第六章弯曲应力汇总

1、6-3、图示矩形截面梁受集中力作用，试计算1-1 横截面上 a、 b、 c、 d 四点的正应力。解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心 C与载荷垂直，沿水平方向。（2）内力分析，弯矩图如图（ b）所示， 1-1 横截面的弯矩为：M1 115 2 30 (kN m)（ 3）应力分析，梁上边有弯矩图，上侧纤维受拉。1-1 横截面上的 a 点处于拉伸区，正应力为正； c 点处于中性层上，正应力为零； b、d 两点处于压缩区，正应力为负。M1 1IzyaM1 1ymaxIzM11Wz330 1031 0.180 0.326Pa 11.11MPab

2、11.11MPaM11yd30 103112(0.1500.050)Pa 7.41MPa0.180 0.3315kN500250015+37.530-(a)(c)V图(kN)030 05 c db z180 b (b)(a)(d) M kN· m)M kN· m)ql 2/8B a2z1aazz22(b)10a(c)2020(e)(f)题 6-3 图题 6-5 图6-5、两根矩形截面简支木梁受均布荷载q 作用，如图所示。梁的横截面有两种情况，一是如图（b）所示是整。若已知第一种情体，另一种情况如图 （c）所示是由两根方木叠合而成（二方木间不加任何联系且不考虑摩擦）况整体时梁

3、的最大正应力为10MPa，试计算第二种情况时梁中的最大正应力，并分别画出危险截面上正应力沿高度的分布规律图示。解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。第一种情况中性层为 过轴线的水平纵向面，中性轴 z 轴过整体形心 C 与载荷垂直，沿水平方向。而第二种情况，两根木梁以各自的 水平纵向面为中性层发生弯曲，两根中性轴为与荷载垂直的水平形心主轴。如图所示。（ 2）内力分析，判危险面：弯矩图如图（b）所示，跨中截面为危险面。（3）应力分析，判危险点：对于第一种情况，横截面为一个整体，跨中截面的上下边缘点正应力强度的危 险点。而第二种情况，上下两块有各自的中性轴，因此

4、，两根梁跨中的上下边缘均为正应力强度的危险点。第一种情况：M maxmaxmaxWz1M maxMmax3M2am3ax 10MPa2a (2a)24a36621第二种情况：maxmaxmax3Mmax2Wz22aa2620MPa6-6、试计算图示矩形截面简支梁的1-1 截面上 a、b、c 三点的剪应力。z 轴过形心 C解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。中性轴 与载荷垂直，沿水平方向。（2）内力分析，剪力图如图（ b）所示， 1-1 横截面的剪力为：V1 1 3.2 (kN)（ 3）应力分析， 缘点，剪应力为零。1-1 横截面上的 a 点既有正应力，也

5、有剪应力；c 点处于中性层上，剪应力最大； b 为边V1 1IzSz,ab3.2 103 0.04 0.080 (0.08 0.02)112 0.080 0.1603 0.080Pa 0.281MPa 。c3V2A3 3.2 1032 0.08 0.160Pa 0.375MPa80(b)180kN80kN32kN(a) C2000D132kNEN0.28 a120010003.2160V800 160k8N00 160kN题 6-6 图题 6-7 图6-7 、图示外伸梁，截面为工字钢 28a。试求横截面上的最大剪应力。 解：（1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲

6、。中性轴 与载荷垂直，沿水平方向。（ 2）内力分析，判危险面。剪力图如图（b）所示，危险面在 AC 段。z 轴过形心 CVmax 160 （kN）3）应力分析， AC 段中性层上各点剪应力最大。查表工字钢 NO.28at 得：I z* I x* 24.6cm, b d 8.5mmS*z Sx*maxV Sz,半I z bIzSz,半160 10324.6 10 2 (8.5 10 3)Pa 76.5MPa226-8 、图 a、b 所示矩形截面梁受均布荷载作用，若图中虚线所示纵向面和横向面从梁中截出一部分，如图所示。试求在纵向面 abcd 上内力素组成的合力 'dA ，并说明它与什么力相

