二次函数与等腰三角形、直角三角形的综合

1、二次函数的综合应用一、典例精析考点一：二次函数与方程1.（2011广东）已知抛物线与x轴有交点(1)求c的取值范围；(2)试确定直线ycx+l经过的象限，并说明理由解：（1）抛物线与x轴没有交点 0，即12c0 解得c(2)c 直线y=x1随x的增大而增大，b=1直线y=x1经过第一、二、三象限2.(2011南京)已知函数y=mx26x1（m是常数）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值解：当x=0时，所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）当时，函数的图象与轴只有一个交点；当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两

2、个相等的实数根，所以， 综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9考点二：二次函数与最大问题3、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点.（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：（其中是原点）；（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）点与在二次函数图像上，解得，二次函数解析式为.（2）过作轴于点，由（1）得，则在中，又在中， ，.（3）由与，可得直线的解析式为， 设，则，.当，解得 （舍去），.当，解得 （舍去），.综上所述，存在满足条件的点，它们

3、是与.4.（2011安顺）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值解：（1）b = 解析式y=x2-x-2. 顶点D (, -).（2）当x = 0时y = -2, C（0，-2），OC = 2。B (4,0) OA = 1, OB = 4, AB = 5. ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。解法一

4、：设抛物线的对称轴交x轴于点E.EDy轴, OCM=EDM,COM=DEM COMDEM. ，m =解法二：设直线CD的解析式为y = kx + n ,则，解得n = 2, . . 当y = 0时， ， . .5、（09江津）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1

5、)将A(1，0)，B(3，0)代中得 抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称 直线BC与的交点即为Q点， 此时AQC周长最小 C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解 Q(1，2)（3）答：存在理由如下：设P点 若有最大值，则就最大，当时，最大值最大 当时，点P坐标为6（2010常德）如图，已知抛物线与轴交于A (4,0) 和B(1,0)两点，与轴交于C点（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EF/AC交BC于F，连接CE，当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E点的坐标;xyOBCA（3）若P为抛物线上A、C两点

6、间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标解：（1）故所求二次函数的解析式为（2）SCEF=2 SBEF, EF/AC, ,BEFBAC, 得E点的坐标为(,0).（3）的解析式为若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（则有：即当时，线段取大值，此时点的坐标为（2，3）考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形7.（2011湘潭）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符OCBA合

7、条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3（2）y=-x2+2x+3= ，该抛物线的对称轴为x=1设Q点坐标为（1，m），则，又.当AB=AQ时， ，解得：，Q点坐标为（1，）或（1，）；当AB=BQ时，解得：，Q点坐标为（1，0）或（1，6）；当AQ=BQ时，解得：，Q点坐标为（1，1）抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使ABQ是等腰三角形8（2010鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴

8、交与点C（1）求点C的坐标（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标解：（1）点C的坐标是（4，0）；（2）y= x2+x+2（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t有2t=BC=，t=若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQBC交

9、CB于点D，则有CD=PD由ABCQDC，可得出PD=CD=，解得t=若PQ=PC，如图所示，过点P作PEAC交AC于点E，则EC=QE=PC，t=（-t），解得t=（4）当CQ=PC时，由（3）知t=，点P的坐标是（2，1），直线OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，直线OP与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）9、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边

10、AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（4，5），解得：b=2，c=3；（2）如图：直线AB经过点A（1，0），B（4，5），直线AB的解析式为：y=x+1，二次函数y=x22x3，设点E（t，t+1），则F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）

11、=（t32）2+254，当t=32时，EF的最大值为254，点E的坐标为（32，52）；（3）如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD可求出点F的坐标（32，），点D的坐标为（1，4）S四边形EBFD=SBEF+SDEF=12×254×（432）+12×254×（321）=758；如图：）过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3）则有：m22m2=52，解得：m1=，m2=，P1（，52），P2（，52），）过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3）则有：n22n2=154，解得：n1=12，n2=32（与点F重合，舍去），

12、P3（12，154），综上所述：所有点P的坐标：P1（，52），P2（，52），P3（12，154）能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形二、能力提升1（09深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说

13、明理由.解： B（1，）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此如图，抛物线的对称轴是直线x=1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小.CBAOyx设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=1时，因此点C的坐标为（1，）.DBAOyxP如图，过P作y轴的平行线交AB于D. 当x=时，PAB的面积的最大值为，此时.2、（2011菏泽）如图，抛物线y=12x2+bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD

14、的值最小时，求m的值解：（1）把点A（1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=12x2+bx2，整理后解得，所以抛物线的解析式为（2分）顶点D；（3分）（2）AB=5AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形（6分）（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小设抛物线的对称轴交x轴于点E，COMDEMOMEM=OC'ED，m=2441（10分）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质

15、，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形3.（2010孝感）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如图（2），设抛物线y=a(xm6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若OAM=90°，求a、h、m的值. 解：（1）四边形ABCD是矩形，AD=BC=10，AB=CD=8，D=DCB=ABC=90°.由折叠对称性：AF=AD=1

16、0，FE=DE.在RtABF中，BF=.FC=4.在RtECF中，42+（8-x）2=x2，解得x=5.CE=8-x=3.B（m，0）,E(m+10,3),F（m+6,0）.（2）分三种情形讨论：若AO=AF，ABOF，OB=BF=6.m=6.若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.若AO=OF，在RtAOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，（m+6）2= m2+64，解得m=.综合得m=6或4或.（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).依题意，得，解得M（m+6，1）.设对称轴交AD于G. G（m+6,8），AG=6，GM=8（1）=9.OAB+BAM=90°，BAM+MAG=90°， OAB=MAG.又ABO=MGA=90°， AOBAMG.，即. m=12.4（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C（1）求ACB的度数；（2）已知抛物线yax2bx3经过A、B两点，求抛物线的解