第9章刚体的平面运动

1、第九章刚体的平面运动§ 9-1刚体平面运动的概述和运动分解刚体的平面运动在工程中是常见的。例如（1）行星齿轮机构中动齿轮B 的运动（2）曲柄连杆机构中连杆的运动；（3）车轮沿直线轨道滚动。B行星轮连杆AmC vC曲柄A(a)(b)(c)图 1它们的共同运动特点是：在运动时，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。刚体的这种运动称为平面运动 。根据刚体作平面运动的上述特点，可以将刚体的平面运动简化为平面图形 S 在其自身平面内的运动。设刚体作平面运动，某一固定平面为 P0 ，如图 2 所示，过刚体上 M 点作一个与固定平面 P0 相平行的平面 P ，在刚体上截出一个平面图形

2、S ，平面图形 S 内各点的运动由平面运动的定义知，均在平面P 内运动。过 M 点作与固定平面 P0 相垂直的直线段M 1 M 2 ，直线段 M 1 M 2 的运动为平移， 其上各点的运动均与 M 点的运动相同。因此刚体作平面运动时，只需研究平面图形S 在其自身平面 P 内的运动即可。如图 3 所示，在平面图形 S 内建立平面直角坐标系 oxy，来确定平面图形 S 的位置。为确定平面图形 S 的位置只需确定其上任意直线段 AB 的位置，yyBOM1PSMAyAxM 2POxAx0图8-3图 2图 3线段 AB 的位置可由点 A 的坐标和线段 AB 与 x 轴或者与 y 轴的夹角来确定。即有x

3、Af1 ( t )y Af2 ( t )f3 ( t )上式称为平面图形 S 的运动方程，即刚体平面运动的运动方程。点 A 称为基点，一般选为已知点，若已知刚体的运动方程，刚体在任一瞬时的位置和运动规律就可以确定了。现在来研究平面图形 S 的运动。平面图形在其自身平面内的位置，完全可以由图形内任意一线段 OM的位置来确定。平面图形的运动，可以分解为随同基点的平动 ( 牵连速度 ) 和绕基点的转动( 相对运动 ) 。即平面图形的运动可以看成是这两部分运动的合成。应该注意的是，图形内基点的选取是任意的。但是，选取不同的基点A或 B，则平动的位移是不同的， 从而，图形随 A 点或 B 点平动的速度和

4、加速度也不相同。因此，图形的平动与基点的选取有关。然而对于绕不同的基点转过的转角 和的大小及转向却总是相同，即 =，于是 =， =这说明，在任意瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度和角加速度都是相同的。即图形的转动与基点的选取无关。§ 9-2求平面图形内各点速度的基点法1. 基点法平面图形 S 运动可以看成是随着基点的平移vB和绕基点的转动的合成。 因此，运用速度合成定理vBA求平面图形内各点的速度。vA如图 4 所示，取 A为基点，求平面图形内 B 点的速度，设图示瞬时平面图形的角速度为 ，由速vA度合 成定理知 ，牵连速 度 v ev A ，相 对速 度Avr v BA ABv

5、 B v A v B A（* ）求平面图形 S 内任一点速度的基点法：在任图 4一瞬时，平面图形内任一点的速度等于基点的速度和绕基点转动速度的矢量和。2. 速度投影法已知平面图形 S 内任意两点 A 、 B 速度的方vB位，如图 5 所示，将式（ * ）向 AB 连线投影为：vBAvA v A AB v B ABvB即得速度投影定理 ：平面图形 S 内任意两点的速B度在两点连线上投影相等。A图 4例 1 如图所示，滑块 A、B 分别在相互垂直的滑槽中滑动，连杆AB的长度为l =20cm，在图示瞬时， v A，水平向左，连杆AB与水平线的夹角为=20cm/s30o ，试求滑块B的速度和连杆的角速

6、度。ABBvBvvBAvABBvAAvAA(a)(b)解：连杆 AB作平面运动，因滑块A 的速度是已知的，故选点A 为基点，滑块B 的速度为v Bv Av B A上式中有三个大小和三个方向， 共六个要素， 其中 v B 的方位是已知的， v B 的大小是未知的； v A 的大小和方位是已知的；点 B 相对基点转动的速度 v B A 的大小是未知的， v B A AB ，方位是已知的，垂直于连杆 AB。在点 B 处作速度的平行四边形，应使 v B 位于平行四边形对角线的位置，如图 a。由图中的几何关系得v A2034.6cm/sv Btan 30otanv B 的方向铅直向上。点 B 相对基点转

