线性代数教案

1、线性代数授 课 教 案代数几何教研室第一章 行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算常用的行列式计

2、算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。§ 1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的因此我们首先讨论解方程组的问题设有二元线性方程组(1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 a12a210 时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，

3、我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源我们称4个数组成的符号为二阶行列式它含有两行，两列横的叫行，纵的叫列行列式中的数叫做行列式的元素从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成，如果记，则当D0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成， ， (3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的分子中的行列式，x

4、1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的例1 用二阶行列式解线性方程组解：这时 ， ，因此，方程组的解是 ，对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号例2 令 ，当 D0时，(4)的解可简单地表示成， (6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似例3 解线性方程组解：， ， 所以，例4 已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)

5、解：，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识思考题：当a、b为何值时，行列式§ 1.2 排列在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识定义1由数码1，2，n组成一个有序数组称为一个n级排列例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个数字由小到大的n级排列1234n 称为自然序排列定义2

6、在一个n级排列i1i2in中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面(is<it)， 则称it与is构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i1i2in)例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N(3412)=4同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7容易看出， 自然序排列的逆序数为0定义3 如果排列i1i2in 的逆序数N(i1i2in )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列例如，排列3412是偶排列排列52341是奇排列 自然排列123n是偶排

7、列定义4 在一个n级排列i1isitin中， 如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列i1itisin，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412一般地，有以下定理：定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：a1a2al i j b1b2bmc1c2cn将相邻两个数i与j作一次对换，则排列变为a1a2al j i b

8、1 b2bmc1c2cn显然对数a1，a2，al，b1，b2，bm和c1c2cn来说，并不改变它们的逆序数但当i<j时， 经过i与j的对换后，排列的逆序数增加1个；当i>j时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性再讨论一般情况，设排列为a1a2al i b1b2bmjc1c2cn将i与j作一次对换，则排列变为a1a2al j b1b2bmi c1 c2cn这就是对换不相邻的两个数的情况但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列a1a2alb1b2bmi j c1cn然后将数j与

9、它前面的数i，bm，b1作m+1次相邻两数的对换而成而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同定理2 在所有的n级排列中(n2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为个证明：设在n!个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个对这p个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q个，所以pq；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有qp，所以q = p，即奇

10、排列与偶排列的个数相等又由于n级排列共有n!个，所以q + p = n!，定理3 任一n级排列i1i2in都可通过一系列对换与n级自然序排列12n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性证明：对排列的级数用数学归纳法证之对于2级排列，结论显然成立假设对n1级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立若in=n，则根据归纳假设i1i2in1是n1级排列，可经过一系列对换变成12(n1)，于是这一系列对换就把i1i2in变成12n若inn，则先施行in与n的对换，使之变成i1'i2''i'n1n，这就归结成上面的情形相仿地，12n也可经过一系列对换变

11、成i1i2in，因此结论成立因为12n是偶排列，由定理1可知，当i1i2in是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i1i2in具有相同的奇偶性思考题：1决定i、j的值，使(1) 1245i6j97为奇排列；(2) 3972i15j4为偶排列2排列n (n1)(n2)321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？§ 1.3 n阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手引出n阶行列式的定义已知二阶与三阶行列式分别为其中元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示此元素位于第j列，称为列标我们可以从中发现以

12、下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义定义1 由排成n行n列的n2个元素aij (i，j=1，2，n)组成的符号称为n阶行列式它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶

13、排列时，则取正号；为奇排列，则取负号于是得 (1)其中表示对所有的n级排列j1j2jn求和(1)式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开式称为行列式的一般项当n=2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的当n=1时，一阶行列为|a11|= a11如当n=4时，4阶行列式表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项根据n阶行列式的定义，4阶行列式为例如a14a23a31a42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N(4312)=5，所以该项取负号，即a14a23a31a42是上述行

14、列式中的一项为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题例1 在5阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514因 N(23514)=4故这一项应取正号例2 写出4阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项解：包含因子a11a23项的一般形式为按定义，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的项只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42但因 N(1324)=1为奇数N(1342)=2为偶数所以此项只能是 a11a23a32a44例3 计算行列式解 这是一个四阶行列式，按行列式的定

15、义，它应有4!=24项但只有以下四项adeh，adfg，bceh，bcfg不为零与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1和N(2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即= adehadfgbceh+bcfg例4 计算上三角形行列式其中aii (i=1， 2， n)解：由n阶行列式的定义，应有n!项，其一般项为但由于D中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可在D中，第n行元素除ann外，其余均为所以jn=n；在第n1行中，除an1n1和an1n外，其余元素都是零

