中考复习：“将军饮马”类题型大全

1、“将军饮马类题型大全一求线段和最值1 一两定一动型例1:如图， AML EF, BNL EF,垂足为 M N, MN= 12m AMk 5m, BN= 4m P 是 EF上任意一点，那么PA+ PB的最小值是mA分析：这是最根本的将军饮马问题，A, B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马 型，根据常见的“定点定线作对称，可作点A关于EF的对称点A,根据两 点之间，线段最短，连接 A B,此时A P+ PB即为A B,最短而要求A B, 那么需要构造直角三角形，利用勾股定理解决.解答：作点A关于EF的对称点A,过点A作A C丄BN的延长线于C.易知A MAMk NCk 5m BC= 9m A

2、C= MN= 12m 在 Rt A BC 中，A B= 15m,即 PA+ PB的最小值是15mAKB紅/* yE _X_F:.V c变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中, E, F, G为各边中点，P为线段EF上一 动点，那么 BPG周长的最小值为 分析：考虑到BG为定值是1,那么厶BPG的周长最小转化为求BP+ PG的最小值，又是 两 定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出 来到底是哪个点，我们不妨连接 AG那么AGLBC再连接EG根据“直角三角形 斜边中线等于斜边的一半，可得AE= EG那么点A就是点G关于EF的对称点.最 后计算周长时，别忘了加上 B

3、G的长度.解答：连接 AG 易知 PG= PA BP+ PG= BP+ PA 当 B，P, A三点共线时，BP+ PG= BA, 此时最短，B心2，BG= 1,即厶BPG周长最短为3.2二一定两动型例2:如图，在 ABC中，AB= AO5，D为BC中点，AD= 5，P为AD上任意一点，E 为AC上任意一点，求PC+ PE的最小值.分析：这里的点C是定点，P, E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于 ABC 是等腰三角形，AD是BC中线，那么AD垂直平分BC点C关于AD的对称点是点B, PC+ PE= PB+ PE,显然当B, P，E三点共线时，BE更短.但此时还不是最短， 根据“垂线段最短

4、只有当BE!AC时，BE最短.求BE时，用面积法即可. 解答：作BE!AC交于点E,交AD于点P,易知ADLBC，BD= 3，BO6，贝U AD- BO BE- AC,4X 6= BE- 5,BE= 4.8A/ILABDC变式：如图，BD平分/ ABC E, F分别为线段BC, BD上的动点，A吐8, ABC的周长 为20,求EF+ CF的最小值.分析：这里的点C是定点，F, E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称，但这题这样做，会出现问题.因为点 C的对称点C必然 在AB上，但由于BC长度未知，BC长度也未知，那么C相对的也是不确定点， 因此我们这里可以尝试作动点

5、E关于BD的对称点.解答：如图，作点E关于BD的对称点E,连接E F,那么EF+ CF= E F+ CF,当E, F, C三点共线时，E F+ CF= E C,此时较短.过点C作CE 丄AB于E, 当点E与点E重合时，EC最短，EC为AB边上的高，E C- 5.B EC三两定两动型例3:如图，/ A0圧30, OC= 5, OD= 12,点E, F分别是射线 OA 0B上的动点,求CF+ EF+ DE的最小值.D B分析: 这里的点C,点D是定点，F, E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧 可以用“定点定线作对称来考虑作点C关于0B的对称点，点D关于0A的 对称点.解答:作点C关于0B的

6、对称点C,点D关于0A的对称点D,连接CD.CF +EF+ DE= C F+ EF + D E,当 C , F, E , D 四点共线时，CF+ EF+ DE=C D 最短.易知/ D 0C = 90, 0D = 12, 0C = 5, C D = 13, CF+ EF+ DE最小值为13.B变式：原创题如图，斯诺克比赛桌面 AB宽1.78m,白球E距AD边0.22m,距CD 边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，假设要使白球E经过边AD， DC，两次反弹击中红球F,求白球E运动路线的总长度.注DEOBFC分析：此题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题 的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E,作点F关于CD边的对称点 F,即可画出白球E的运动路线，化归为 两定两动将军饮马型 解答：作点E关于AD边的对称点E,作点F关于CD边的对称点F,连接E F, 交AD于点G交CD于点H,那么运动路线长为EGb G出HF长度之和，即E F 长，延长 EE 交 BC于 N,交 AD于 M 易知 E M= EM