三角回扣教学案

1、三角回扣学案【学习目标】1.掌握三角函数的诱导公式与正余弦定理， 会利用诱导公式与定理 解决三角中求值问题。2.熟练掌握三角函数的图像与性质，并且会利用数形结合的思想研究三角函数的奇偶性、单调性、对称性、值域等性质。【学习重点】三角函数的图形与性质。【学习难点】利用图象解决三角函数中的有关性质。根底自测1.在厶ABC中,角A, B,C的对边分别为a,b,c，假设a* 2c2 b2)tan B. 3ac，那么C.D.角B的值为A. - B. -63D【解析】2 2 2(a c b )tanB.3ac 变 形 为2 2.2cos B tan Bsin B2a c b 丄 r10,那么tan2 a等

2、于()134A. 3B. 4 C.-祀.-§2. a R,sin a +2cos a【解析】选C.因为sin a+2cosVioa=所以 sin2 a+4s in a COS a+4cos 2 a=2.用降幕公式化简得:4sin2 a=-3cos2 a,所以tan2si 112 aa= d=_3.函数 f =Asin( A >0, 3 >0,| © |<局部图象如下列图，那么f的递增区间为(【解析】选B.由图象可知A=2,),k3llrt n3 ITT=Jug-T，所以T= n,故3=2.n 5n一石 + km 石 + RttZit：'=-2,得&

3、#169; =2k n- (k Z).因为| © | =© =-所以 f(x)=2sinrt(k Z),由 2x-itSirlor-正kTT +正(k Z).3或：T=11TTIt63ti TttIt所以T=n,&-412Jt2Itrt5n6+4=6+7=所以f(x)的递增区间是71远騙+2x + y=cos的图象重合,那么© ='(k Z).4.函数y=s in(2x+ © )(-)的图象向左平移IJ个单位后,与函数2(x + 扌)+ <py=sin L i 7【解析】将函数y=sin(2x+ © )(- nW©

4、;wn向左平移 个单位后得到=sin(2x+ n+© )=-sin(2x+© )=cos与 y=cos+ "fi"!的图象重合，且-nW©Wnjt所以© + =n答案：5.在厶ABC中,cos 2 =(a,b,c 分别为角 A,B,C的对边)，那么 ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形W b +冲【解析】选B.因为cos2 '=,b2 +- a2 b + c所以1+= c化简得a2+b2=c2.故KBC是直角三角形86.向量 a=(cosx,sinx),b=(雄 山)，a

5、b=,那么cos' M等于()所以A.- B.- ' C.L I cosA1 :5 D. 58【解析】选D.由a b =弓,cosx+8sinx二,所以 COSX+sinx二cos7.把函数y=2 sinxcosx+2cos 2x的图象向左平移©个单位得到的图象关于 y轴对称,那么©的一个可能取值为JLJIJI.A. 12 B. 6 C. 4 D.ji3【解析】选B.y= sin2x+cos2x+1=2s in J+1,平移后，得y=2sin+ 4+=2s inI2x + 召+1,Tt nn由题意，得2 © + =即© =.n8设函数 f

6、(x)= |sin(x+ 3)|(x R)，那么 f(x)()2 n 7 nnA .在区间丁，y上是增函数B .在区间n 刁上是减函数n nn 5 nc .在区间§, 4上是增函数d .在区间§,石上是减函数解析：选 A.f(x)的增区间为 knW x+n< kn+kG Z)，即 k n吕 x< kn+kC Z).当 k = 1 ,32362 n 7 n2 n 7 n那么为y w x w ，故在其子区间§,百上为增函数.1裁9.在厶ABC中,a,b,c 分别为角 A,B,C的对边,且/ A=60o ,假设Saab=,且5sinB=3sinC,那么 AB

7、C的周长等于.1-V315 庐【解析】依题意得2bcsinA二4 bc= 4 ,即 bc=15,5b=3c,解得 b=3,c=5.由余弦定理得 a2二b 2+c2-2bccosA=19,a= ：,因此AABC的周长等于a+b+c=8+".答案:8+ "1910.在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P.上午11时，测得东一轮船在岛的北偏东300 ,俯角30°的B处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60° ,俯角60°的C处,那么轮船的航行速度是 米/时.【解析】PA丄平面 ABC,ZBAC=90 °,ZAPB=60 &

8、#176;ZAPC=30 °,PA=1千米,a/301_从而BC二亍(千米)，于是速度v=BC "=2 倔(千米/时).答案：2"典例精析例1向量a(i叹软血+ C0对,b=(cosx,s in x-cosx),x R,记函数 f(x)= a b(1)求函数f(x)的单调递增区间 在厶ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 且满足2b-c=2acosC,求f(B)的取 值围.解析】(1)由题意知,f(x)= a b=sinxcosx+(sinx-cosx)(sinx+cosx).= sin 2x-cos2x=s innn+ ,k 乙5nnI n令 2k n-

9、 <2x-<2kI n那么可得 k n- 1Wk n+ 12,k 乙所以f(x)的单调递增区间为7i5mkir -莎 kTT +(k Z).由余弦定理可得 2b-c=2a,整理得b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2+?-a2 L2 be 2所以A= 6所以B+C= *.2nJtn所以0<Bv亍,所以?V2B- 3v n,所以-<sin<1, 即 - vf(B) <1.己知函截 /X- - CO5T + XCOS + XC I 求 fx豹最卜正熠期和单同遽减区间：4/ + 1 = 0II在锐角三鬼形ABC中.帝嵐£0所对的边分别是a,b,c ,

