高一秋季集合中的常用数学思想目标班删解析

1、集合中的常用数学思想第1讲 函数11级函数概念的深入理解满分晋级 函数10级集合中的常用数学思想函数9级函数与方程<教师备案> 可以调查一下班上学生上过暑期课的比例，以及学校当前的进度对于集合，学生应从内心深处把集合当作一个锻炼的工具，集合从高中开始一直渗透到高中结束，甚至在有些过程中，我们都没有意识到集合是数学的语言，是一个对话的平台，语言的作用是为了沟通，集合的问题不在于基本的运算什么的你不会，而是给你一道集合相关的问题你根本读不明白题意，或者当你试图表达一个条件时，你没有办法用一套很严格的数学语言把它表达出来集合的中还渗透着很多数学思想，比如要想确定一个由描述法表示的集合，可

2、能需要对参数进行分类讨论；理解一些集合的关系与运算需要借助韦恩图与数轴，这便是集合中的数形结合；还有些集合问题直接解决比较困难，我们选择看它的反面，正难则反这些数学思想在以后的高中数学学习中，还会常常遇到，也会贯穿我们这一讲“给你一道集合相关的问题，你根本读不明白题意”这句话可以结合下面的例子说明，可以用这个例子作为课堂的引入，调动学生的思维兴趣：已知集合，若对于任意，中至少有1个在中，则称集合具有性质判断（不具有）、（具有）、（不具有）是否具有性质(更进一步的问题见华山论剑)1.1 元素与集合知识点睛1集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合构成集合的每个对象叫做这个集合的元素集合

3、一般用英文大写字母表示元素一般用英文小写字母表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作2元素与集合的关系：、；3常见的数集的写法：自然数集正整数集整数集有理数集实数集或4元素的性质：确定性、互异性、无序性5集合的表示法 列举法 描述法（又称特征性质描述法）：形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素为的范围，有时也写为 图示法，又叫韦恩（Venn）图 区间表示法：用来表示连续的数集<教师备案> 元素的性质：元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集

4、合，就是空集 集合的表示法： 列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素比如要想了解集合，的关系，可以用列举法把一个个元素写出来：，就知道是的真子集； 描述法是集合的一个重点与难点：，表达的外延，即的最大讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，并不一定能取到中的所有，只是一定是中的元素，表示的内涵，是对的精确描述如：集合，则， Venn图是表达集合中的各种关系与运算的； 区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的，我们为了方便与统一把它放到集合中，当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间，就表示，即这与是有区别的，这个集合可以出现的情况，此时这个集合

5、是空集暑假知识回顾1由实数，所组成的集合里，所含元素个数最多有（ ）A个 B个 C个 D个【解析】 C2下列集合中恰有2个元素的集合是（ ）A. B. C. D. 【解析】 B3若，则集合中的元素共有（ ）A个 B个 C个 D个【解析】 A经典精讲考点1：元素与集合的关系【例1】 已知，若，求实数的值已知，集合，且，求满足条件的的值（目标班专用）已知，集合，点，但点，求的值已知是数集，且满足：若，则，则当 时，中仅有1个元素若集合中有且仅有两个元素，集合_ 或；备注：所有的【备选】在学生版都不出现，只在教师版与课件上出现，供老师选讲【备选】设是非空数集，且满足条件：若，则证明： 若，则中必还有

6、另外两个元素； 集合不可能是单元素集； 集合中至少有三个不同的元素【解析】 若，则，于是，故集合中还含有，两个元素 若为单元素集，则，即，此方程无实数解，与都为集合的元素，则不可能是单元素集 由是非空集合知存在现只需证明、三个数互不相等若，方程无解，；若，方程无解；若，方程无解，故集合中至少有三个不同的元素【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点解此题关键在于由已知，得到，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决中用到反证法的解题思想下面的例3中会进一步提到正难则反的思想考点2：两个集合相等<教师备案&

7、gt; 两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系【例2】 若，集合，则_由三个实数构成的集合，既可以表示为，也可表示为，则_（目标班专用）已知集合，且，则_点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和中的不为0的隐含信息，就能得到简便解法考点3：集合中涉及到的数学思想<教师备案> 本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例1与例2都涉

