三角形的等积变形(一)

1、年级四年级学科奥数版本通用版课程标题三角形的等积变形一编稿老师允一校林卉二校琦锋审核舒这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个局部，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。三角形面积的计算公式:$=底乂高*2三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 如果三角形的底不变，高越大小，三角形面积也就越大小 如果三角形的高不变，底越大小，三角形面积也就越大小 当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。一个三角形的面积变 当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定

2、变化。化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。 一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。 重要结论： 等底等高的两个三角形面积相等。那么这个三角那么这个三角 假设两个三角形的高相等， 其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍, 形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 假设两个三角形的底相等， 其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍, 形的面积也是另一个三角形面积的几倍。例1 如图，在 ABC中, D是BC边上一点，BD= 12厘米，DC= 4厘米。1求厶ABC勺面积是 ABD面积的多少倍；2求厶ABD勺面积是 ADC面积的多少倍。分析与解：因为 ABD ABCA

3、 ADC分别以BD BC和 DC为底时，它们的高都是过 A4点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12+ 4 = 16, 16- 12=344所以 ABC勺底是 ABD的底的一倍，所以， ABC的面积是厶ABD面积的一倍；同理，因33为12十4= 3,所以 ABD勺面积是 ADO积的3倍。稳固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底边长的倍数。例2 如图，E在AD上，AD垂直于BC AD= 12厘米，DE= 3厘米。求 ABC的面积是 EBC面积的几倍。分析与解：因为AD垂直于BC所以当ABCffiA EBC的底时，AD> ABC的高, ED> EBC的高。于

4、是： ABC的面积=BCX 12-2 = BCX 6; EBC的面积=BCX 3-2 = BCX 1.5。所以 ABC的面积是 EBC的面积的4倍。稳固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数。例3 如图，在梯形 ABCD中, AC与BD是对角线，其交点为 0,求证： AOB与 COD 面积相等。分析与解： ABC与 DBC等底等高,Saabc=Sa dbc又AOB = SA ABCSA BOC ，SA DOC=Sa dbcSA BOC ，例4 如图， ABC的面积是24, D E和F分别是BC AC和 AD的中点。求 DEF勺面 积。分析与解：/ D是BC的中点， ADM 面积是 A

5、BC面 积的一半，即 24 - 2= 12。/ E是AC的中点， ADE的 面积是 ADC面 积的一半，即 12-2= 6。/ F是AD的中点， DEF勺面积是 ADE面积的一半，即 DEF的面积=6-2= 3。例5 如下列图，在平行四边形 ABCDK E为AB的中点，AF= 2CF, AFE图中阴影部 分的面积为8平方厘米。那么平行四边形 ABCD勺面积是多少平方厘米？分析与解：连结FB因为AF= 2CF,所以 AFB的面积是 CFB的面积的2倍。又因为E为AB的中点，所以 AFB的面积是 AEF的面积的2倍。 所以 ABC的面积是 AEF的面积的3倍。又因为平行四边形 ABCD勺面积是 A

6、BQ的面积的2倍，所以平行四边形 ABCD勺面积是 AFE的面积的3X2= 6倍。因此，平行四边形 ABCD勺面积为8X 6= 48 平方厘米。答题时间：30分钟1. 用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。2. 如图，在长方形 ABCD中, AD为8厘米，AB为3厘米。请问：阴影局部的面积是多少 平方厘米？3. 如图，在 ABC中, D E、F分别是BC AD BE的三等分点， S abc = 27平方厘 米，求S def。4. 如下列图，梯形ABC啲上底AD长为5厘米，下底BC长为12厘米，腰CD勺长为8厘米, 过B点作CD的垂线BE BE的长为9厘米。那么梯形 ABC

7、D勺面积是多少？5. 如下列图，正方形ABCD勺边长为10,三角形BEF的面积为30。那么BF的长度为多少？美好的结局往往來自于艰难的过程.1.解：解法一：如图1,将BC边四等分，连接A与各等分点，那么厶ABD ADE AEF AFC的面积相等。解法二：如图2，D是BC的二等分点，E、F分别是AC AB的中点，从而得到四个等 积三角形厶ADF BDF DCE ADE解法三：如图3,D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到厶ABD AEC ECF FCD勺面积相等。13. 解：因为D为BC边的三等分点，所以SaadcSaabc = 9平方厘米。同理Sa abe =311Sa abd = 6 平方厘米，Sa bdf =Sa bde = 4 平方厘米，所以 Sa def = 27 9 6 4 = 833平方厘米。4. 解：连接BD作出梯形的一条高 DF三角形BCD以 CD为底、BE为高，面积为8X 9+2=36 平方厘米；也可以看做以 BC为底、DF为高，由BC= 12厘米可知DF为36X 2+ 12 =6 厘米。在梯形ABCDK上底为5厘米，下底为12厘米，高为6厘米，面积为5 + 12X 6+ 2= 51 平方厘米。5.