7、平衡。ql(a)hyzb(b)题 6-8 图解：（ 1）外力分析，判变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面弯曲。中性轴z 轴过形心 C与载荷垂直，沿水平方向。（ 2）内力分析。剪力图如图（ b）所示。（ 3）应力分析。 Abcd纵向面为中性层的一部分，欲求其上内力，必先求出横截面的 cd 线的各点剪应力， 再由剪应力双生定理求出纵向面的 cd 线各点的剪应力，然后再积分求纵向面上剪应力的组成的合力V。3V 3 2 qx 3q l 2x2A 2bh 4bh''3ql 2x取如图微面积 bdx，微面积上的剪力为x'dAx'bdx3q4lbh2xbdx，积分

8、求 V' ' x ' x 3q l 2x 3q 2V 'x' dAx' bdxbdx lx x2A 0 0 4bh 4h6-9 外伸梁 ACD 的荷载、 截面形状和尺寸如图所示，试绘制出梁的剪力图和弯矩图， 并计算梁内横截面上 的最大正应力和最大剪应力。8(d)kN·m)3+V kN)-(c)02题 6-9 图解： （ 1）外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面 弯曲。中性轴 z 轴过形心 C 与载荷垂直，沿水平方向。求截面惯性矩：23Iz 2 1 20 2003 (100 82)2 20 2

9、00z 121 100 203 (82 10)2 100 20 mm 4 3.969 10 5m 412* (200 82) 3 4 3S*z 2 20 (200 82) mm3 2.785 10 4m32( 2)内力分析，判危险面。弯矩图、剪力图如图(b) 所示。Vmax VC 8kN Mmax MC 8kN m Mmax MB 6kN m ， 因为，截面不关于中性轴对称，具有最大正负弯矩的截面都是正应力强度的危险面，即B、C 两截面均为正是正应力强度的危险面。 C 的右截面是剪应力强度的危险面。( 3)应力分析，求最大正应力和最大剪应力B截面具有最大正弯矩， 上压下拉； C 截面具有最大负

10、弯矩， 上拉下压， MC- 8kN m M B+ 6kN m，B 截面的上边缘或 C 截面的下边缘。最大剪故 C 截面的上边缘具有最大的拉应力；最大的压应力可能出现在 应力出现在 C 的右截面的中性轴上。C 截面 :C,maxMCIz3ym上ax8 103(0.205.082) Pa23.78MPa3.969 10 5C,maxMCIz3上 8 103 0.082ymax5 Pa 16.52MPa3.969 10 5B截面:B,maxMCIz上ymax6 103 (0.2 0.082)Pa 17.84MPa3.969 10 5故，C,max 23.78MPa ， max 17.84MPa 。V

11、C S*zI z b8 103 2.785 10 43.969 10 5 2 0.020 Pa 1.40MPa6-10 图示矩形截面悬臂梁，其横截面尺寸为b、h，梁长为 l 。( 1)试证明在离自由端 x 远的横截面上，切向内力元素 dA 的合力等于横截面上的剪力，而法向内力 元素dA 的合力偶之矩等于该截面的弯矩。( 2)如果沿梁的中性层切出梁的下半部分，问在中性层上的剪应力 性层上总剪力 V的水平力有多大？与什么力平衡。 沿梁长度的变化规律如何？该中解：( 1)在离自由端 x 远的横截面上，距中性轴 y 远的点的应力h2yy22y VxSz* Vx b h yy IzbI zb 2故，IV

12、zxbb h2 y 2y h424A ydAhh/22 VxhA y h/2 Izbb h y y h24bdy VxVxb h/2Izh/2h/2A y ydA h/2 y2）求距离自由端h82 y22 dyM x y dAIzVxbbh312MxI h/2 zIzh2hh/22 hh/2 22y8y h/2y42Vxbdyh/2 y2bdy Mx3b 2 y3bh3 3x h/2Mxx12(a)xdAzydx题6-10x 远的横截面上中性轴上点的剪应力 x/2hV' A 'dA 0 23bqxh bdx3q 24bhbx3ql2x l 4h3qx2bhx 3Vx 3qx 。