7、动的速度为v A2040cm/sv B Asin 30osin则连杆 AB的角速度为vBA402rad/sl20转向为顺时针。本题若采用速度投影法，可以很快速地求出滑块B 的速度。如图 b，有 v A AB v B AB即v A cosv B sin则v Bcosv A2034.6cm/sv Atantan 30osin但此法不能求出连杆AB的角速度。例 2 半径为 R 的圆轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，如图所示。已知轮心O以速度 v o 运动，试求轮缘上水平位置和竖直位置处点A、B、C、D的速度。解：选轮心 O为基点，先研究点 C的速度。vOv由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，故AAO点 C

8、的速度为vDOvDvAv c0vOBvO如图所示，则有DvOOvC v ov co 0vBOvB圆轮的角速度为CvOv cov ovCORR各点相对基点的速度为v Aov Bov DoR v oA 的速度为v Avov Ao2v oB、D 的速度为v Bv D2v o方向如图所示。§ 9-3求平面图形内各点速度的瞬心法一、定理一般情况，在每一瞬时，平面图形上 ( 或图形的延伸部分 ) 都唯一地存在一个速度为零的点， 称为速度瞬心或瞬心。证明：已知平面图形的角速度为 ，如图所示，已知 A 点的速度 v A ，过 A 点作速度矢量 v A 的垂线 AB ，沿角速度 的旋转方向，在直线段

9、AB 上找点 P ，使vPAvAAvAPAv A则相对速度 v PAPAv A ，则点 P 的速度， v Pv Av PA0（证毕）例 3发动机的曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA长 r =30cm ，以等角速度 =2rad/s 绕O 点转动；连杆AB长为 l=40cm。试求当 OAB °时，滑块 B=90的速度及连杆 AB的角速度。解 (1) 运动分析，选研究对象曲柄 OA绕 O轴转动，滑块 B 沿水平方向运动，连杆 AB作平面运动，因此，选 AB杆为研究对象。(2) 选基点由于连杆上 A 点速度已知，所以选 A 为基点。这样， B 点的运动，可以视为随基点 A 的平动与绕基点 A 的

10、转动的合成运动。(3) 根据基点法求未知量由公式得：vB = vA + v BA已知 vA=r =30× 2=60cm/s，方向垂直于 OA。 B 点相对 A 点的转动速度 vBA垂直于 AB，指向和大小未知。 B 点的绝对速度 vB 沿水平方向。这样，即可作出速度平行四边形。最后由几何关系得vB=vA/cos =60×5/4=75cm/s其方向为水平方向vBA=vAtg =60×3/4=45cm/s方向如图所示。求出了vBA以后，就可求出连杆AB的角速度为 AB=vBA/ AB=45/40=s （顺时针转向）例 4 用速度投影法求解上例中滑块 B 的速度。解 如

11、图所示。因为 A 点的速度大小及方向为已知，而 B 点速度方向已知，沿水平方向。根据速度投影定理，即vBcos=vAcos0°将 cos =4/5 及 vA=60cm/s 代入上式得v B=60×5/4=75cm/s二、平面图形内各点速度及其分布平面图形上各点的速度大小与该点至速度瞬心的距离成正比，方向与该点和速度瞬心的连线相垂直，指向顺着该瞬时的转向。应用速度瞬心求平面图形上各点的速度的方法，称速度瞬心法 简称瞬心法。应该注意的是，在不同瞬时，瞬心的位置不同。AvDvADBvBC P确定速度瞬心的位置的方法：(a)(b)（1）平面图形沿某一固定平面作无滑动的滚动时，图形与

12、固定面的接触点 C就是图形的速度瞬心。（2）速度瞬心的位置必在通过平面图形上一点并与该点的速度相垂直的直线上。因此，一般只要知道图形上任意两点的速度方向，过这两点分别作垂直于其速度的两条直线，则这两条直线的交点便是速度瞬心，( 瞬心也可能位于图形的延伸部分 ) 。vAvAAAAvABPvBvBBBvBP（3）如果平面图形上 A、B两点的速度矢量 v A 和v B 同时垂直于这两点的(a)(b)(c)连线，则瞬心必在连线AB与速度矢量 v A 和 v B 端点连线的交点上。（4）某瞬时，图形上 A、B 两点速度相等，即 v A= v B , 此时瞬心在无穷远处，这种情形称为 瞬时平动 。例 5

13、用速度瞬心法求例题2 各点的速度。A vA解： 由于圆轮沿直线轨道作无滑动的滚动，圆轮与轨道接触点的速度为零，故点C 为速度瞬心。圆轮的角速度为vOBDOvBC voR圆轮上各点速度为v AACv o2R2v oRv Bv D2R2v ov c0各点速度的方向如图所示。例 6、图示四连杆机构中， OA= O1B =AB/2，曲柄 OA的角速度 = 3 rad/s。求：当 =90? 且曲柄 O1B 与 OO1的延长线重合时， AB杆和曲柄 O1B 的角速度。解：（ 1）分析运动，选AB杆为研究对象（2）根据瞬心法求未知量速度瞬心在 O点vA=OA 由几何关系得AB = v A/ OA=vB/ O

