线性代数笔记

1、线性代数笔记第一章行列式1第二章矩阵5第三章向量空间32第四章线性方程组49第五章特征值与特征向量错误 ! 未定义书签。第一章行列式1、3、1行列式得性质给定行列式,将它得行列互换所得得新行列式称为D 得转置行列式，记为或。性质 1 转置得行列式与原行列式相等。即( 这个性质表明:行列式对行成立得性质,对列也成立 ,反之亦然 )性质 2 用数 k 乘行列式D 得某一行（列）得每个元素所得得新行列式等于kD。推论 1 若行列式中某一行（列）得元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论 2 若行列式中某一行（列）得元素全为零，则行列式得值为0。可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质

2、3 行列式得两行（列）互换，行列式得值改变符号。以二阶为例推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式得值为零。性质 4 若行列式某两行（列）得对应元素成比例，则行列式得值为零。性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素得与，则行列式可分解为两个行列式得与，注意 性质中就是指某一行（列）而不就是每一行。性质 6 把行列式得某一行（列）得每个元素都乘以加到另一行（列），所得得行列式得值不变。范德蒙德行列式例 10 范德蒙行列式、=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)1、 4克莱姆法则定理 1、 4、 1 对于 n 阶行列式定理 1、4、2 如果 n 个未知数， n 个方程得

3、线性方程组 得系数行列式 D 0, 则方程组有惟一得解 :定理 1、 4、3 如果 n 个未知数n 个方程得 齐次方程组 得系数行列式零解，没有非零解。推论如果 齐次方程组 有非零解，则必有系数行列式D=0。D0，则该方程组只有第二章矩阵一、矩阵得运算1 、矩阵得加法设 A= （ aij ） m×n ， B=（ bij ） m×n ，则A+B= （ aij +b ij） m×n矩阵得加法适合下列运算规则：（ 1）交换律： A+B=B+A（ 2）结合律：（ A+B ）+C=A+ （ B+C ）（ 3） A+0=0+A=A此处 0 表示与 A 同型得零矩阵，即A= （

4、a××ij ） mn ， 0=0m n（4）矩阵 A=（ aij ）m×n，规定 -A= （ -aij） m×n，（称之为 A 得负矩阵），则有 A+ （ -A ）=（ -A ） +A=02 、矩阵得数乘设 A= （ aij ） m×n， K 为数，则KA= （ Kaij ） m×n矩阵得数乘适合下列运算规则：（ 1） K （ A+B ） =KA+KB（ 2）（ K+L ）A=KA+LA（ 3）（ KL ）A=K （ LA ）（ 4） 1*A=A（ 5）0*A=0 （左端得零就是指数 0，而右端得“ 0”表示一个与 A 行数列数相同得

5、零矩阵。 ）3、矩阵得乘法设 A= （ a××ij ） m n， B=（ bjk ） n l，则A*B=C= （ cik） m×l其中 C= aij bjk （j=1 ， n）注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵得列数等于第二个矩阵得行数；矩阵乘法不满足交换律 ，即 AB 不一定等于 BA ；矩阵乘法有零因子，即A 0（零矩阵）， B 0（零矩阵），但有可能 A*B=0 （零矩阵）矩阵得乘法适合以下法则：（1）结合律：（ AB ）C=A （ BC ）（2）分配律（ A+B ） C=AC+BCC（A+B ） =CA+CB（3） k（ AB ） =（ kA ） B=A （

6、kB ），此处 k 就是一个数。由于矩阵乘法得结合律，故对于方阵A 来说， A 得方幂就是有意义得，即A k=A*A A 共 k个 A 相乘，从而有（1） A kA l=A k+l（2）（ A k） l=A kl（3） I nA=AI n=A4、矩阵得转置将矩阵 A 得行变成列，列变成行得到得矩阵称为 A 得转置矩阵，记作 A T 或 A / 注意 A 就是 m× n 矩阵，则 A T 为 n×m 矩阵矩阵得转置适合下列运算法则：（ 1）（ A T） T=A（ 2）（ A+B ）T =A T+B T（ 3）（ kA ） T=kA T（ 4）（ AB ） T=BT A T5、

7、方阵得逆矩阵设 A，B 为同阶可逆矩阵。常数k0。则1、可逆，且。AA -1 =A -1A=E2、 AB可逆，。3、也可逆，且。 （ A -1） k=（ Ak） -14、 kA 也可逆，且。（ 注： K 不能为0）5、消去律设 P 就是与 A，B 同阶得可逆矩阵，若若 a0， ab=ac 则 b=c。PA=PB，则A=B。6、设 A 就是 n 阶可逆方阵。定义，并定义。则有，其中 k，l 就是任意整数。7、设 A 就是 n 阶可逆方阵，则。2、3、1逆矩阵得定义定义 2、3、 1 设 A 就是一个n 阶方阵。若存在一个n 阶方阵 B 使得。则称 A 就是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。若这样得

8、B 不存在，则称A不可逆。定理 2、3、 1 可逆矩阵A 得逆矩阵就是惟一得。定理 2、3、 2 n 阶方阵 A 可逆得充分必要条件就是，且当时，。推论 设 A， B 均为 n 阶方阵，并且满足AB=E，则 A,B 都可逆，且。2、4、1分块矩阵得概念对于行数列数较高得矩阵横线与竖线将其分成若干个小矩阵。阵称为分块矩阵。A，为运算方便，经常采用分块法处理。即可以用若干条每个小矩阵称为A 得子块， 以子块为元素得形式上得矩2、 4、 3几个特殊得分快矩阵得运算（ 1）准对角矩阵方阵得特殊分块矩阵形如得分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。（ 2）两个准对角（分块对角）矩阵得乘积则（

9、3）准对角矩阵得逆矩阵若均为可逆阵。可逆，且。（ 4）准上（下）三角矩阵得行列式。可以证明 （1）用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！（ 2）在求矩阵得秩时，可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，而且不必化成简化行阶梯形矩阵定义 2、 5、 1（线性方程组得初等变换）称下列三种变换为线性方程组得初等变换。（ 1）两个方程互换位置；（ 2）用一个非零得数乘某一个方程；（ 3）把一个方程得倍数加到另一个方程上。显然，线性方程组经初等变换后所得得新方程组与原方程组同解。事实上，上述解线性方程组得过程，只要对该方程组得增广矩阵做相应得行变换即可。二、矩阵初等变换得定义定义 2、5、

10、2 分别称下列三种变换为矩阵得第一、第二、第三种行（列）初等变（ 1）对调矩阵中任意两行（列）得位置；（ 2）用一非零常数乘矩阵得某一行（列）；（ 3）将矩阵得某一行（列）乘以数k 后加到另一行（列）上去。把行初等变换与列初等变换统称为初等变换。定义 2、5、3 如果一个矩阵A 经过有限次得初等变换变成矩阵B，则称A 与B 等价，记为 AB。等价具有反身性即对任意矩阵A，有 A 与 A 等价；对称性若 A与 B等价，则B与 A等价传递性若 A与 B等价， B与 C等价，则A与 C等价。三、矩阵得行最简形式与等价标准形简单地说， 就就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过

11、初等变换（包括行与列得）可以把矩阵化成等价标准形。阶梯形矩阵得定义：满足（ 1）全零行（若有）都在矩阵非零行得下方；（ 2）各非零行中从左边数起得第一个非零元（称为主元）得列指标j 随着行指标得增加而单调地严格增加得矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行）行最简形式以称满足（ 1）它就是阶梯形；（2）各行得第一个非零元都就是1；（ 3）第一个非零元所在列得其它元素均为零得矩阵为行最简形式。若允许再作初等列变换可继续得这最后得式子就就是A 得等价标准形。 一般，任何一个矩阵得等价标准形都就是分块对角阵，也可能为或。2、 5、 2初等方阵定义 2、 5、 4 对单位阵施行一次初等变换所得到得矩阵称

12、为初等方阵。以三阶方阵为例第一种：第二种：第三种 :显然，初等阵都就是非奇异阵。2、 5、 3用初等变换法求逆矩阵因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即则这表明， 当对 A 作初等行变换将A 变成单位矩阵E 时，若对单位矩阵做完全相同得初等变换则单位矩阵E 将变成。于就是有求逆矩阵得初等变换法:写出分块矩阵作初等行变换，当A 化成单位阵时， E 就化成为。2、 5、 4用初等变换法求解矩阵方程一元一次方程得标准形矩阵方程得三种标准形ax=b （a0）AX=BXA=B（ 3） AXB=C则解法：对第一类作分块矩阵对 A 作初等行变换，当A 变成单位阵时，由于B做得就是同样得初等行变换，

13、则得到得就是对于第二类得可。先转化为第一类得，即由两边转置得按上例得方法求出进而求出X二、初等变换得性质定理 2、5、1 设线性方程组得增广矩阵经有限次得初等行变换化为，则以与为增广矩阵得方程组同解。定理 2、5、2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列） 化成等价标准形。 且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做得初等变换无关。定理 2、5、 3 设 A 就是一个m×n阶得矩阵，则（ 1） 对 A 做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应得m阶初等矩阵左乘 A；（ 2） 对 A 做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初等变换相应得n 阶

14、初等矩阵右乘 A；推论 1 方阵经初等变换其奇异性不变。定理 2、5、4 对于任意得m×n阶矩阵 A，总存在 m阶可逆矩阵P 与 n 阶可逆矩阵Q，使得推论 2n 阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。因为否则，其等价标准形不可逆。定理 2、5、 5n 阶方阵 A 可逆得充分必要条件就是A 能表示成若干个初等阵得乘积。证 充分性就是显然得。下面证必要性。“”已知A 为 n 阶可逆阵，则A 与等 价 ， 故 存 在 有 限 个n阶 初 等 阵，即，亦即 A 能表示成有限个初等矩阵得乘积。必要性得证。推论 3任意可逆阵A（非奇异阵） 只经过有限次得初等行（列） 变换就能化成单位阵。对 n