13、根据 剪应力互等定律知中性层上距离自由端x 远的点x2bh 2bh的水平力：故，该中性层上总剪力 V该剪力与 A 截面的下半部分法向内力元素 dA 的合力平衡。 （轴力），容许压应力6-12、 铸铁 梁的荷 载及 横 截面 尺寸 旭图 所 示。 材料的 容许 拉 应力 t 40MPac 100MPa 。试校核梁的正应力强度。已知横截面形心距截面边缘157.5mm。20kN105 20(d) - M kN· m)(b)200+10题 6-12 图25解： ( 1)外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面 弯曲。中性轴 z 轴过形心 C 与载荷垂

14、直，沿水平方向。求截面惯性矩：I z1 30 2003 (72.5 15)2 200 30z 121200 303 (157.5 100)2 30 200 mm 4 6.013 10 5m 4 12求支反力2)内力分析，M B(F) 0YD 10kNM D(F) 0YB 30kN判危险面。弯矩图、剪力图如图 (b) 所示。Mmax MB 20 (kN m) ，Mmax M E 10 (kN m)。3)应力分析，判危险点：B 截面具有最大负弯矩，上拉下压，B,maxB,maxB,max ，t 40MPa< c 100MPa 上下边缘点都是正应力强度的危险点。E,max E,maxE 截面具

15、有最大正弯矩，上压下拉，(4)正应力强度校核：由于拉压强度不同，必须同时考虑，下边缘点是危险点。B、E 这两个具有最大正负弯矩的截面。B截面:B,max M BB,maxIz上ymax20 103 0.07256.013 10 5m 4Pa 24.11MPa t 40MPaB,maxMBIz下ymax320 103 0.15755 Pa 52.39MPa c 100MPa6.013 10 5 cE截面 :E,maxM E 下 ymax I z max310 103 0.15755 Pa 26.19MPa6.013 10 5t 40MPa故，正应力强度足够。6-13、图示简支梁，其横截面尺寸如图

16、b 所示， yc40.625mm。若梁材料的容许拉应力t 160MPa，容许压应力 c 80MPa 。试计算梁的容许均布荷载集度 q 。a题 6-13 图5q213261312 12531213100 253 (40.62512 22)内力分析，判危险面。弯矩图如图3)应力分析，判危险点：跨中横截面具有最正负弯矩，上压下拉，max max ，由于 t 160MPa> c 80MPa ，故上下边缘点都是正应力强度的危险点。(4)正应力强度校核：max下ymax25q8 6 0.109375 t160 1067.356 10 6 t25max上ymax8qq 3.443kN/mq 4.635

17、kN/m7.356 10 60.040625c 80 106解： ( 1)外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面 弯曲。中性轴 z 轴过形心 C 与载荷垂直，沿水平方向。求截面惯性矩：125Iz(109.375)2 12 12525)2 25 100 mm 4 7.356 10 6m 4(b) 所示，危险面是跨中横截面。1 2 25M max ql qmax 8 8故，梁的容许均布荷载集度 q min(3.443,4.635) 3.443kN/m6-14 图示梁由两根槽钢组成。钢的容许应力 160MPa, 100MPa，试选择梁的槽钢型号。56(b)

18、( d) M+13.513.513.5kN· m)114题6-14解： ( 1)外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，梁发生平面 弯曲。中性轴 z 轴过形心 C 与载荷垂直，沿水平方向。( 2)内力分析，判危险面。弯矩图如图(c) 、 (d) 所示，正应力强度的危险面是跨中横截面，剪应力强度的危险面靠近支座。MD 114kN m, Vmax56kN27（3）应力分析，判危险点：由于截面关于中性轴 z对称，故D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, A的右截面 、B 的左截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。（4）由正应力强度条件，选择槽钢型号D,m

