人教A版高中数学必修4第一章三角函数复习学案

1、第一章三角函数、任意角1 .广义角正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角.按边旋转的方向分j零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角.角L负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.的分类按终边的位置分一象限角第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角 a | k?360° V a V 90° +k? 360° ,k C Z a |90 °+k? 360° V a <180° +k? 360°,kCZ a |180° +k? 360° V a <270° +k?360

2、76;,kCZ a |270° +k? 360 ° V a <360° +k?360°,kCZ或 a | 90° +k? 360° v a v k? 360° , kC Z轴上角(象间角)：当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限.2 .终边相同角的表示：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=(3|B=a+k?360。，kCZ,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和.3 .几种特殊位置的角：(1)终边在x轴上的非负半轴上的角：a=k?360°,kCZ；(2)终

3、边在x轴上的非正半轴上的角：a=180°+k?360°,kCZ；(3)终边在x轴上的角：a=k?180°,kCZ；(4)终边在y轴上的角：a=90°+k?180°,kCZ；(5)终边在坐标轴上的角：a=k?90°,kCZ;(6)终边在y=x上的角：a=45°+k?180°,kCZ；(7)终边在y=x上的角：a=45°+k?180°,kCZ或a=135°+k?180°,kCZ;(8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：a=k?45°,kCZ.例1已知a为锐角，那么2”

4、是().A.小于180。的正角B.第一象限的角C.第二象限的角D.第一或第二象限的角答案：A解析：a为锐角，0°Va90°,0°V2aV180°,故选A.例2射线O砥端点皿时针旋转120。到达O卧置，由O时置顺时针旋转270。到达O时置,则/AO仔().A.150°B.150°C.390°D,390°答案：B解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和，1200+(270°)=150°.例3如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是().A.a|45°<aW120°B.a|120

5、°<a<315°a wk? 360°C.a|k?360°45°WaWk?360°+120°,kCZD.a|k?360°+120°&+315°,kCZ答案：C120° , kC解析：由如图所知，终边落在阴影部分的角的取值是k?360°45°&aWk?360°Z,故选C.表本.二、弧度制1 .弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad2 .一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的

6、弧度数是03 .如果半径为r的圆的圆心角”所对弧的长为1,那么，角”的弧度数的绝对值是a相关公式：（1）1= nU = a r ；180(2)Silr一 2nnr12=-a r .36021804 .角度制与弧度制的换算：（1）1心布rad；（2）1rad=（）.例1扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是（）弧度.A.兀B答案：C71271371解析:圆心角所对的弦长等于半径，该圆心角所在的三角形为正三角形，圆心角是例2在直角坐标系中，若角a与角§终边关于原点对称，则必有（）.D. a = 2k 兀A.a=-3B.a=-2kTt±B（kCZ）C.”=兀+3+兀+3（

7、keZ）答案：D解析：将a旋转兀的奇数倍得例3在半彳空为3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（）.A.mcmB.ccmC.cmD.cm答案：B.一兀解析：由弧长公式得，1=|”|="3*3=兀(cm).三、三角函数定义1 .单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点2 .利用单位圆定义任意角的三角函数：设那么：(1) y叫做a的正弦，记作(2) x叫做a的余弦，记作(3)o为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),sina,即sina=y;cosa,即cosa=X；叫做a的正切，记作tana,IPtana=(xw0).Xx3

8、.同角三角函数的基本关系平方关系：sin2二，cos2：-=1=sina=国1cos2a;cosot=±1sin2ct.商的关系：当aWkn+N(kCZ)时，sna=tana.例1已知角a的终边经过点(一4,3),则cosa=().D.答案：D解析:由条件知:x=-4,y=3,贝Ur=5,cosa=例2若sin8?cos8v0,则8在().A.第一、二象限B.第一、三象限答案：D解析：sin0cos0<0,sin0,cos0异号.x4r5,C.第一、四象限D.第二、四象限当sin0>0,cose<0时，8在第二象限；当sine<o,cose>o时，e在第

9、四象限.例3已知角a的终边经过点P(b,4),且sina=4,则b等于().5A.3B.3C.±3D.5答案：C-244斛析：r=|OP=bH6,sina=-2=5,，b=±3.四、三角函数的诱导公式公式一公式公式三公式四sinj：工，k2二-sin：-cos：£，k2二二cos：tan:工，k2-：-tan：-【注】其中k三Zsin二：-sin二cos二：-cos、etan二：-tan1.sin-sin：cos-cos:tan-tan：sincostanti-a.Ji-a=sin:=-cos：二-tan：公式一到四可以概括如下:-an+a的三角函数值,等于口的同

10、名函数值,前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符公式五公式六(it)sin-：=cos;2sin-cos.-;；cosI-2tan-2-sin、工-aacos-=_sin-2-cot二公式五、六可以概括如下：±o（的正弦（余弦）2函数值，分别等于a余弦（正弦）函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号（奇变偶不变，符号看象限）例1sin600°).1A-2答案：C解析：sin600=sin(360°+240°)=sin240=sin(180°+60)=sin60例2已知角e的终边过点（4,3）,则cos（兀一).4A，5答案:解析:由题意