16、，因而jn1只取n1、n这两个可能，又由于ann、an1n位于同一列，而jn=n所以只有jn1 = n1这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a11a22ann一项不等于零而这项的列标所组成的排列的逆序数是N(12n)=0故取正号因此，由行列式的定义有=a11a22ann即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积同理可求得下三角形行列式=a11a22ann特别地，对角形行列式=a11a22ann上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积例5 计算行列式解 这个行列式除了a1na2n1an1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n级排列为n(n1)21

17、，N(n(n1)21)= (n1)+ (n2)+2+1=，所以=同理可计算出=由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0在n阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n个元素的行标排成自然序排列，即事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，一般地，n阶行列式的项可以写成 (2)其中i1i2in，j1 j2jn是两个n阶排列，它的符号由下面的定理来决定定理1 n阶行列式的一般项可以写成 (3)其中i1i2in，j1j2jn都是n级排列证明：若根据n阶行列式的定义来决定(2)的

18、符号，就要把这n个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排成 (4)于是它的符号是现在来证明(1)与(3)是一致的我们知道从(2)变到(4)可经过一系列元素的对换来实现每作一次对换，元素的行标与列标所组成的排列i1i2in，j1j2jn就同时作一次对换，也就是N(i1i2in)与N(j1j2jn)同时改变奇偶性，因而它的和N(i1i2in)+N(j1j2jn)的奇偶性不改变这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变(3)的值，因此在一系列对换之后有这就证明了(1)与(3)是一致的例如，a21a32a14a43是4阶行列式中一项，它和符号应为(1)N(2314)+N(1243)= (1)

19、2+1= 1如按行标排成自然顺序，就是a14a21a32a43，因而它的符号是(1)N(4123)=(1)3= 1同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项中元素的列标排成自然顺序123n，而此时相应的行标的n级排列为i1i2in，则行列式定义又可叙述为思考题：1如果n阶行列式所有元素变号，问行列式的值如何变化？2由行列式的定义计算f(x)=中x4与x3的系数，并说明理由§ 1.4 行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算将行列式D的行列互换

20、后得到的行列式称为行列式D的转置行列式，记作DT，即若， 则反之，行列式D也是行列式DT的转置行列式，即行列式D与行列式DT互为转置行列式性质 行列式D与它的转置行列式DT的值相等证：行列式D中的元素aij(i， j=1， 2， ，n)在DT中位于第j行第i列上，也就是说它的行标是j， 列标是i，因此，将行列式DT按列自然序排列展开，得这正是行列式D按行自然序排列的展开式所以D=DT这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然性质 交换行列式的两行(列)，行列式变号证：设行列式将第i行与第s行(1isn)互换后，得到行列式显然，乘积在行列式

21、D和D1中，都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，根据§3 定理，对于行列式D，这一项的符号由决定；而对行列式D1，这一项的符号由决定而排列1isn与排列1sin的奇偶性相反，所以= 即D1中的每一项都是D中的对应项的相反数，所以D= D1例 计算行列式解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得将第一、五列互换，得推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零证：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D，但由性质有D= D， 所以D=0性质 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面即证：由行列式的定义有左端右端此性质也可表述为：用数k乘行列式

22、的某一行(列)的所有元素，等于用数k乘此行列式推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零证：由性质和性质的推论即可得到性质 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即证：左端右端性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变即 i行×k加 到第s行 证：由性质右端=+=k×+=左端作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子例2 计算行列式解：这个行列式的特点是各行个数的和都是，我们把第、各列同时加到第列，把公因子提出，然后把第行×(1)加到第、行

23、上就成为三角形行列式具体计算如下：例3 计算行列式解：例4 试证明：证：把、列同时加到第列上去，则得例5 计算n+1阶行列式解：将D的第列、第列、第n+1列全加到第列上，然后从第列提取公因子得×(a1)×(a2)×(an) = =例6 解方程解法一：所以方程的解为x1=0， x2=1， ， xn2=n3， xn1=n2解法二：根据性质的推论，若行列式有两行的元素相同，行列式等于零而所给行列式的第行的元素全是，第行，第行，第n行的元素只有对角线上的元素不是，其余均为因此令对角线上的某个元素为，则行列式必等于零于是得到1x=12x=1(n2)x=1(n1)x=1有一成

