空间向量与立体几何

1、空间向量与立体几何【主要内容】空间向量的概念：1 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量2 向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3向量的大小称为向量的模（或长度），记作4模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作 a 6 方向相同且模相等的向量称为相等向量空间向量的加法和减法：1 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量a 、 b 为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C 就是a 与 b 的和，这种求向量和的方法，

2、称为向量加法的平行四边形法则2 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作a ，b ，则a b 实数 与空间向量 a 的乘积 a 是一个向量， 称为向量的数乘运算 当0 时，a 与 a 方向相同；当0 时，a 与 a 方向相反；当0 时， a 为零向量，记为0 a 的长度是 a 的长度的倍设，为实数， a ， b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：abab ；结合律：aa 第1页共5页如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，b

3、b0 ， a / b 的充要条件是存在实数，使 ab 平行于同一个平面的向量称为共面向量向量共面定理：空间一点位于平面C 内的充要条件是存在有序实数对x ， y ，使xyC ；或对空间任一定点，有xy C ；或若四点， C 共面，则xyz C xyz1 已知两个非零向量a 和 b ，在空间任取一点，作a ，b ，则称为向量 a ， b 的夹角，记作a, b 两个向量夹角的取值范围是：a,b0,对于两个非零向量a 和 b ，若a,b，则向量 a ， b 互相垂直，记作ab 2已知两个非零向量a 和 b ， 则 a b cos a,b称 为 a ， b 的 数 量 积 ， 记作 a b 即a ba

4、 b cos a,b零向量与任何向量的数量积为0 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影b cosa, b的乘积若 a ， b 为非零向量， e 为单位向量，则有1e aa ea cos a, e；2 a b a b 0 ； 3 a ba b a与 b同向， a a a2a a ；， aa ba与 b反向4a b； 5 a ba b cos a, ba b向量数乘积的运算律：1 a bb a ； 2a ba b ab；3abca cb c 若 i ， j ， k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组x, y, z ，使得 pxiyjzk ，称 x

5、i ， yj ， zk 为向量 p 在 i ， j ， k 上的分量空间向量基本定理：若三个向量a ， b ， c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组第2页共5页x, y, z ，使得 pxaybzc 若三个向量 a ， b ， c 不共面，则所有空间向量组成的集合是p pxaybzc, x, y, zR 这个集合可看作是由向量a ， b ， c 生成的，a,b ,c称为空间的一个基底，a ， b ， c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底设 e1 ，e2 ，e3 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以 e1 ，e2 ， e3 的公共起点

6、为原点，分别以e1 ， e2 ， e3 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz 则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p 存在有序实数组x, y, z ，使得 p xe1 ye2ze3 把 x ，y ， z 称作向量 p 在单位正交基底e1 ，e2，e3 下的坐标， 记作 px, y, z 此时， 向量 p的坐标是点在空间直角坐标系xyz 中的坐标x, y, z设 ax , y , z， bx, y , z，则：1112221 a bx1x2, y1y2 , z1z2 2a bx1x2 , y1y2 , z1z2 3ax1 ,

7、 y1, z1 4a b x1x2y1y2z1 z2 5 若 a 、 b 为非零向量，则 aba b0x1x2y1 y2z1 z2 0 6若 b0 ，则 a / babx1x2 , y1y2 , z1z2 7aa ax12y12z12 8cos a, ba bx1 x2y1 y2z1 z2x12y12z12x22y22a bz229x1, y1 , z1 ，x2 , y2 , z2 ，则 d222x 2 x 1y 2 y 1z 2 z 1在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示 向第3页共5页量称为点的位置向量空间中任意一条直线l 的位置可以由 l上一个定点以及一个

8、定方向确定点是直线 l 上一点，向量 a 表示直线 l 的方向向量， 则对于直线 l 上的任意一点，有ta ，这样点和向量 a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a ， b 为平面上任意一点，存在有序实数对x, y ，使得xayb ，这样点与向量 a ， b 就确定了平面的位置直线 l 垂直，取直线 l 的方向向量 a ，则向量 a 称为平面的法向量若空间不重合两条直线a ， b 的方向向量分别为a ， b ，则 a / ba / babR ， a b a ba b 0 若直线 a 的方向向量为 a ，平面的法向量为 n ，且 a，则 a /a /a na n 0 ， aaa / nan 若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a ， b ，则/a / bab ，aba b0 设异面直线 a ， b 的夹角为，方向向量为 a ， b ，其夹角为，则有coscosa ba b设直线 l 的方向向量为l ，平面的法向量为 n ， l 与所成的角为， l 与 n 的夹角为，则有 sincoslnln设 n ， n 是二面角l的两个面，的法向量， 则向量 n ， n 的夹角 （或其补角）1212就是二面角的平面角的大小若二面角l的平面角为，则 cosn1