14、B=vB = OB3OA= v/OB=3 = s1B1例 7 图示的四连杆机构中， O1A=r , AB=O2B=3r , 曲柄以等角速度 1 绕 O1 轴转动。在图示位置时， O1AAB, O2BA=60°。求此瞬时连杆 AB的角速度 AB和杆 O2B 的角速度 2 。AB的瞬心。解 杆 O1A 和 O2B 作定轴转动，连杆 AB作平面运动，且 AB两点的速度方向已知。 vAO1A , vBO2B，因此，过 A、 B 两点作 v A、 vB 的垂线，其交点 C就是连杆设连杆 AB的角速度为 AB ，根据瞬心法， 在图示瞬时， 连杆 AB绕瞬心 C 作瞬时转动，故vA=AB×

15、;PAvB= AB× PB所以 AB=vA/ PA= 1vB =AB×PB=12 =vB/ O2B= 1/3 r= 1例 8 图示机构中，曲柄 OA以匀角速度 =4rad/s 绕 O 轴转动。当 =45°时连杆 AB处于水平位置， BD铅垂。设 OA=20cm，AB=40cm，BD=15cm。求该瞬时连杆 AB和构件 BD的角速度。解选 AB杆为研究对象先找到速度瞬心 C由几何关系vBBDBDvAOAvB2 vA2 OA2 2OA22ABvBvB1.414rad / sBCABBDvB3.77rad / sBD§ 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度

16、aBABaAa BAaB由于平面图形的运动看成随着基点的平移和相aBAnAaA对基点的转动的合成，因此根据牵连运动为平移时的加速度合成定理，便可求平面图形内各点的加速度。如图所示，选点A 作为基点，其加速度为 a A ，某一瞬时平面图形的角速度和角加速度分别为、 ，则 B 的加速度为牵连加速度a e a A，相对加速度a BAa BAa BAn相对切向加速度a BAAB相对法向加速度a BAn2AB相对加速度的全加速度a BA2a BAn2AB24， tana BA2B 的加速度a Ba Aa BAa Aa BAa BAn求平面图形 S 内各点的加速度的基点法： 在任一瞬时，平面图形内任一点的

17、加速度等于基点的加速度和相对于基点转动的加速度的矢量和。共八个要素，必须已知其中的六个要素，才可以求出剩余的两个要素，一般采用向坐标投影的方法进行求解。例 9 在平直的轨道作纯滚动圆轮，已知轮心 O的速度为 v o ，加速度为 a o ，轮的半径为 R，如图 a 所示，试求速度瞬心点的加速度。解：由于圆轮作纯滚动，则轮缘于地面接触的点 P 为速度瞬心点。圆轮的角速度为v oR又由于圆轮的半径为常数，则圆轮的角速度对上式求导即可得到。即voa o RR点 C的加速度为a Ca oa coa oa coa nco其中acoRaon2v o2acoR RnOvOa OaOOOOaCOna CPaCO

18、PaOP(a)(b)(c)如图 b 所示，点 C的加速度为图8-19nvo2aca coR方向恒指向轮心。§ 9-5运动学综合应用举例1. 曲柄长 OA=20cm ，绕 O 轴以等角速度 = 10 rad/s转动。曲柄带动连杆，使连杆端点的滑块沿铅垂方向运动。连杆长 AB =100cm ，求当曲柄和连杆相互垂直且与水平各成 = 45 ? 、 = 45 ? 时连杆的角速度、角加速度和滑块 B 的加速度。解（1）先分析机构各部分的运动，选连杆AB为研究对象。（2）利用瞬心法求ABvA=OA? =200 cm/s由几何关系， AB=AC=100cm ,故vA2rad / sAC（3）利用加速度公式求 AB和 aB以 A 为基点，则 B 点的加速度为aB a A aBA aBAn(1)式中aA = OA? 2 = 20 m/s将（ 1）式投影到0 = - aaBA = AB? ABnAB2aBA= AB?x 轴、 y 轴上可得A cos45 ?+ a BA cos45?n+ a BA cos45 ?(2)ncos45 ?aB = - a A cos45 ? + a BAcos45? - a BA由（ 2）式得aBA =16 m/s故 AB = 16 rad/s(3)由（ 3）式得aB = - 5.66m/s22. 滚压机