24、立时原行列式的值为零所以方程的解为x1=0， x2，=1， xn2=n3， xn1=n2例7 计算n阶行列式解：将第1行乘以(1)分别加到第、n行上得从第一列提出xa1，从第二提出xa2，从第n列提出xan，便得到由并把第、第、第n列都加于第1列，有 例8 试证明奇数阶反对称行列式证：D的转置行列式为从DT中每一行提出一个公因子(1)，于是有，但由性质1知道DT=D D=(1)nD又由n为奇数，所以有D= D， 即 2D=0， 因此 D=0思考题：1证明下列各题： 2计算下列n阶行列式：； § 1.5 行列式按一行(列)展开本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，

25、从而得到计算行列式的另一种基本方法降阶法为此，先介绍代数余子式的概念定义 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列后，余下的元素按原来的位置构成一个n1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作ij元素aij的余子式ij前面添上符号(1)i+j称为元素aij的代数余子式，记作Aij即Aij(1)i+jMij例如：在四阶行列式 中a23的余子式是M23=而 A23=(1)2+3M23= 是a23的代数余子式定理 n阶行列式D等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1，2，n)或 D=a1jA1j+a2jA2j+anj

26、Anj (j=1，2，n)证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证1°先证按第一行展开的情形根据性质有 按行列式的定义 同理 所以 D=a11A11+a12A12+a1nA1n2°再证按第i行展开的情形将第i行分别与第i1行、第i2行、第行进行交换，把第i行换到第行，然后再按°的情形，即有定理 n阶行列式D中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)或 a1jA1t+a2jA2t+anjAnt =0 (jt)证：只证行的情形，列的情形同理可证考虑辅助行列式这个行列式

27、的第i行与第s列的对应元素相同，它的值应等于零，由定理1将D1按第s行展开，有D1= ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)定理和定理可以合并写成ai1As1+ai2As2+ainAsn= 或 a1jA1t+a2jA2t+ajnAnt = 定理1表明，n阶行列式可以用n1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶这在行列式的计算中是一种常用的方法例 计算行列式 解：D的第四行已有一个元

28、素是零，利用性质，有例 计算n阶行列式解：按第一列展开得例 计算，其中 xy解：根据定理1，把行列式适当地加一行一列，然后利用性质，有加到各行第2列提出因子x，第3列提出x，第4列提出y，第5列提出y，得例 试证 (1)式中左端叫范德蒙行列式结论说明，n阶范德蒙行列式之值等于a1， a2， ， an，这n个数的所有可能的差aiaj(1j<in)的乘积证明：用数学归纳法1°当n=2时，计算阶范德蒙行列式的值：可见n=2时，结论成立2°假设对于n1阶范德蒙行列式结论成立，来看n阶范德蒙行列式：把第n1行的(a1)倍加到第n行，再把第n2行的(a1)倍加到第n1行，如此继续

29、作，最后把第1行的(a1)倍加到第2行，得到 后面这个行列式是n1阶范德蒙行列式，由归纳假设得于是上述n阶范德蒙行列式等于根据数学归纳法原理，对一切n2，(1)式成立例 计算n阶行列式解：把第一行乘以x加到第二行，然后把所得到的第二行乘以x加到第三行，这样继续进行下去，直到第n行，便得到=例6 证明证 将上面等式左端的行列式按第一行展开，得本例题的结论对一般情况也是成立的，即思考题：1计算下列行列式：2证明下列等式：，(ai0)；§ 1.6 克莱姆法则前面我们已经介绍了n阶行列式的定义和计算方法，作为行列式的应用，本节介绍用行列式解n元线性方程组的方法克莱姆法则它是§中二、

30、三元线性方程组求解公式的推广设含有n 个未知量n个方程的线性方程组为(1)它的系数aij构成的行列式称为方程组(1)的系数行列式定理 (克莱姆法则) 如果线性方程组(1)的系数行列式D，则方程组(1)有唯一解： (2)其中Dj (j=1，2，n，)是D中第j列换成常数项b1，b2，bn，其余各列不变而得到的行列式这个法则包含着两个结论：方程组(1)有解，解唯一下面分两步来证明第一步：在D的条件下，方程组(1)有解，我们将验证由(2)式给出的数组确实是方程组(1)的解第二步：若方程组有解，必由(2)式给出，从而解是唯一的证：首先将代入(1)的第i个方程有： (3)把D1按第列展开，D2 按第2列