19、axmax2Wz2Wzmax114 103160 1060.7125 10 3m3Wz 356.25cm3查表选择 NO.28b工字钢的 Wz 366 cm3 略大于所需的。（5）由剪应力强度条件，校核所选择工字钢型号查表得 No.28b 的：Ix 5130cm4,高h 280mm腰, 厚d = 9.5mm,平均腿厚 t =12.5mm,腿宽b=84mm故：由两根槽钢组合梁的截面几何性质：Iz 2I x 5130 2 10260cm4,* h 2 h 2 Sz,半* 2 b (2)2/2 (b d)( 2- t)2/24.353 10 4m32 0.084 (0.28)2 / 2 (0.084

20、 0.0095)( 0.28- 0.0125) 2 / 2VmaxSz,半max I z b56 10 3 4.353 10 410260 10 8 2 0.0095Pa 12.5 MPa故采用两根 No.28b 槽钢。6-15 某一跨度为 l =8m的简支梁，在跨度中央受集中力P=80作用。该梁如图示由两根 36a 工字钢铆接而成。铆钉直径 d=20mm,铆钉间距 s=150mm。铆钉的容许剪应力60MPa，钢梁的容许正应力160MPa 。( 1)试校核铆钉的强度。 （ 2）当 P值及作用于梁跨中央的条件不变时，试确定简支梁的容许跨度l。z1150z(b)( d)题6-1520l梁发生平面解

21、： （ 1）外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。荷载在纵向对称面内，与轴线垂直，弯曲。中性轴 z 轴过形心载荷垂直，上下对称水平方向。 查表得 No.36a 的：28A 76.480cm2, I x 15800cm4 ,高h 360mm腿, 宽b=136mm 两根工字钢组合梁的截面几何性质：2 h 8 4 0.36 2 4 4Iz 2 Ix A 2 15800 108 76.480 104 ()2 8.115904 10 4cm4,42* h 4 0.360 3 3 Sz,半* A (76.480 10 4) 1.37664 10 3m3z,半2 2b=0.136m2）内力分析，判危险面。

22、弯矩图如图（c） 、 （d） 所示，正应力强度的危险面是跨中横截面，梁各横截面 均为剪应力强度的危险面。MD 20lkN m, Vmax40kN（3）应力分析，判危险点：由于截面关于中性轴 梁中性层上各点为剪应力强度危险点。（4）按剪应力强度条件校核铆钉强度：z 对称，故跨中截面的上下边缘点是正应力强度危险点1）求中性层上各点的剪应力maxVmax Sz,半Iz b3340 103 1.37664 10 38.115904 10 4 0.136Pa 0.498897MPa2）求中性层上的剪力 V 中V中maxbl 0.498897 106 0.136 8N 542.7999kN3）求每个铆钉的

23、剪应力铆8梁共有 n 个 ,由于铆钉间距 s相等 ,切前后对称布置 , 每个铆钉的剪力相等， 设每个的剪力在其横截0.150面内均匀分布，故每个铆钉的名义剪应力铆 为：3V中铆2n d 24Pa 16.198MPa < = 60MPa542.7999 10322 8 / 0.150 0.02245）由正应力强度条件确定简支梁的容许跨度 l跨中截面 :跨中 ,maxM 跨中320l 103 0.3604 Pa8.115904 10 4160 106Pa l 18.035m故，简支梁的容许跨度 l =18m设全部荷载6-17 图示起重机行走在由两根工字钢所组成的简支梁上，起重机的重量及其起吊

24、重量如图示。平均分配在两根工字钢梁上， 材料的容许应力 170MPa,100MPa。试求当起重机行至梁跨中央时， 需要多大的工字钢才能满足强度要求。295m2520(d)M kN ·m)题 6-17 图 解：（1）外力分析研究小车，可求得工字钢施与其约束反力，如图所示。 研究工字梁，由作用力和反作用力定律知钢所受小车施与其的反作用力。荷载与梁轴垂直，梁将发生平 面弯曲。中性轴 z 过形心与载荷垂直，沿水平方向。（2）内力分析，判危险面，弯矩图、剪力图如图所示，M D 140kN m, Vmax 35kN 。正应力强度的危险面是 D 截面 ,剪应力强度的危险面是 DB 杆段各横 截面。

