第二章3立方根》讲解与例题(新版)北师大版

1、1第二章 3 立方根讲解与例题驀础知陶H超凍.耙厳性j(; H -T X Jf F J J J f JP K.% J X K I% tJ1立方根的概念及表示方法(1) 立方根的概 念：如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立. .3. . .3327 一3 方根(也叫做二次方根).如 2 = 8，那么 2 就叫做 8 的立方根，由于 一乙=，所以一-28 227叫做一 ；的立方根.8(2) 立方根的表示方法：a的立方根可表示为习a”，读作三次根号a”，其中3”是根指数，“a”是被开方数要注意，这里的根指数“一 3”不能省略例如：2 的立方根可3表示为 A,；2.哦，判断一

2、个数x是不是某数a的立方根，就看X3是不是等于a. 对啊！求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根【例 1 1】求下列各数的立方根:(1)8 ; (2) 125; (3) 27 ； (4) 0.064 ; (5)0 ; (6) 6.3(1)因为 23= 8,所以 8 的立方根是 2，即.：8 = 2.3因为(一 5)3= 125，所以一 125 的立方根是 一 5，即 一 125= 5.131 1 1因为 3 = 27，所以 27 的立方根是 3，即因为(一 0.4)3= 0.064，所以一 0.064 的立方根是3因为 03= 0，所以 0 的立方根是 0,即 0= 0.

3、3(6) 6 的立方根是-J 6.谈重点化简立方根完全立方数的立方根是可以化简的，的，只需表示出来即可，如(6).【例 1 2】下列语句正确的是(A. 64 的立方根是 2C.紧的立方根是土5216 6解析:A因为寸 64 = 8,而 2 的立方等于 8,故 8 的立方根是 2.解:1_= 127= 330.4，即一 0.064 = 0.4.如(1)(5);非完全立方数的立方根是不可以化简)B. 3 是 27 的立方根D. ( 1)2的立方根是一 12Bx因为一 3 的立方是一 27, 3 是 27 的立方根是错误的.Cx51251255因为6的立方是丽，所以丽的立方根是6，Dx因为(一 1)

4、2= 1,它的立方根是 1,而不是一 1.答案：A2.立方根的性质(1) 立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0 的立方根是 0.(2) 开立方求一个数的立方根的运算， 叫做开立方.如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.【例 2】 有下列命题：负数没有立方根；一个数的立方根不是正数就是负数； 一个正数或负数的立方根和这个数同号，0 的立方根是 0;如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1 和 0.其中错误的是().A.B.C.D .解析：一个正数的立方根 是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0 的立方根是0.立方根等于本身的数有 0

5、,1 和1.所以都是错的，只有正确.答案：B辨误区 1,0 , 1 的立方根深入理解概念，特别地，要关注1,0， 1 的立方根的情况.3立方根的应用立方根在日常生活中应用很广泛，如求物体的体积等.【例 3】某金属冶炼厂，将 27 个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方 体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160 cm、80 cm 和 40 cm，求原来立方体钢锭的边长为多少？分析：原来立方体钢锭体积=在炉中熔化后浇铸成的长方体钢锭的体积.380解：设立方体的边长为xcm，贝 U 27x= 160X80 x40.解得x=3.3答：原来立方体钢锭的边长为cm.3点评：本题是一个等

6、积变形问题，禾 U 用体积不变列方程即可.基本方法廉本能力_ 丄竺!竺竺旦已也态:話 .亍. .4.立方根的化简公式3333，-a=a；,a3=a； (.a)3=a.33如果x3=a,那么x就是a的立方根，即x=,a，所以x3= (.a)3=a.同样，根据定义，3a3是a的三次方，所以a3的立方根就是a,即.a3=a.333设x3=a,则(一x)3= x3=a.根据立方根的定义可知，x=a,x=，J a.，一a=3,a.3要深入理解立方根的性质，必须掌握以上性质公式.4【例4】化简:33立方根，再求其相反数，因为：-a=:a.求带分数的立方根，首先要把带分数化成假分数再求.333解：:一 64

7、=64= #4 = 4.33(2)0.000 125 =：0.053= 0.05.思维拓展创新应用5 灵活利用立方根与平方根解题如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中2x=a,那么x叫做a的平方根.立方根：如果x3=a,那么x叫做a的立方根.表示方法不同.正数3根记为a.表示平方根时，根指数 2 一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数3 绝对不能省略，否则就与二次根式混淆了 .读法不同.正数a的平方根土 ，咕，读作“正、3负根号a”.数a的立方根归读作“三次根号a或a的立方根”.被开方数的取值范围不3同.在平方根土：a中，被开方数a是非负数，即a0但在a中，a可以是任意的数. 根的个

8、数不同.一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0 的平方根是 0，负数没有平方根.任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是 0.(2)联系：求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算.【例 5 1】 已知.a3+ 64 + |b3 27| = 0，求(ab)b的立方根.分析：由非负数的性质求出a,b即可.解：由题意，得a+ 64= 0, |b 27| = 0,于是a+ 64= 0,b 27 = 0.解得a= 4,b= 3.因此(ab)b= ( 4 3)3= 343.33故(ab)b的立方根为

9、.(ab)b= . 343 = 7. 析规律非负数的性质几个非负数的和为 0,则每个非负数都为 0.33(1) 64; (2) .0.000 125分析：求一个负数的立方根，可以根据立方根的定义来求,也可以转化成它的绝对值的平方根与立方根是两个很相近的概念，很容易引起混淆而造成解题错误.(1)区别：定义不同.平方根：如果a的平方根记；(3)5【例5 2已知引 5x+ 32 = 2,求x+ 17 的平方根.分析：由立方根的定义先求出X的值，再求x+ 17 的平方根.解：由立方根的定义，得35x+ 32= ( - 2).解得x=-8,则x+ 17= 9.故x+ 17 的平方根为土 3.变式题：(1) 一个数的两个平方根分别为3a+ 1 和a+ 11,求这个数的立方根;已知 3m 9 的立方根为 3，求 2m 3 的立方根；已知 2x- 1 的平方根为土 3,3y- 2 的立方根为