31、展开，Dn按第n列展开，然后代入(3)式有：左端 右端这样证明了是(1)的解其次，证明方程组若有解，其解必由(2)式给出，即解是唯一的即 假设x1=k1， x2=k2，xn=kn是方程组(1)的一个解，证明必有下式因x1=k1， x2=k2， ， xn=kn是(1)的解，把它代入(1)有(1)将系数行列式D的j列的代数余子式A1j， A2j， ， Anj乘等式两边，得a11A1jk1+ a1jA1jkj+ a1nA1jkn=b1A1ja21A2jk1+ a2jA2jkj+ a2nA2jkn=b2A2j an1Anjk1+ anjAnjkj+ annAnjkn=bnAnj把这n个等式相加，并利用

32、行列式按一列展开定理，得即 因为 D，所以由于在上述证明过程中j可取遍1，2，n，于是有所以方程组的解是唯一的例 解线性方程组解：因为所以方程组有唯一解，又即得唯一解：注意：用克莱姆法则解线性方程组时，必须满足两个条件：一是方程的个数与未知量的个数相等；二是系数行列式D当方程组(1)中的常数项都等于时，称为齐次线性方程组即称为齐次线性方程组显然，齐次线性方程组(3)总是有解的，因为x1=0， x2=0， xn=0必定满足(3)，这组解称为零解，也就是说：齐次线性方程组必有零解在解x1=k1， x2=k2， xn=kn不全为零时，称这组解为方程组(3)的非零解定理2 如果齐次线性方程组(3)的系

33、数行列式D，则它只有零解证：由于D，故方程组(3)有唯一解，又因为(3)已有零解，所以(3)只有零解定理的逆否命题如下：推论 如果齐次线性方程组(3)有非零解，那么它的系数行列式D例2 若方程组：只有零解，则a、b应取何值？解：由定理知，当系数行列式D时，方程组只有零解，所以，当a1且b时，方程组只有零解例3 设f(x)=c0+c1x+cnxn，用克莱姆法则证明：若f(x)有n+1个不同的根，则f(x)是一个零多项式 证明：设a1，a2，an，an+1是f(x)的n+1个不同的根，即这是以c0，c1，c2，cn为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式为此行列式是范德蒙行列式，由于aiaj(ij)

34、，所以，根据定理知，方程组只有唯一零解即c0= c1= c2= cn=0故f (x)是一个零多项式思考题：当l为何值时，齐次线性方程组 (1) 仅有零解； (2) 有非零解§ 1.7 数域线性代数的许多问题在不同的数的范围内讨论会得到不同的结论例如，一元一次方程 2x=1 在有理数范围内是有解的：x=但在整数范围内，方程2x=1是无解的为了深入讨论线性代数中的某些问题，需要介绍数域的概念定义 如果数集P满足：(1) ÎP，ÎP(2) 数集P对于数的四则运算是封闭的，即P中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍然在P中，则称数集P是一个数域用上述定义容易验证，

35、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域，今后称它们为有理数域Q、实数域R、复数域C另外还有一些其它的数域，例，形如 (a， b为任意有理数) 的数构成的数集是一个数域整数集不是数域，数集| a， b为任意整数也不是数域可以证明：最小的数域是有理数域我们约定在以后的各章里，所讨论的问题都是在任何一个数域里进行的第二章 线性方程组说明与要求:本章的内容分向量和线性方程组两部分向量部分是由线性组合、线性相关(无关)出发，进而讨论向量中线性无关向量的个数，从而引出对向量组的秩和矩阵的秩的研究要理解向量的线性相关、线性无关、向量的秩和矩阵的秩等概念对于向量的线性相关性的讨论，无论是证明、判断还是计算，关

36、键在于深刻理解基本概念，搞清楚它们之间的联系要学会用定义来作推导论证向量组的秩与矩阵的秩之间有密切的联系，一个向量组可有另一个向量组线性表出时，向量组的秩之间有相互制约的关系因此，对于秩的问题要灵活运用条件，注意知识点的转化求秩、求极大无关组的重要方法是初等变换应熟练掌握此方法方程组部分的主要内容是利用向量的理论，对方程组解的情况以及解的结构进行讨论要掌握方程组解得判定定理，了解线性方程组的特解，导出组的基础解系和一般解的概念上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数