8、及到了分类讨论的思想，例5与例6会涉及到数形结合的思想例3是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明例3不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面遇到至少有、至多有的问题，需要注意问题的反面的形式【铺垫】已知集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 【解析】 或解法一（按照的元素个数分类讨论）：解法二（按照方程的次数分类讨论）：解法三（先考虑问题的反面）：【例3】 （目标班专用）已知，且，中至少有一个不是空集，求实数的取值范围分析：至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种：或或也就是，和取并集第2种，至少有1个不是空集的反面

9、是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集” “全都是空集”取，的公共部分也就是交集，再取个补集就行当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房【拓展】已知集合，.若中至少有一个不是空集，求实数的取值范围【解析】 或1.2集合之间的关系与运算知识点睛1子集：如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，则是的子集，记作或；规定：是任意集合的子集如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于，记作或2真子集：如果

10、集合，且存在，但，我们称集合是集合的真子集，记作（或），读作真包含于（真包含）规定：是任意非空集合的真子集3集合相等：如果，且，我们说集合与集合相等，记作=4交集：；5并集：；6补集：全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用表示补集：在中的补集的数学表达式是7<教师备案> 集合的关系与运算在同步时放在同一个板块中讲解，如果班上学生进度太慢，且没有预习，老师可以对后面的顺序进行调整，知识回顾1与例4是集合的关系，知识回顾2是集合的运算暑假知识回顾1 下列各个关系式中，正确的是（ ）A B C D 若集合，则下列关系成立的是（ ）A B C D 已

11、知两个集合，这两个集合的关系是（ ）ABCD 设，则下列关系正确的是（ ）A B C D【解析】 D B A C2 设集合，则_ 设集合，则=_ 已知全集，集合，则集合中元素的个数为（ ）A1 B2 C3 D4 B经典精讲考点4：集合的关系【例4】 设集合，则下列说法正确的有_设集合，则（ ）ABCD已知集合，则、满足的关系是（ ）A B C D B； B；考点5：集合的关系与运算<教师备案> 例5是具体的集合的关系与运算，其中涉及一元二次方程的解集，是有限集问题；从是连续数集问题，借助韦恩图会更容易解决对于一般的集合问题，这里有个易错点，即空集是任何集合的子集，考虑子集问题先想空

12、集！为了避免有部分学生没有上过暑期班，所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法【例5】 已知，其中，如果，则实数的取值范围是_已知集合，若，则实数的取值范围是 已知集合，若，则实数的取值范围是 设集合，若，则实数的取值范围是_ (目标班专用)设集合，若，则实数的取值范围是_；若，则实数的取值范围是_【解析】 或； 或； 或；<教师备案> 对于具体集合的子集问题例5已经讲得很明白，对于抽象的集合，要理解，需要从元素角度出发：即对任意的，有；这在证明抽象的集合的关系时很有用，见下面的德摩根律的证明集合的运算满足德摩根律：；对于德摩根律，可以使用两个集合相等的定义进行抽象的证明，如下：证

13、明： 对任意的，则，从而且；因为，所以；因为，所以，从而；从而有；对任意的，则且，从而，且故，即，故综上有；对任意的，则，从而或；若，则，从而；若，则，从而；从而有；对任意的，则或，即或，从而，故，故综上有，德摩根律的严格证明并不容易，学生需要时间慢慢适应高中的严格的推理有德摩根律的正确性借助于韦恩图是很容易得到的，韦恩图在表示集合的关系与运算时非常直观见例6考点6：韦恩图【例6】 设、均为非空集合，且，则下列各式中错误的是( )ABCD若全集，、为的子集，且，求、和（目标班专用）某班学生期中考试成绩表明：人数学成绩不低于80分；人物理成绩不低于80分；人的数学、物理成绩都不低于80分. 则这

14、两科成绩至少有一科不低于80分的人数为_【解析】 B；【点评】对于任意两个集合、，记有限集合的元素个数为，有限集合的元素个数为，上面的结论就是容斥原理，而且可以推广到三个或更多的集合：备注：【练习】学生版也出现，一般在介绍一种新的方法或题型时，会配上练习让学生巩固一下【练习】已知全集中有个元素，集合中有个元素，中有个元素，有个元素，则集合中的元素个数是_考点7：子集个数问题若集合中有个元素，则集合的子集有个，真子集有个，非空真子集有个<教师备案> 这个结论可以归纳得到：当中有两个元素时，记为，的子集有个；当中有三个元素时，记为，的四个子集仍然为的子集，且这些子集中加入元素后会得到四

