与圆的切线有关的计算与证明

1、与圆的切线有关的计算与证明(1)类型之一 与切线的性质有关的计算或证明经典母题如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，假设/ P=30°,O O的半径为1,贝U PB的长为_1_.图 Z12- 1经典母题答图解析如答图，连结0C PC为0 0的切线，/ PCO 90°,在 Rt OCP中, v 0C= 1,Z P= 30°,0P= 20C= 2, PB= OP- 0B= 2- 1 = 1.思想方法(1)圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径； 圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.中考变形2021 AB是O 0的直径，AT是

2、O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O 0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D(1) 如图Z12-2，求/ T和/ CDB的大小；(2) 如图，当BE= BC时，求/ CDC的大小.1 / 10图 Z12- 2解：(1)如答图，连结AC AT是。0的切线，AB是的直径, AT丄AB,即/ TAB= 90°,/ AB匸50°,二/ T= 90°/ AB匸40 由AB是O O的直径，得/ AC* 90°,/./ CA圧90°/ ABC= 40°,A/ CD* / CA*40°中考变形答图中考变形答图

3、如答图，连结AD,在 BCE中, BE* BC, / EBC*50°,/ Bd BEC*65°,二/ BAD=/ BC*65v OA* OD / OD*/ OA* 65°,/ AD(*/ ABC*50°,/ CD*/ OD/ AD(*65° 50°* 15° .中考预测2021 宿迁如图Z12 3, AB与。O相切于点B, BC为。O的弦，OCLOAOA与 BC相交于点P.(1) 求证：AF* AB(2) 假设OB= 4, A吐3,求线段BP的长.A H图Z12 3中考预测答图解：(1)证明：v O(* OB / OC*/

4、OBC AB是OO的切线，二 OBLAB,:丄 OBA 90°,AZ ABFZ OBG 90°,v OCLAO / AOA 90°,Z OCB-Z CP390°,vZ APB=Z CPO Z APB=Z ABP AFA AB； 如答图，作 OHL BC于 H 在 Rt OAB中, v OB= 4, A吐 3, OAA ：32 + 42a 5,v AP= AB= 3, PCA 2.在 Rt POC中, PCA ,OC+ OPA 2 ' 5,OHAOP- OC 4 5PC A 5 CHA 寸oC- oHA 85 ,v OHL BC CHA BHBCA

5、 2CHA16 ：55 , BPA BC- PCA 詈5-2 丿5A吁.类型之二 与切线的判定有关的计算或证明经典母题：如图Z12-4 , A是。O外一点,AO的延长线交。O于点C,点B在圆上,且A吐BC Z AA 30°,求证：直线 AB是OO的切线.图Z12- 4经典母题答图证明：如答图,连结OB0B= OC A吐 BC, / A= 30°,OBC=Z C=/ A= 30° ,/ AOB=Z C+Z OBG 60° .vZ ABO= 180° ( Z AO+Z A) = 180° (60 ° + 30° ) =

6、 90°, AB丄OB又v OB为OO半径，二AB是OO的切线.思想方法证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直或者“作垂直，证半径.中考变形1. 2021 如图Z12 5,O O的直径为AB,点C在圆周上(异于A, B) , ADLCD(1)假设BJ3, A吐5,求AC的值； 假设AC是Z DAB的平分线，求证：直线 CD是O O的切线.'Z ACB= 90 °,又v BC= 3, AB= 5,二由勾股定理，得AC= 4;证明：如答图，连结ocv AC是Z DAB的平分线， Z DAGZ BAC又 v ADLDC / ADGZ ACB= 90° , AD

7、CAACB / DCAZ CBA又 v OA= OC / OAGZ OCAvZ OA+Z OBG90°,OC+Z Ad OC圧90° ,直线CD是O O的切线.2. 2021 如图 Z12 6,在 Rt ACB中 , Z AC圧 90° 以 AC为直径作O O交AB于点D, E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.求证：DE是的切线；假设CF= 2, DF= 4,求直径的长.图Z12- 6 中考变形2答图解析 连结0D欲证DE是O 0的切线，需证 ODL DE即需证/ 0D4 90°,而/ AC* 90°，连结 CD根据“等边对等角可

8、知/ ODEZ OCE= 90°,从而得证；(2)在Rt ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解：(1)证明：如答图，连结 OD CD AC是OO的直径，/ ADC= 90° .Z BDC= 90° .又 t E 为 BC的中点，1 DE= 2BC* CE, / EDC=Z ECDt OD= OC / ODGZ OCD Z EDOZ OD*Z ECDbZ OC*Z AC*90° . Z OD*90°,A DE是OO的切线;(2)设O O的半径为 x.在 Rt ODF中, OD+ DF* OF, 即x + 4* (x + 2)：解得x=

9、 3.O的直径为6.中考预测如图Z12-7, AB是OO的直径，点C, D在O O上，Z A*2Z BCD点E在AB 的延长线上，Z AE亠Z ABC(1) 求证：DE与OO相切；(2) 假设 BF*2, DF* 10,求O O的半径.图Z12- 7中考预测答图解：1证明：如答图，连结0D AB是的直径，:丄 AC* 90°,/ A+Z ABC= 90°,/ BO圧 2Z BCD Z A= 2Z BCDZ BO圧 Z A,vZ AED=Z ABC Z BO+Z AED= 90°, Z ODE= 90°, 即卩 ODL DE DE与O O相切；如答图，连结

10、BD,过点D作DHL BF于点Hv DE与O O相切，/ AC+Z BC亠 Z OD+Z BDE= 90 vZ Ad OBD Z OB圧 Z ODB /.Z BDE=Z BCD vZ AED=Z ABC /Z AFC=Z DBFvZ AFC=Z DFBFDB都是等腰三角形, FH= BH= 2bF= 1, H亠 DF FH= 3 ,在 Rt ODI中,OH+ dH= OD,即OD- 12+ 32 = OD, OD= 5.即O O的半径是5.与圆的切线有关的计算与证明(2)CFAO1.如图8, CD是O0的切线，切点为A,AB是O0的直径.E,F O0上的点, 求证：/ DAEM FDE/A B

11、.假设EF/CD,求证： AEF是等腰三角形2. 如图7 O 0的半径为1,过点A(2, 0)的直线切 O 0于点B,交y轴于点C.(1) 求线段AB的长；(2) 求以直线AC为图象的一次函数的解析式.3、在厶ABC中，AB=AC切圆 O与边BC AC(1) 求证：BF=CE(2) 假设/ C=30°, CE 2 .3，求 AC.4. 如图 10,在O O中，/ ACB=/ BDC=60 , AC=2 3cm ,(1)求/ BAC的度数；(2)求00的周长5：如图，AB是OO的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交O O于E,连结DE BE且/C=Z BED(1)求证：AC是O O的切线

12、;A(2)假设 OA=10, AD=16，求 AC的长.6.如图，(1)求证：MP切OO于点M，直线PO交OO于点A、B，弦AC / MP,MO / BC.(2补充)连结CM,当四边形BCMO菱形时，求/ P的度数或反过来问：当30°时，判断四边形BCM啲形状，并说明理由.AOB7.如图，在 ABC中，AB AC，以AB为直径的OO交BC于点M , MN丄AC于点N .(1) 求证MN是OO的切线；C(2) 假设 BAC 120 ° AB 2，求图中阴影局部的面积.8如图， ABC接于半圆，AB是直径，过 A作直线 MN假设/ MACMABC(1) 求证：MN是半圆的切线；(2) 设D是弧AC的中点，连结 BD交AC于G 过 D作 DEL AB于 E,交 AC于 F.求证：FD= FG10.：如图， AB为OO的直径,AB AC, BC交OO于点D , AC交OO于点E, BAC 45E9.如图，半圆的直径 AB 10，点C在半圆上，BC 6 .(1) 求弦AC的长；(2) 假设P为AB的中点，PE丄AB交AC于点E,求PE的长.AA