37、相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n+1个n阶行列式由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大本章讨论一般的n元线性方程组的求解问题一般的线性方程组的形式为 (I)方程的个数m与未知量的个数n 不一定相等，当m=n时，系数行列式也有可能等于零因此不能用克莱姆法则求解对于线性方程组(I)，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？(2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？(3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？。本章重点：向量的线性关系；解线性方程组；秩；线性

38、方程组解的判定及结构.。本章难点：向量的线性相关及无关的性质；线性方程组解的结构.§ 2.1 消元法一. 消元法解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上这个方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元线性方程组的最有效的方法下面通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组例1求解线性方程组(1)解：交换第一、三两个方程的位置： 第一个方程乘以(1)加于第二个方程，第一个方程乘以(3)加于第三个方程，得：第二个方程乘以(5)加于第三个方程，得 (2)第三个方程乘以()，求得x3=1，再代入第二个方程，求出x2=1，最后求出x1=2这样就得到了方程组(1)的解： 方程组(2)称为阶

39、梯形方程组如果在本例中，把原方程组中的第一个方程改为2x13x2+ x3=6，得到一个新的方程组(3)用类似的方法，可以把方程组化为 (4)即显然，此方程组有无穷多个解如果在本例中，把原方程组的第一个方程改为2x13x2+ x3=5，作出新的方程组 (5)用类似的方法，可得到(6)显然方程组无解上面的方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：1.交换方程组中某两个方程的位置；2.用一个非零数乘某一个方程；3.用

40、一个数乘某一个方程后加到另一个方程上这三种变换称为线性方程组的初等变换用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程方程组(I)的全部解称为(I)的解集合如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组现在证明：初等变换把方程组变成与它同解的方程组考虑线性方程组(I)我们只对第三种变换来证明为简便起见，不妨设把第二个方程乘以数k后加到第一个方程上，这样，得到新方程组(I' )设xi=ci (i=1，2，n )是(I)的任意一个解因(I)与(I' )的后m1个方程是一样的，所以，xi=ci (i=1，2，n )满足(I' )的后m1个方程

41、又xi=ci (i=1，2，n )满足(I)的前两个方程，所以有把第二式的两边乘以k，再与第一式相加，即为这说明xi=ci (i=1，2，n )又满足(I')的第一个方程，故xi=ci (i=1，2，n )是(I')的解类似地可以证明(I')的任意一个解也是(I)的解，这就证明了(I) 与(I')是同解的容易证明另外两种初等变换，也把方程组变成与它同解的方程组下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组对于方程组(I)，首先检查x1的系数如果x1的系数a11， a21， ， am1全为零，那么方程组(I)对x1没有任何限制，x1就可以任意取值，而方程组(I)

42、可看作x2， ， xn的方程组来解如果x1的系数不全为零，不妨设a110不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x1的系数不为零然后利用初等变换3，分别把第一个方程的倍加到第i个(i=2，3， m)方程，于是方程组(I)变成 ()其中 显然方程组()与()是同解的对方程组()再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为()其中cii0， i=1，2，r方程组()中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解我们知道，(I)与()是同解的，根据上面

43、的分析，方程组()是否有解就取决于第r+1个方程0 = dr+1是否矛盾，于是方程组(I)有解的充分必要条件为dr+1= 0在方程组有解时，分两种情形：1) 当r=n时，阶梯形方程组为()其中cii0， i=1，2， n由克莱姆法则()有唯一解，从而(I)有唯一解例如 前面讨论过的方程组(1) 经过一系列的初等变换后，变为阶梯形方程组这时方程的个数等于未知量的个数，方程组的唯一解是2) 当 r<n时，这时阶梯形方程组为其中 cii0， i=1，2， r， 写成如下形式()由克莱姆法则，当xr+1，xn任意取定一组值，就唯一确定出x1，xr值，也就是定出方程组()的一个解，一般地，由()可

44、以把x1，x2，xr的值由xr+1，xn表示出来这样表示出来的解称为方程组(I)的一般解，因xr+1，xn可以任意取值，故称它们为自由未知量显然，()有无穷多个解，即(I)有无穷多个解如上面讨论过的方程组(3) 经过一系列的变换后，得到阶梯形方程组将x1，x2用x3表示出来即有这就是方程组(3)的一般解，而x3是自由未知量用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一