15、个新的互不相同的子集，且的每个子集都可以归在这两类中，从而的子集个数是的两倍，从而有个子集，可以归纳得到(含有个元素的集合)有个子集如果利用乘法原理（奥数学介绍过，在高二会进行系统学习），会很容易得到这个结论，要得到的子集，只需考虑的每个元素在或不在这个子集中，对个元素，可以通过步得到，每步有两种不同的方法，故共对应个子集【铺垫】已知，则满足上述条件的集合的个数是（ ）A8 B32 C16 D4【解析】 A【例7】 已知，若是的子集，且，则子集共有_个若集合满足：对任意，都有，就称是“和谐”集合则在集合的所有非空子集中，“和谐”集合有_个（目标班专用）已知集合，是的若干个不同的二元子集，对任意

16、的，设，满足，则的最大值为_ 15【拓展】求集合的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）【解析】 先分析特殊情形，发现元素出现的规律之后再研究集合一般地：如果（），则的子集共有个，所有子集的元素和之和为考点8：集合的新定义问题（目标班专用）【例8】 定义集合运算：，设，则集合的所有元素之和为（ ）ABC D对任意两个集合、，定义：，且，设，则 集合，是的一个子集，当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，那么无“孤立元素”的元子集的个数是_的所有的有“孤立元素”的子集个数是_设符号“”是数集中的一种运算(如：减法运算、乘法运算)，如果对于任意的，都有，则称集合对于运算“”是封闭的(除法运

17、算时，要求)下列说法正确的是_ 整数集对于实数的加法与乘法都是封闭的； 有理数集关于实数的四则运算都是封闭的； 对于实数的乘法运算是封闭的； 集合对实数的乘法是封闭的； 集合对实数的乘法是封闭的已知为数集，且至少含有两个数，若此数集关于四则运算封闭，那么称为数域，如有理数集就是一个数域，数集也为数域，下列说法正确的是 整数集为数域若，则为数域数域一定是无限集存在无穷多个数域【解析】 D；<教师备案> 关于集合对运算的封闭性，在上定义“”，关于加法封闭：即任意两个自然数相加仍为自然数自然数对于减法是否封闭？不封闭，从拓展到数域的拓展都是由于对运算的不封闭所造成的对于乘法运算是封闭的，

18、但对于除法运算却是不封闭的，于是从拓展到；而从是由于对于乘方的逆运算不封闭，包括后面的也是由于一些运算的不封闭【练习】设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么称是的一个“孤立元”给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个【拓展】对于集合，将按由大到小的顺序排好，并在它们中间填入 符号，计算得到的数称为集合的特征，记为；例如：，则；若，则；定义的特征为0. 计算集合与的特征； 证明：对于，则 若，请计算的所有子集的特征和【解析】 的特征是；的特征是； 分析：可以找个具体的集合先研究一下，如，由于前一个总比后一个大，分类考虑当有偶数个元素和奇数个元素时，；再如，把让出来，

19、后面两两组对，每对都是小于0的数，此题说明，当想证明某式大于0时，可以采用分组的方法说明每个部分都大于0，当想证明小于某数时，可以先将这个数踢出去，证明剩余部分小于0，这种思想在以后学数列和不等式时会用的上证明：对分奇偶讨论： 若为偶数，（时取等号） 当为奇数，综上知， 先用一个简单的考虑：，有4个子集，特征和为； 再考虑可以偷懒，凡是的子集都是的子集，只需写与 不同的子集，怎样写不同子集？只需在子集上加一个元素3，每增加1个元素，子集个数一定会扩大一倍。 特征为：0 特征为： 3 1 2 我们发现上面每行的特征和都为的特征和为；现在我们考虑，仍然通过的子集进行拓展考虑：原集合特征新集合特征4我们得到的特征和为对于1，4，12，32，结合上面的过程，容易找到规律： 为什么是 ，特征为；，特征为；这两个集合的特征和为7，因为随着增加一个数后，前面的所有数变号，相加后抵消 对于集合，共个子集，将其分成有和无两类，两类之间一一对应 特征和为， 特征和为 特征和为共组，每两组对应的特征和为，故所有的子集的特征和为故的所有子集的特征和为(从这里可以进一步思考，证明一个集合