25、（3）应力分析，判危险点。由于 D 截面关于中性轴 z对称，故 D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险 点, DB 杆段各横截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。（4）由正应力强度条件，选择工字钢型号。2Wzmax140 10 3170 10 60.8235 10 3 m3Wz 411.76 cm3查表选择 NO.25b工字钢的 Wz423 cm3略大于所需的 Wz 411.76 mm3。5）由剪应力强度条件，校核所选择工字钢型号。查表得 No.25a 的 Iz :Sz 21.3cm= 0.213m, b = d =10mm= 0.01mmaxV2 Sz,半SIz,z半 b35 103 /20

26、.213 0.01Pa 8.22 MPa故采用两根 No.25b 工字钢。b,木桩的计算简图如6-18 图示挡水墙由一排正方形截面的竖直木桩上钉木板所做成。木板的计算简图台图图 c。木材的容许弯曲正应力，容许剪应力。设计正方形木桩的边长和所需木板的厚度d。30(c)000M kN· m)q =4.7kN/mA00C=22.q=0.2041.2251.6334.9-+5.512511.025V kN)q =22.05kN/m(b) CD板 C 1m题 6-18 图解：（1）外力分析，荷载与板轴垂直，将发生平面弯曲。中性轴过形心与载荷垂直。 （2）内力分析，判危险面，弯矩图、剪力图如图所

27、示。 桩的正应力强度和剪应力强度的危险面是固定端：判变形。M桩 max 5.5125kN m,V桩 max 11.025kN。板的正应力强度的危险面是跨中截面 ,剪应力强度的危险面在靠近木桩的两端：M板 max2.756kN m,V板max 11.025kN（3）应力分析，判危险点。由于截面关于中性轴对称，故危险面上离中性轴最远的边缘点是正应力强度 危险点 ,剪力最大截面的中性轴各点是剪应力强度的危险点。（ 4）由强度条件，设计木桩的边长a，及板的厚度 d.。MWz,桩桩 max桩 max5.5125 10368 10612a a26a 0.1605m桩 max3V2桩 maxA桩11.025

28、 103 0.9 106故，木桩的边长a， a板 maxMWz,板板 max板 maxV 板 maxA板a 0.1356mmax(0.1605,0.1356) 0.1605m=160.5mm2.756 103 8 106121.5 d263 11.025 103 0.9 1062 1.5 dd 0.03713md 0.0816m故，木板的厚度 d， d max(0.03713,0.0816) 0.03713m= 37.13mm316-20 当荷载 P 直接作用在跨长为 l 6m的简支梁 AB中截面时，梁内最大正应力超过 的 30%。为了消 除此过载现象。如图所示配置辅助梁 CD 。试计算辅助梁

29、所需的最小跨长a。CDa/2a/23m3m+M图(b)1.5P(a')AM图(b')题6-202P(3- a/2)解： ( 1)外力分析，荷载与轴线垂直，发生平面弯曲变形。( 2)内力分析，判危险面。弯矩图如图(b) 、(b ')所示，(b) 图中正应力强度的危险面是跨中横截面，M max MC 1.5P(b') 图中主梁正应力强度的危险面是 CD 段 Mmax MC D P (3 a) 。max C D 223)应力分析，判危险点：危险截面的上下边缘点是正应力强度危险点。4) 确定辅助梁梁的容许跨度 a原C,max现 CD ,maxM 跨中 1.5P 30%