10、假设卫二船,求A45C J5K的取值范围*smxcosx =1+ cos 2,v - '3 sin 2x1=cos 4 + )十一.234f(x)的暈小IE周期F = *由 1k M i.t ! <, 2JLt 1 Z t3笔進数屮玄阻单调诺质M旬是收2分了分“.4分5分6分<n)由4/十1“得曲切彳2-1又因为 2+ -£(-,) ,所.2A+- = r 斡得 4 = - 7 分3333> 石又Ct - Jj r根擁正弦定避得-7= = W = 2 t ，T呂分sinC sm B穿sin 所以c 2sinC.A = 2sin2?故A45C 的周长l a +

11、 &-Hc = 2sinC + 2siaR + 曲=2&inC + 2 sin( - Ci 十33二 2岔 sin(C + ) +j3 610分阂为站召C是锐角三毎瞪，得巴疋Cc兰.6 2所臥 < C +< 所4< slh(C +)兰1 3632&11分所以ABC的周长的取值范曲是(3 +筋3狗-垃分2 2例 3 函数 f(x)=(sinx+cosx)-2cos x(x R).求函数f(x)的周期和递增区间.假设函数g(x)=f(x)-m在碣上有两个不同的零点xg求tan(xi+xO的值.【解析】(1)因为 f(x)=(sinx+cosx) 2-2co

12、s 2x二sin 2x-cos2x二 sin(2x-)(x R).nI nI itI n3 it由 2k n- <2x-<2k n+ ? k n- <x<k n+ (k Z).所以函数f(x)的周期为T= n递增区间为nkn - RJkn Z).因为 g(x)二f(x)-m=O同解于 f(x)=m;j在直角坐标系中画出函数f(x)= sin(2x-)在0,上的图象,由图象可知，当且仅当m 1,勺时,Tf(V方程f(x)=m在可上的区间丿和“Z有两个不同的解X1,X2,且X1与X2关于直线x=3tt:对称，即3n所以 xi+x 2=;故 tan(x i+x 2)=-1.当

13、堂达标1.cos 0 =- , 0 (- n ,0),那么 sin +cos =( A.B.C.D. ±【解析】选C.因为cos 0=-25,0(- n,0),所以sin210二-刃1125* e叶sili + COSy i所以£“ =1+sin又 COS B=- 25<0,(- n,0),所以計所以'(A J0I0 lol所以 sin <0,|sin |>|cos |,01 G |所以 sin +cos =-.2. ABC的三边a,b,c成等差数列，那么角 B的围是A. 0, B.,C., D. 0,-36 24 226. A【解析】试题分析：由

14、题意得，因为cosB2ac22. a C、2a c ( 2 )3(a2 c2) 2ac 6ac 2ac2ac2ac8aca cABC的三边a,b,c成等差数列，所以b，所以22 2 2a c b1，当且仅当2，根据余弦函数的单调性可知ac时等号成立，又B 0,B (0,，应选 A.3.函数f(x)=sin( 3 x+© )( 3 >0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为.假设角©的终边经过点P(-1,2),那么f=( )A.肓 B.忖 C.-5D.-5rt2 k【解析】选D.由题意得T=2 x2 =,所以3点P(-1,2)到原点的距离为r二. 丨'5 '

15、;,_2| _ 1所以 sin © = ,cos © 二.,f(x)=sin(2x+© ),'5ir'sini (T+<P) =si n=cos © =-4.设a为锐角，假设cos:,那么sin【解题导引】利用a-ifI，并结合三角变换公式求解It2n【解析】由于a为锐角,那么0< a<sina -n),那< a+ & < 3 ,因此=rt-'>0,所以 si所以sin'=si n15答案:拓展延伸cosa1.sin a +cosa =,那么 tan a的值为()A.-1B.-2

16、C.D.2【解析】选D.依题意得(sin a+cos a)2= 1+2sin acos a=2,+ sina二好 inncosLT=2£incccosa(=2.costt所以 2sin acos a=1,从而 tan a2.将函数f(x)=2 7'cos2x-2sinxcosx- 2的图象向左平移t(t>0)个单位长度,所得图象对应的函数g(x)为奇函数，那么t取最小值时g(x)=()A.-2s in2xB.2si n2xC.-s inxD.si nx【解析】选A.由题意得，f(x)=2cos 2x-2sinxcosx- 由二cos2x-s in 2x=2cos将函数f

17、(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度所得图象对应的函数为g(x)=2cos侬+ 2t +现卩,n又g(x)为奇函数，所以2t+的最小值为，解得 tmin =:.此时 g(x)=-2sin2x.且tan a =怕叩,那么(-B = C.3 a +B =sinu 1 + sinpG：芮二 ：叫；B.2 aHD.2 a + B =1 + Sinp【解析】选B.由tan a=，得即 sin aCOS B=cos a+cos asin B,所以sin(®=cos a=sin所以a-a-因为an na 所以由 sin( a- B)=sin ' 一得 a- 3= - - a,所

18、以2 a- 3=4.假设函数 f(x)=cos2x+asinx在区间上是减函数，那么a的最大值是【解题导引】将函数f(x)=cos2x+asinx化为关于sinx的二次函数的 形式,结合图象求解.2x+as inx,【解析】f(x)=cos2x+asinx=1-2sin令 t=sinx,x原函数化为y=-2t 2+at+1,由题意与复合函数单调性的判定可知 y=»+at+1在丄上是减函数结合抛物线图象可知 2所以a的最大值是2.答案：2向量 m【EW),n=(陀8%.记 f(x)= m n,求f(x)的最小正周期. 在厶ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos