

6、这条直线就和这条斜线垂直。POOAPAaPAaaOA是在 内的射影且b三垂线定理及逆定理包含三垂线定理及逆定理包含四四线线一一面以后称这个平面为面以后称这个平面为基面基面一、复习导入逆定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。2什么是二面角的平面角？ 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角lPAB3作二面角的平面角主要有哪几种方法？“定义法”lab“垂面法”lAHB“三垂线法” 以后我们还将学习“投影法”、“空间向量法”和“异面直线距离法”等方法，今天我们主要学习用三垂线定理求

7、二面角的大小。二、新课学习 实例分析例例1.1.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的大小AA1BB1CC1DD1E思路分析：思路分析：?定基面平面BCD定垂线 过E作EFCD于FF找斜线or射影 作FGBD于GG解：过E作EFCD于F，过F作FGBD EGF为二面角EBDC的平面角BC = 1，CD = 2，11 2122 55BC CDGFBD而EF = 1，在EFG中tan5E FE G FG F所求二面角大小为arctan 5 ABCDA1B1C1D1是长方体， EFCD，EF平面BCD，且F为CD中点，

8、又 FGBD， EGBD于G，连结EG，则EGBDM射影or斜线自现 连结EG小结：小结：-垂面内垂线在哪儿?取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OEO为为 AC 中点中点， ABC=90OEBC且且 OE BC2122tanPEO例例2 2如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABCP-ABC的顶点的顶点P P在底面在底面ABCABC上的射影是底面上的射影是底面RtRtABCABC斜边斜边ACAC的中点的中点O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= ，求二面角，求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。2PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角OEAB ，因此

9、因此 PEAB解：解：EOP实例分析. EOABPC在在RtPBE中中，BE ,PB=1，PE2321在RtPOE中，OE , PO 222122所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为小结：小结：一定一定?,二定二定? 三找三找?自现自现L随便随便垂线在垂线在-?课堂练习练习练习1如图，如图，M是正方体是正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱AB的中点，求二面的中点，求二面 角角A1MCA的大小的大小ABCDMA1B1C1D1NH思路分析：找基面找基面的垂线AA1作平面角作AHCM交CM的延长线于H平面ABCD解：作AHCM交CM的延长线于H，连 结A1HA1A平面AC，A

10、H是A1H 在平面AC内的射影，A1HCM，A1HA为二面角A1CMA的平面角设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在直角AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = 15AM ANAHMN5211tan5A AAHAAH连结A1Harctan5二面角A1CMA的大小为AEDBC46练习练习2 2.(2012.(2012南宁市第南宁市第1 1次适应测试题次适应测试题) )如图，在多面体ABCDE中，DB平面ABC，AE/DB，且ABC 是边长为2的等边三角形，AE1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为 (1).在线段DC上是否存在一点F，使得EF平面DBC？若存在，求线段DF的长

11、度，若不存在，说明理由； (2).求二面角求二面角DECB的平面角的余弦值的平面角的余弦值.AEDBCOF2221(2)AEDBCGFH2212(1)课堂练习解答过程（略）解答过程（略）课堂练习练习练习3 3(考越试卷2) )在如图所示的空间几何体中在如图所示的空间几何体中, ,平面平面ACDACD平面平面ABC, ABC, AB=BC=CA=DA =DC=BE=2,BE=DC=BE=2,BE和平面和平面ABCABC所成的角为所成的角为6060度度, ,且点且点E E在平面在平面ABCABC上的射影落在上的射影落在ABCABC的平分线上的平分线上. .第第(2)问思路分析：问思路分析：定基面:

12、找基面的垂线:平面ABC取AC的中点O，连结DOBO,过点E作EFBO,垂足为F找射影:过点F作FGBC,垂足为G解答过程（略）解答过程（略）斜线自现:连结EG(1).求证:DE/平面ABC； (2).求二面角求二面角EBCA的余弦值的余弦值.BCDEA222222BCDEA2222OFG三、课时小结三、课时小结 求二面角的大小关键是选取恰当的位置作出二面角的平面角，而用三垂线定理求作二面角的平面角是最常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤： （1）一定基面，二定二定垂线垂线，三找斜线或射影，射影或斜线自现，L随便；（2）垂线垂线在垂面垂面内四、课后作业四、课后作业2已知ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点, 且PA=