11、，知cos9=x=4,r5例3下列各三角函数值:sin1125sin37f;St；sin1cos1其中为负值的个数是（).A.1答案:解析:1125°=1080°+45,则1125。是第一象限的角，所以sin1125>0;因37兀1312=2兀+12兀，37 37则行兀是第三象限角，所以 tan也兀>0,第二象限,则加3>0、3<0，故需37-3737一一、，一，sin12兀v0,故tan12兀？sin方兀v0;因3弧度的角在一兀兀一.,一一<0;因"4<1<_2,则sinlcosl>0.，为负数.因此选B.五、三角

12、函数的图像与性质正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanx定义域RR3Tx|x=#+k兀，kwZ2值域-1,1-1,1R令点x|x=kn,kwZx|x=十kn,kwZ2x|x=kn,kwZ周期性T=2兀T=2兀T=tt奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间-+2kn,-+2kn(k=Z)22-兀+2kn,2E(kWZ)冗冗(+kH-+kH)(kwZ)22减区间3.3n+2kn,+2kn(kWZ)222kn,n+2kn(kwZ)>对称性对称轴jix一十kn(k")2x=kn(kwZ)对称中心(kn,0)(k")ji(一+kn,0)(kwZ)2也一T）（k

13、Z）图像32.1,XIIIIIIII1.1R,-4-2fz-1-202462-4'-"2"7J-2.41J1111Jl1/-61”.-2l'i'112J4&l1注意：丫=$冶*周期为2兀；y=|sinx|周期为兀；yTsinx+k|周期为2兀；y=sin|x|不是周期函数.一兀一.).例1函数y=sin(x；)的一条对称轴可以是直线(兀A. x= B7兀 x= T答案：B,.兀兀解析：解法一：令x彳=kTt+2-,k力+keZ,k=otx=74法二：当x=*时，y=sin(74-4)=sin3=1,(x,故选B.解4)的一条对称轴.例2函数y

14、=sin2x的单调减区间是().:兀31A.|+2k%,2兀+2卜兀(kCZ)兀31B.|k兀+4,k兀+4兀(kCZ)C.兀+2k兀,3兀+2卜兀(kCZ),兀兀D-Jkit-,kTt+4i(kCZ)答案：B解析:,%3由2kTt+<2x<2k7t+-71,22一兀zz倚y=sin2x的单倜减区kk+t，k冗CZ).一.3例3已知函数y=1+sinx,xC0,2兀,则该函数图象与直线y=2父点的个数是(A.0B.1C.2D.3答案：C一.一3.一一.解析：分别作出函数y=1+sinx,x0,2兀与直线y=2的图象，如下图所不：3十二兀(k4).由图可知，函数y=1+sinx,xC

15、0，.-32兀与直线y=2有两个交点，故选C.例4已知函数f(x)=iog1(1sin2x)22(1)求f(x)的定义域、值域和单调区间;(2)判断f(x)的奇偶性.解：(1)要使函数有意义，须sin2x>0,1-2k兀v2xv2k兀+兀,.兀，k兀vxvk兀+_2-(kCZ),f(x)定义域为(kn,kn+2I),kCZ.211-.10Vsin2x<1,0V2sin2x<2,Tog1(Isin2x)>1,即值域为1,+°0)-22'令y=sin2x,则函数y=sin2x的增区间即为函数f(x)的减区间，函数y=sin2x的减区间即为函数f(x)的增区

16、间.函数f(x)的单调递减区间为依依+工(kCZ),4,兀兀'1单调递增区间为|k兀+了，k兀+5j(kez).(2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数.六、函数y=Asin。，x+：P)1 .得到函数y=Asin(ox十中)图像的方法：y=sinx_y=sin(x+中)一y=sin©x+中)Jy=Asinx+平)cp、 振幅变换A ,)y = Asin ( x )y=sinx-Jy=sinsx一吩?吧二金上ty=sin(0x+中2 .函数y=Asin(®x+呼*A>0,o>0)的性质:2二1.振幅：A；周期：T=；频率：f=；相位：co

17、x十里；初相：中-2二函数y=Asin(cox+*户B,当x=x1时，取得最小值为ymin；当x=x?时，取得最大值为ymax,-1B - 2YmaxY mini.1则A=-(ymax-Ymin),2T,二=x2xIx<x2).2例1函数y=5sinj|x+-6M最小正周期是().7t6答案：C.,22 兀解析：T=- |例2曲线y = sin兀（2x+ ）的一条对称轴是（).A嘘5兀x= T12x-7-x_7jt答案：D例3函数y = sin2x+-3-任区间0 ,兀内的一个单调递减区间是（).A.1V211 Tt2iE _E.6 ' 2答案:解析:7t+ 2k7t & 2x + -w232卜2k兀（kC Z）得7t7兀+ kTt ( kC Z), .选 B.例4已知函数f（x） = 2sin （ cox+ 6）的图象如图所示，则 f （12)=答案：0解析：由图象知,2兀，兀、T= 丁,f(-) = 0, f(3412二 二 二 T、f （一 ）= f （一 一）=例 5 已知函数 y= Asin (cox