45、解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解当线性方程组(1)中的常数项b1= b2= bm= 0时，即()称为齐次线性方程组显然，齐次线性方程组是一定有解的因为x1= x2= xn=0就是它的一个解这个解称为齐次方程组的零解我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理定理 在齐次线性方程组()中，如果m<n，则它必有非零解证明：因为()一定有解，又rm<n，所以它有无穷多个解，因而有非零解二. 矩阵及其初等变换从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数

46、和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项通常把方程组(I)的系数和常数项写成下列表格的形式表中的第i行代表方程组(I)的第i个方程，第j列表示xj的系数，最后一列表示常数项这个表称为线性方程组(I)的增广矩阵去掉最后一列，得到另一个表它称为线性方程组的系数矩阵定义1 由数域P中m×n个数aij(i=1，2，m； j=1，2，n)排成m行n列的长方形表称为数域P上的一个m×n矩阵aij称为矩阵的元素，m×n矩阵记为Amn或A

47、m×n，有时还记作A=(aij) m×n已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是1) 交换矩阵的某两行的位置；2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行；3) 用一个数乘某一行后加到另一行上这三种变换称为矩阵的初等行变换类似地，有1) 交换矩阵的某两列的位置；2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一列；3) 用一个数乘某一列后加到另一列上1) ，2) ，3)称为矩阵的初等列变换矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形

48、矩阵例2 求解线性方程组对它的增广矩阵作初等行变换最后一个矩阵就是一个阶梯形矩阵对这个阶梯形矩阵，还可进一步化简把第二行乘1加到第一行上，第三行乘1加到第一行上，第三行乘2加到第二行上，得它所表示的方程组为这样，就得到方程组的一般解：其中x4为自由未知量思考题：当a与b取什么值时，线性方程组有解？在有解的情况下，求它的一般解§ 2.2 n维向量空间上一节介绍了消元法，用消元法解线性方程组就是对增广矩阵施行初等变换增广矩阵的每一行都表示一个方程方程组的第i个方程是用一组有序数(ai1， ai2， ， ain， bi)来表示的从解方程组的过程知，一个线性方程组的解的情况是由方程组中方程之

49、间的关系所决定的如在第一节的例2中方程组第二个方程加上第一个方程的两倍即可得到第四个方程，所以第四个方程是一个多余的方程从方程中删除第四个方程不会影响到方程组的解由此可见，方程组中方程之间的关系是十分重要的，因而研究有序数组之间的关系也是十分重要的为了进一步研究这种关系，从理论上深入地讨论线性方程组的解的问题，需要引入n维向量这个概念定义1 由数域P中的n个数a1， a2， ， an组成的有序数组(a1， a2， ， an)称为一个n维向量ai称为向量的第i个分量，通常用希腊字母a，b，g，等表示向量，而用拉丁字母a， b， c， 等表示分量当数域P为实数域时，即由n个实数构成的向量称为实向量

50、在平面直角坐标系中，平面上的几何向量可用它的终点的坐标(x， y)表示，其中x， y都是实数因此它是实数域上的二维向量在空间直角坐标系中，几何向量建立了与实数数组(x， y， z)的一一对应因此几何向量可看成是实数域上的三维向量二维、三维实向量都是几何向量n维向量是二维、三维向量的推广但四维以上的向量没有几何意义定义2 如果n维向量a=(a1， a2， ， an)，b=(b1， b2， bn)的对应分量相等，即ai=bi (i=1， 2， ， n)则称向量a与b相等，记作 a=b分量都是零的向量称为零向量，记为0即 0=(0， 0， 0)若a=(a1， a2， ， an)，则向量(a1， a2

51、， ， an)称为向量a=(a1， a2， ， an)的负向量，记为a二维、三维向量之间的最基本的关系是用向量的加法和数量乘法表达的对于n维向量，我们也作类似的模拟定义3 两个n维向量a=(a1， a2， ， an)与b=(b1， b2， bn)的对应分量之和构成的向量，称为向量a与b的和，记为a+b，即a+b=( a1+ b1， a2+b2，an+bn)由向量的加法及负向量的定义，可以定义向量的减法：ab=a+(b)=(a1， a2， ， an)+(b1， b2， bn) =( a1 b1， a2b2， ， anbn)定义4 n维向量a=(a1， a2， ， an)的各分量都乘以数k所构成的向量，称为数k与向量a的数量乘积，记为ka，即ka=( k a1， k a2， ， k an)向量的加法与数量乘积这两种运算统称为向量的线性运算向量的线性运算满足下列八条运算规律： a+b=b+a a+(b+g) = (a+b)+g 0+a = a a+(a) = 0