30、1.30 WzP( 3- a)22WzM CDWzWzC原,maxC,max1.5PWz1.51.30现PaCD ,maxP( 3- a )2212(3- a2)1.3 a (3 3) 2 1.385m1.3Wz6-26 在图示 20a 工字钢截面 c-c 的下边缘处，用应变仪测得标距 s=20mm的纵向伸长量为0.012mm。已知钢的弹性模量 E=210GPa。试求 P 的大小。zN0.20a解：( 1)求截面 c-c 的下边缘处的应变0.012s206 10 432（ 2）求截面 c-c 的下边缘处的应力。梁的下边缘处于单向应力状态， E 210 109 6 10 4 126 106Pa3

31、）求 P 的大小MCP/2 1 6 6 6C,max 6 126 106P 2 126 106 237 10 6 N 59.724kNC,maxWz237 10 63:2, 试确定此梁的的高度 h 和宽度 b。6-27 图示多跨梁材料的。拟采用矩形截面，且预设截面的高宽比为D4m BC2m 2mE2m51kN80kN40kNq =2kN/m23kN(a) AzybV kN)8076题 6-27 图解：（1）外力分析研究附属部分，可求得 D 链杆的约束反力为 80kN，如图所示。研究整个多跨梁，可求得 A、B 链杆的约束反力，如图所示。 荷载与梁轴垂直，梁将发生平面弯曲。中性轴 z 过形心与载荷

32、垂直，沿水平方向。（2）内力分析，判危险面，弯矩图、剪力图如图所示，M max 80kN m, Vmax 40kN。正应力强度的危险面是 D 横截面 , 剪应力强度的危险面是 CDE 杆段各横截面。（3）应力分析，判危险点。由于D 截面关于中性轴 z对称，故 D 危险面的上下边缘点是正应力强度危险点, CDE 杆段各横截面的中性轴上各点为剪应力强度危险点。（4）由正应力强度条件，确定横截面尺寸M max 80 10 33 3Wz max 6 0.6667 10 3 m3z 120 10 6bh 2 b 1.5b 2660.6667 10b 0.1211 m取 b 122 m,h = 183mm

33、5）由剪应力强度条件校核所选横截面尺寸max3 Vmax2A340 1030.122 0.183Pa2.69MPa故， 取 b 122m,h =183mm33AB180 z 0315(+)kN)25M (-)kN·m)· (+)20解：（1）外力分析，判变形。所有荷载均在纵向对称面内，梁发生平面弯曲变形。（2）内力分析，判危险面。其剪力图和弯矩图如图所示。3M 固 -25 103 M max（ 3）应力分析： B 点在中性轴上，正应力为零。固定端截面上 A 是压缩区的边缘点。B0A M 固AWz-25 103Pa 9.26MPa 120.180 0.326补充 2：图示平顶

34、凉台，顶面荷载 p=2000N/m 2, 木梁的许可应力 =10MPa ，s=1m （1） 经济的条件下。求主梁的位置 x 值。（2） 若 h/b=2,选择矩形木次梁的尺寸。试：在次梁用料最34A 、 B 的正应力。 B 点在中性轴上。补充 1： 矩形截面悬臂梁，受力如图所示。求固定端截面上次梁s=1m s=1m s=1ml=6m主梁-2M max=xV图M图+ M max(b)解：(1)外力分析，判变形。木次梁计算简图如图，发生弯曲变形。求反力：mB (F) 0 YA (6 x) 2 6 (3 x) 0 YA 12(3 x) 6x补充 1 图(2)内力分析，判危险面。其剪力图和弯矩图如图所示。危险面是B 或 AB 间剪力为零的横截面。1)因为矩形木次梁的拉压强度相等，当次梁的最大正弯矩和最大负弯矩绝对值相等时，且木次梁在两危险 面上的最大应力都达到许用应力值，则用料最经济。令，次梁上距 A 端 y远的截面剪力为零。 V(y) 0 YA 2y 0 y 6(3 x) 6x3)M max求最大正、负弯矩2xM maxYAy 2y2y 126(3 xx) y y22 6 x12(3 x) 6(3 x)6x6x6(3 x) 2 36(3 x)226 x (6 x)2M max