15、阶方阵 A，初等变换不改变其奇异性。定义 2、 6、 1 矩阵 A 得最高阶非零子式得阶数称为该矩阵得秩。记为r （ A），有时也记为 秩（ A）。事实上，如果A 有一个 r 阶子式不等于零，而所有r+1 阶子式都等于零，则r （ A）第三章向量空间一、 n 维向量线性运算得定义与性质;定义 ：设就是一组n 维向量构成得向量组。如果存在一组不全为零得数使得则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。向量线性运算得性质： 向量得运算满足下列 8 条运算律： 设，都就是 n 维向量，k， l 就是数，则（ 1） += +；（加法交换律）（ 2）（ +） + =+（ +）；（加法结合律）（ 3） +

16、0=；（ 4） +（-） =0（ 5） 1× =（ 6） K （ +） =k +k；（数乘分配律）（ 7）（ k+l ） =k +l ；（数乘分配律）（ 8）（ kl ） =k（ l ）；（数乘向量结合律）二、 n 维向量组得线性相关性1、向量组得线性相关性得定义与关于线性相关得几个定理;（ 1）m个 n 维向量线性相关得充分必要条件就是至少存在某个就是其余向量得线性组合、线性无关得充分必要条件就是其中任意一个向量都不能表示为其余向量得线性组合、（2）如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示, 且表示法唯一、（3） 线性相关得向量组再增加向量所得得新向量组必线性相关、（部分相关

17、，则整体相关；或整体无关，则部分无关）（ 4）若向量组线性无关 , 则接长向量组必线性无关、2、判断向量组得线性相关性得方法（ 1）一个向量 线性相关（ 2）含有零向量得向量组必线性相关；（ 3）向量个数向量维数时， n 维向量组线性相关；（ 4）向量个数 > 向量维数时 , 向量组必线性相关；（ 5） 若向量组得一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；（ 6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；（ 7）向量组线性无关向量组得秩所含向量得个数，向量组线性相关向量组得秩<所含向量得个数；（ 8）向量组必要条件就是齐次方程组线性相关（无关）得充分有（没有）非零解、向量组得秩一个

18、向量组1， 2， m 得部分组i1， i2 ，ir 满足如下条件：（ 1） i1 ， i2 ， ir 线性无关（ 2）该向量组任意一个向量添加到这个部分组后得到得向量组线性相关则称 i1， i2，ir 为向量组1， 2， m 得极大线性无关部分组。性质：（ 1）一个向量组得任意向量可由极大无关组线性表示且表示式系数唯一；（ 2）一个向量组得两个极大无关组所含向量个数相等。一个向量组1， ，m得极大无关组所含向量个数称为向量组得秩，记作2r（ 1， 2， m）。一个 m× n 矩阵 A ，其行向量组得秩称为矩阵A 得行秩；列向量组得秩称为矩阵A 得列秩。性质：（ 1）一个 m×

19、; n 矩阵 A 得行秩等于列秩等于矩阵A 得秩。（ 2）对 m× n 矩阵进行初等变换不改变列向量之间得线性关系，进行初等列变换不改变行向量之间得线性关系， 因此可以用初等行变换求一组列向量得极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表示。三、向量组得极大无关组及秩1、极大无关组得定义2、向量组得秩求向量组得秩与极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示得得方法四、子空间得定义，基、维数、向量在一组基下得坐标3、 4、 1向量空间得概念定 义3 、 4 、 1n 维 实 向 量 得 全 体 构 成 得 集 合 称 为 实n 维 向 量 空 间 ， 记 作。定义 3、4、2 设 V

20、就是得一个非空子集，且满足（1）若则；（1）若，则则称 V 就是得子空间。定义 3、 4、3 对任意得一组n 维向量，由它们得全体线性组合组成得集合生成得子空间，记为3、 4、 3基，维数，坐标定义 3、4、 4 设 V 就是得一个向量空间（子空间）。若V 中得向量组；（ 1）线性无关；（ 2）V 中得任意一个向量，都能由线性表出（,线性相关，且表示法惟一），即存在惟一一组数，使得。则称向量组为 V 得一个基，称r 为向量空间 V 得维数，称为向量 在这个基下得坐标。没有基，定义为0 维。第四章线性方程组一、线性方程组得三种表示方法二、齐次线性方程组1、齐次方程组解得性质设 , 都就是 Ax 0 得解，则C1 C2 也就是 Ax 0 得解（ C1，C2 为任意常数）2、齐次方程组有非零解得条件1）齐次方程组AX 0 有非零解得充分必要条件就是r （A）未知数得个数（即矩阵A得列数）、2） n 个未知数n 个方