考研数学1.1利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题_第1页
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1、2、利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题考研数学每年必考有关求极限的问题，利用等价无穷小代换求极限一般可以简化计算，但我们一定要明确，在求极限时，什么时候能用等价无穷小代换，什么时候不能用等价无穷小代换，这也是部分学员，尤其基础比较薄弱的学员开始复习的时候比较容易犯错的地方。下面通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。例 1：求极限 lim tan x3sin xx0xtan xsin xxx解： limlim0x 0x3x0 x3利用等价无穷小代换 这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题若',',则''.考察这

2、个命题，limlimlim，当 lim1 时 , 这个 命 题是 真命 题；当11lim1时 , 命题是假命题对于例 1，因为，sin x,tan x, '' x ， limlimsin x1x 0x 0tan x所以，证明的结论是错误的正确解答 :lim tan x sin x lim tan x(1cosx)x x21lim2.x 0x3x 0x3x 0 x32sin( x2 sin 1 )例 2：求 limxxx0sin(x2 sin 1)x2 sin 1lim xsin 1错误解答 :limxlimx0x 0xx 0xx 0x错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小

3、代换：sin x2 sin 1: x2 sin 1 , x0xx精选文库而根据无穷小的比较的定义，当所以不能用等价无穷小的代换x取 1(nZ )时，sin( x2 sin1) 和 x2sin1均为 0，nxx正确解答： 当 x0时，11sin( x2 sin 1 )x2 sin 12sin22，xxx0( x 0)sin( x)xsinxxxxx所以，由夹逼准则知原函数极限为0sin x例 3：求极限 limxx解：本题切忌将sin x 用 x 等价代换，导致结果为 1应该为： lim sin xsin0 .xx注意：乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件

4、的，故统一不用这时，一般可以用泰勒公式、洛必达法则等方法来求极限注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换，如例2.3 巩固相应知识点 无穷小量阶的定义,设 lim( x)0,lim(x)0 .(1)若 lim( x),则称(x) 是比 （x) 高阶的无穷小量 .0( x)(2)若 lim( x),则( x)是比（ x)低阶的无穷小量 .( x)(3)若 lim( x)c(c 0), 则称 (x)与（ x) 是同阶无穷小量 .( x)(4)若lim( x)则称(x)与（x)是等价的无穷小量,记为( x)( x) .1,( x)(5)若lim(x)c(c0), k 0,则称( x)是（x)的 阶无穷小量k ( x)k 常用的等价无穷小量(命题重点 ,历年必考 )当 x0 时,-2精选文

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